总习题二解答.doc

总习题二解答1. 设有四个城市，其城市之间有航班，问至多经过两次中转能否从一个城市到达其它三个城市？解：城市间的航班用矩阵表示为：，由，由于中，存在，即无法由城市至城市，例如即使允许经一次中转亦无法由城市去城市。而均有，故至多经两次中转必可由一城市到达其他三个城市中的任一城市。2. 设，均为阶方阵，证明下列命题等价： ； ； 。解：因为，故当且仅当时，；：因为，故当且仅当时，。3. 已知与及与都可交换，证明，是同阶矩阵，且与可交换。解：设是矩阵，由可乘，故可设是矩阵，又因可乘，所以，那么是阶矩阵，是阶矩阵，从与可交换，即，即，是同阶矩阵，同理与，也同阶，由结合律，有：，所以与可交换。4. 设，为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。解：已知，则，从而也是对称矩阵。5. 设为阶矩阵，为奇数，且，求。解：由，得：，由为奇数，知。6. 设，均为阶方阵，且，证明：，当且仅当。解：若，则：，；若，则。7. 已知，求。解：（递推法），。8. 略。9. 设矩阵，正整数，求。解：，一般地，可得到如下递推公式：，故：。10. ，是阶矩阵，且，则必有 （ ）A. B. C. D. 解：通过左乘的逆或右乘，注意到与和的可交换性，由知，或 ，可见B正确，因乘法不一定能交换，故其余不恒成立， 应选B。11. 设方阵满足，证明及都可逆。证：由，得：，两端同时取行列式，得：，即，故， 可逆； ， ， 也可逆。12. 略。13. 设，试用伴随矩阵法求。解：利用公式计算。 ， 存在，又，故。14. 略。15. 设，其中，求。解：由，得：，即， ，而， 。16. 设，求。解：因所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，故可从公式着手。用左乘所给方程两边，得：，又，故是可逆矩阵，用右乘上式两边，得：，即，即，注意到，是可逆矩阵，且，于是：。17. 若三阶矩阵的伴随矩阵为，已知，求。解： ， 。18. 设阶矩阵的伴随矩阵为，证明： 若，则；证：用反证法，假设，则有：，由此得：，即：，这与矛盾，故当时，有。 。证：由，两边取行列式，得到：，若，由知，此时命题也成立，故有。19. 已知，为四阶方阵，且，求： ；解：； ；解：， ；解：； ；解：； 。解：。20. 已知阶矩阵，求中所有元素的代数余子式的和。解：利用公式，先求出及，再计算所求和，显然，又可见，于是，。21. 设阶矩阵及阶矩阵都可逆，求： ；解：设，其中、依次是、待定矩阵，于是，比较，得：；。故。 。解： ，可逆， ，故，即可逆，设，其中为阶，为阶，为阶，为阶，由，故。22. （略）23. 设，为阶方阵，证明： ；证： ，两边同时取行列式，有。 可逆的充要条件为，均可逆。解：由显然可得。24. （略）25. 填空： 。解：注意到与均为初等矩阵，是作一次行变换（一、三两行互换），为的一、三两行作了偶数次对换，故，类似地，相当于的二、三列作了一次对换，故应填：。26. 设是阶可逆方阵，互换中第行和第行得到矩阵，求。解：由题意及初等矩阵性质，得：， 。27. 设，为阶矩阵，其中为阶单位矩阵， 证明：为可逆矩阵，并求；证：由于，于是，故为可逆矩阵，且。 已知，试求矩阵。解：由知，故，而，所以。28. 已知，均是三阶矩阵，将中第3行的倍加至第2行得到矩阵，将中第2列加至第1列得到矩阵，又知，求。解：由题设条件，令，则，。29. 已知，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。解：由，用矩阵左乘方程的两端，得：，由于，故。*30. 设四阶矩阵满足，其中是四阶单位矩阵，而，求矩阵。解：由拉普拉斯展开定理，得：，是四阶可逆矩阵，故，于是，原方程化简为：，左乘，得：，故，用分块矩阵求逆法，可求得：。31. 设，其中是四阶矩阵的转置矩阵，求矩阵。解：用矩阵左乘方程的两端，得：，对上式两端取转置，得：，因为是阶方程，故。32. 设三阶矩阵，试求矩阵的秩。解一：直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论，由于，故 当且时，； 当时，且，显然，； 当时，且，这时有二阶子式，显然，。解二：利用初等变换求秩，于是由初等变换不改变矩阵的秩，易得到同解一的结果。33. 设为矩阵，且的秩为，求。解一：用初等变换，易见，若，则必有，即。解二：定义法， 的秩为，故其四阶子式，解得：。34. 设阶矩阵满足，为阶单位矩阵，证明。证： ， ，又 ， ，从而 。35. 设为阶（）方阵，证明，。证： 当时，事实上，由，于是是阶满秩矩阵，即。 当时，事实上，由矩阵秩的定义知，此时，的所有阶子式即的任一元素均为零，于是。 当时，此