高中数学 第二章 平面向量章末测评 北师大版必修4.doc

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.以下说法中不正确的是()a.零向量与任一非零向量平行b.零向量与单位向量的模不相等c.平行向量方向相同d.平行向量一定是共线向量解析:只有c是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.答案:c2.已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若ab,则x的值为()a.0b.4c.-4d.4解析:依题意,得44=(-4)x,所以x=-4.答案:c3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()a.-a+bb.a-bc.a-bd.-a+b解析:设c=xa+yb,因此,解得因此,c=a-b.答案:b4.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为()a.b.c.d.解析:设a,b的夹角为,则a在b方向上的射影为|a|cos =.答案:a5.设x,yr,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=()a.b.c.2d.10解析:由ac得ac=2x-4=0,所以x=2,由bc得1(-4)=2y,所以y=-2,于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),从而|a+b|=.答案:b6.在abc中,已知d是ab边上一点,若=2+,则=()a.b.c.-d.-解析:=2,=2=2(),即得,由已知条件+可得=.答案:a7.已知平面上不共线的四点o,a,b,c.若向量+2=3,则的值为()a.b.c.d.解析:+2=3=2-2=2,所以的值为.答案:a8.在abc中,acb=90,且ca=cb=3,点m满足=2,则=()a.2b.3c.4d.6解析:如图,=)=,|2=0+32=3.答案:b9.(2015重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为()a.b.c.d.解析:由(a-b)(3a+2b)知(a-b)(3a+2b)=0,即3|a|2-ab-2|b|2=0.设a与b的夹角为,所以3|a|2-|a|b|cos -2|b|2=0,即3|b|2cos -2|b|2=0,整理,得cos =,故=.答案:a10.在平面直角坐标系xoy中,已知a(1,0),b(0,1),点c在第二象限内,aoc=,且|=2,若=+,则,的值是()a.,1b.1,c.-1,d.-,1解析:根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.答案:d11.若点o为平面内任意一点,且(-2)()=0,则abc是()a.直角三角形或等腰三角形b.等腰直角三角形c.等腰三角形但不一定是直角三角形d.直角三角形但不一定是等腰三角形解析:由(-2)()=0得()()=0,=0,即|=|.ab=ac,abc是等腰三角形.由题意不能判定abc为直角三角形.答案:c12.导学号03070121在平面直角坐标系中,o是坐标原点,两定点a,b满足|=|=2,则点集p|=+,|+|1,r所表示的区域的面积是()a.2b.2c.4d.4解析:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使a,b两点关于x轴对称,由已知|=|=2,可得出aob=60,点a(,1),点b(,-1),点d(2,0).现设p(x,y),则由=+得(x,y)=(,1)+(,-1),即由于|+|1,r,可得画出动点p(x,y)满足的区域为如图阴影部分,故所求区域的面积为22=4.答案:d二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则等于.解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).由ma+nb与a-2b共线知,n-2m=12m+8n.=-.答案:-14.已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.解析:由|2a-b|=可得,4|a|2-4ab+|b|2=10,所以4-41|b|cos 45+|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3.答案:315.(2016陕西宝鸡高三模拟)函数y=tan的部分图像如下图所示,则()=.解析:依题意知a(2,0),b(3,1),=(3,1),=(2,0),=(1,1),()=4.答案:416.如图,在abc中,o为中线am上的一个动点,若am=2,则()的最小值是.解析:如题中图,设=a,则|a|=2.因为o为中线am上的动点,所以=t=ta(0t1),故=(1-t)a.因为m是bc的中点,所以=2=-2ta.所以()=(1-t)a(-2ta)=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8-2.所以,当t=0,1时,最小值为-2.答案:-2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平行四边形oadb中,设=a,=b,.试用a,b表示.解:由题意知,在平行四边形oadb中,)=(a-b)=a-b,则=b+a-b=a+b.)=(a+b),则(a+b)-a-b=a-b.18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=.(1)求|b|;(2)当ab=时,求向量a与b的夹角的值.解:(1)因为(a-b)(a+b)=,即a2-b2=.所以|b|2=|a|2-=1-,故|b|=.(2)因为cos =,又0180,故=45.19.(12分)已知向量a,b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:a,b,d三点共线.(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.解:(1)因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=5a+5b=5,因此共线.又点b为的公共点,所以a,b,d三点共线.(2)因为ka+b与2a+kb共线,则存在实数使ka+b=(2a+kb),所以所以k=.20.(12分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北.一个单位长度表示实际路程100米,一人步行从广场入口处a(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6分钟时路过少年宫c,10分钟后到达科技馆b(-3,5).(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示).(2)求少年宫c点相对于广场中心所在的位置.解:(1)依题意知=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).|=5,xab=135.所以此人沿北偏西45方向走了500米.因为t=小时,所走的实际距离s=|100=500(米),所以|v|=3 000(米/时)=30(百米/时),所以|v|cos 135=-30,|v|sin 135=30,所以v=(-30,30).(2)因为,=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),所以|=,又tancoy=,所以coy=1826,即少年宫c位于距离广场中心100米,且在北偏西1826处.21.(12分)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|ka+b|=|a-kb|(k0,kr).(1)求ab关于k的解析式f(k);(2)若ab,求实数k的值;(3)求向量a与b夹角的最大值.解:(1)由已知|ka+b|=|a-kb|,有|ka+b|2=(|a-kb|)2,k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2.又因为|a|=|b|=1,得8kab=2k2+2,所以ab=,即f(k)=(k0).(2)因为ab,k0,所以ab=0,则a与b同向.因为|a|=|b|=1,所以ab=1,即=1,整理得k2-4k+1=0,所以k=2,所以当k=2时,ab.(3)设a,b的夹角为,则cos =ab=.当,即k=1时,cos 取最小值,又0,所以=,即向量a与b夹