九年级数学下：26.2用函数观点看一元二次方程公开课课件（人教新课标）.ppt

26 2用函数观点看一元二次方程 1 理解二次函数图像与x轴的交点的个数的情况 学习目标 3 会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题 2 理解二次函数图像与一元二次方程的根的关系 二次函数 定义 一般地 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做x的二次函数 图象 是一条抛物线 图象的特点 1 有开口方向 开口大小 2 有对称轴 3 有顶点 最低点或最高点 二次函数y ax2的图象与二次函数y ax2 k的图象的关系 二次函数y ax2 k的图象可由二次函数y ax2的图象向上 或向下 平移得到 当k 0时 抛物线y ax2向上平移k的绝对值个单位 得y ax2 k当k 0时 抛物线y ax2向下平移k的绝对值个单位 得y ax2 k y 2x2 y 2x2 2 y 2x2 2 二次函数y ax2的图象与二次函数y a x h 2的图象的关系 二次函数y a x h 2的图象可由二次函数y ax2的图象向左 或向右 平移得到 当h 0时 抛物线y ax2向左平移h的绝对值个单位 得y a x h 2当h 0时 抛物线y ax2向右平移h的绝对值个单位 得y a x h 2 二次函数y ax2的图象与二次函数y a x h 2 k的图象的关系 二次函数y a x h 2 k的图象可由抛物线y ax2向左 或向右 平移h的绝对值个单位 在向上 或向下 平移k的绝对值个单位而得到 在对称轴的右侧 即当x 时 y随x的增大而增大 简记左减右增 抛物线有最低点 当x 时 y最小值 二次函数y ax2 bx c的性质 当a 0时 抛物线开口向上 对称轴是x 顶点坐标是 当a 0时 在对称轴的左侧 即当x 时 y随x的增大而减小 在对称轴的右侧 即当x 时 y随x的增大而减小 简记左增右减 抛物线有最高点 当x 时 y最大值 当a 0时 抛物线开口向下 对称轴是x 顶点坐标是 在对称轴的左侧 即当x 时 y随x的增大而增大 引言 在现实生活中 我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题 如 被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行 抛物线形拱桥的跨度 拱高的计算等 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题 具有很现实的意义 本节课 我将和同学们共同研究解决这些问题的方法 探寻其中的奥秘 复习 1 一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况可由确定 0 0 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2 4ac 活动1 2 在式子h 50 20t2中 如果h 15 那么50 20t2 如果h 20 那50 20t2 如果h 0 那50 20t2 如果要想求t的值 那么我们可以求的解 15 20 0 方程 问题1 如图 以40m s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时 球的飞行路线是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2考虑下列问题 1 球的飞行高度能否达到15m 若能 需要多少时间 2 球的飞行高度能否达到20m 若能 需要多少时间 3 球的飞行高度能否达到20 5m 若能 需要多少时间 4 球从飞出到落地要用多少时间 活动2 h 0 0 20t 5t2 解 1 解方程15 20t 5t2即 t2 4t 3 0t1 1 t2 3 当球飞行1s和3s时 它的高度为15m 2 解方程20 20t 5t2即 t2 4t 4 0t1 t2 2 当球飞行2s时 它的高度为20m 3 解方程20 5 20t 5t2即 t2 4t 4 1 0因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 球的飞行高度达不到20 5m 4 解方程0 20t 5t2即 t2 4t 0t1 0 t2 4 球的飞行0s和4s时 它的高度为0m 即飞出到落地用了4s 你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m吗 那么为什么只在一个时间求得高度为20m呢 那么为什么两个时间球的高度为零呢 那么从上面 二次函数y ax2 bx c何时为一元二次方程 它们的关系如何 一般地 当y取定值时 二次函数为一元二次方程 如 y 5时 则5 ax2 bx c就是一个一元二次方程 自由讨论 练习一 如图设水管ab的高出地面2 5m 在b处有一自动旋转的喷水头 喷出的水呈抛物线状 可用二次函数y 0 5x2 2x 2 5描述 在所有的直角坐标系中 求水流的落地点d到a的距离是多少 解 根据题意得 0 5x2 2x 2 5 0 解得x1 5 x2 1 不合题意舍去 答 水流的落地点d到a的距离是5m 分析 根据图象可知 水流的落地点d的纵坐标为0 横坐标即为落地点d到a的距离 即 y 0 想一想 这一个旋转喷水头 水流落地覆盖的最大面积为多少呢 1 二次函数y x2 x 2 y x2 6x 9 y x2 x 1的图象如图所示 问题2 1 每个图象与x轴有几个交点 2 一元二次方程 x2 x 2 0 x2 6x 9 0有几个根 验证一下一元二次方程x2 x 1 0有根吗 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 答 2个 1个 0个 边观察边思考 分析 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 o x y 2 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点 则b2 4ac的情况如何 二次函数与一元二次方程的关系 1 如果抛物线y ax2 bx c与x轴有公共点 公共点的横坐标是x0 那么当x x0时 函数值为0 因此x x0就是方程y ax2 bx c的一个根 2 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点情况如何 b2 4ac如何 二次函数与一元二次方程 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 思考 若抛物线y ax2 bx c与x轴有交点 则b2 4ac 0 1 有两个交点 方程有两个不相等的实数根 2 有一个交点 方程有两个相等的实数根 3 没有交点 方程没有实数根 练习 看谁算的又快又准 1 不与x轴相交的抛物线是 ay 2x2 3by 2x2 3cy x2 2xdy 2 x 1 2 3 2 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 3 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c d 1 1 16 4 抛物线y x2 3x 2与y轴交于点 与x轴交于点 0 2 5 如图 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 1 由图象知 关于x的方程ax2 bx c 0的两个根分别是x1 1 3 x2 6 已知抛物线y kx2 7x 7的图象和x轴有交点 则k的取值范围 3 3 b 例 已知二次函数y 2x2 m 1 x m 1 1 求证 无论m为何值 函数y的图像与x轴总有交点 并指出当m为何值时 只有一个交点 2 当m为何值时 函数y的图像经过原点 3 指出 2 的图像中 使y 0时 x的取值范围及使y 0时 x的取值范围 例2 王强在一次高尔夫球的练习中 在某处击球 其飞行路线满足抛物线 其中y m 是球的飞行高度 x m 是球飞出的水平距离 结果球离球洞的水平距离还有2m 1 请写出抛物线的开口方向 顶点坐标 对称轴 2 请求出球飞行的最大水平距离 3 若王强再一次从此处击球 要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞 则球飞行路线应满足怎样的抛物线 求出其解析式 解 1 抛物线开口向下 顶点为 对称轴为 2 令 得 解得 球飞行的最大水平距离是8m 3 要让球刚好进洞而飞行最大高度不变 则球飞行的最大水平距离为10m抛物线的对称轴为 顶点为设此时对应的抛物线解析式为又 点在此抛物线上 练习 c a 请你把这节课你学到了东西告诉你的同桌 然后告诉老师 二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解 讨论 这节课应有以下内容 走近中考 1 已知函数的图象如图所示 那么关于的方程的根的情况是 a 无实数根b 有两个相等实根c 有两个异号实数根d 有两个同号不等实数根 d 2 抛物线与轴只有一个公共点 则m的值为 8 3 如图 抛物线的对称轴是直线且经过点 3 0 则的值为 a 0b 1c 1d 2 a 4 二次函数的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程的两个根 2 写出不等式的解集 3 写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围 4 若方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 3 2 5 杂技团进行杂技表演 演员从跷跷板右端a处弹跳到人梯顶端椅子b处 其身体 看成一点 的路线是抛物线 1 求演员弹跳离地面的最大高度 2 已知人梯高bc 3 4米 在一次表演中 人梯到起跳点a的水平距离是4米 问这次表演是否成功 请说明理由 的一部分 如图 解 1 函数的最大值是 答 演员弹跳的最大高度是 米 2 当x 4时 3 4 bc 所以这次表演成功 作业 课本 p23页复习巩固第1题拓展探索第6题 选做题 如图 一位篮球运动员跳起投篮 球沿抛物线y x2 3 5运行 然后