人教A版必修2 第二章 2.3.32.3.4直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 课件（38张）.pptx

2 3 3直线与平面垂直的性质2 3 4平面与平面垂直的性质 第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 学习目标1 掌握空间中线面 面面垂直的性质定理 2 能够运用线面 面面垂直的性质定理证明一些简单的问题 3 理解线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一直线与平面垂直的性质定理 思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆 一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直 这些电线杆之间的位置关系是什么 答案平行 梳理 平行 a b 知识点二平面与平面垂直的性质定理 思考黑板所在平面与地面所在平面垂直 你能否在黑板上画一条直线与地面垂直 答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直 因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线 则所画直线必与地面垂直 梳理 一个平面内 交线 垂直 a a l 1 若平面 平面 任取直线l 则必有l 2 已知两个平面垂直 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则此垂线必垂直于另一个平面 思考辨析判断正误 题型探究 证明如图 连接a1c1 cc1 平面a1b1c1d1 b1d1 平面a1b1c1d1 cc1 b1d1 四边形a1b1c1d1是正方形 a1c1 b1d1 又 cc1 a1c1 c1 a1c1 cc1 平面a1c1c b1d1 平面a1c1c 又 a1c 平面a1c1c b1d1 a1c 例1如图 已知正方体a1c 1 求证 a1c b1d1 类型一线面垂直性质定理的应用 证明 2 m n分别为b1d1与c1d上的点 且mn b1d1 mn c1d 求证 mn a1c 证明 证明连接b1a ad1 b1c1 ad 且b1c1 ad 四边形adc1b1为平行四边形 c1d ab1 mn c1d mn ab1 又 mn b1d1 ab1 b1d1 b1 ab1 b1d1 平面ab1d1 mn 平面ab1d1 由 1 知a1c b1d1 同理可得a1c ab1 又 ab1 b1d1 b1 ab1 b1d1 平面ab1d1 a1c 平面ab1d1 a1c mn 反思与感悟证明线线平行的常用方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 跟踪训练1如图 l pa pb 垂足分别为a b a a ab 求证 a l 证明 pa l pa l 同理pb l pa pb p pa pb 平面pab l 平面pab 又 pa a pa a a ab pa ab a pa pb 平面pab a 平面pab a l 证明 例2如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc 平面pab 平面pbc 求证 bc ab 类型二面面垂直性质定理的应用 证明 证明如图 在平面pab内 作ad pb于点d 平面pab 平面pbc 且平面pab 平面pbc pb ad 平面pab ad 平面pbc 又bc 平面pbc ad bc 又 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 pa ad a bc 平面pab 又ab 平面pab bc ab 反思与感悟证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 跟踪训练2如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd g为边ad的中点 求证 1 bg 平面pad 证明平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 bg ad 又bg 平面abcd bg 平面pad 证明 2 ad pb 证明由 1 可知bg ad 由题意知 pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又bg pg g pg bg 平面pbg ad 平面pbg 又pb 平面pbg ad pb 证明 例3如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 类型三垂直关系的综合应用 1 求证 无论 为何值 总有平面bef 平面abc 证明 证明 ab 平面bcd cd 平面bcd ab cd cd bc ab bc b cd 平面abc 无论 为何值 恒有ef cd ef 平面abc 又 ef 平面bef 无论 为何值 总有平面bef 平面abc 2 是否存在实数 使得平面bef 平面acd 解答 解假设存在 使得平面bef 平面acd 由 1 知be ef 平面bef 平面acd 平面bef 平面acd ef be 平面bef be 平面acd 又 ac 平面acd be ac bc cd 1 bcd abd 90 adb 60 由rt aeb rt abc 得ab2 ae ac 反思与感悟立体几何中的探索性问题 1 探索条件 即探索能使结论成立的条件是什么 解答此类问题 先观察与尝试给出条件再给出证明 2 探索结论 即在给定的条件下命题的结论是什么 解答此类问题 常从条件出发 探索出要求的结论是什么 对于探索的结论是否存在问题 求解时 常假设结论存在 再寻找与条件相容还是矛盾的结论 跟踪训练3如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为a的菱形 dab 60 侧面pad为等边三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 证明 证明设g为ad的中点 连接pg bg bd 如图 因为 pad为等边三角形 所以pg ad 在菱形abcd中 dab 60 所以 abd为等边三角形 又因为g为ad的中点 所以bg ad 又因为bg pg g bg pg 平面pgb 所以ad 平面pgb 因为pb 平面pgb 所以ad pb 2 若e为bc边上的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解当f为pc的中点时 满足平面def 平面abcd 如图 设f为pc的中点 则在 pbc中 ef pb 在菱形abcd中 gb de 而pb gb b ef de e pb gb 平面pgb ef de 平面def 所以平面def 平面pgb 由 1 得 pg ad 又因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad pg 平面pad 所以pg 平面abcd 而pg 平面pgb 所以平面pgb 平面abcd 所以平面def 平面abcd 解答 达标检测 1 2 3 4 1 从圆柱的一个底面上任取一点 该点不在底面圆周上 过该点作另一个底面的垂线 则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是a 相交b 平行c 异面d 相交或平行 答案 5 2 给出下列命题 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 一条直线在平面内 另一条直线与这个平面垂直 则这两条直线垂直 其中真命题的个数是a 0b 1c 2d 3 答案 1 2 3 4 5 3 已知平面 平面 则下列命题中真命题的个数是 内的任意直线必垂直于 内的无数条直线 在 内垂直于 与 的交线的直线必垂直于 内的任意一条直线 内的任意一条直线必垂直于 过 内的任意一点作 与 交线的垂线 则这条直线必垂直于 a 4b 3c 2d 1 解析 答案 1 2 3 4 5 解析 设 l a b b l 则a b 故 内与b平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线 为真命题 内垂直于 与 交线的直线垂直于平面 则它垂直于 内的任意直线 为真命题 内不与交线垂直的直线不垂直于 为假命题 垂直于交线的直线必须在平面 内才与平面 垂直 否则不垂直 为假命题 1 2 3 4 5 4 如图所示 平面 平面 在 与 的交线l上取线段ab 4cm ac bd分别在平面 和平面 内 ac l bd l ac 3cm bd 12cm 则线段cd的长为 答案 13cm 1 2 3 4 5 5 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面abcd是矩形 侧面sdc 底面abcd 求证 平面sdc 平面sbc 1 2 3 4 5 证明因为底面abcd是矩形 所以bc cd 又平面sdc 平面abcd