第十章 定积分的应用.doc

第十章 定积分的应用1.平面图形的面积习题1. 求由抛物线所围图形的面积。解：设所围图形的面积为，如图10-1解方程组 得两曲线两交点坐标为，则积分区间为，图形面积为2. 求由与直线和所围图形的面积。解：设所围图形总面积为， 3. 抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比。解：设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则4. 试证摆线所围图形的面积（图107）。解：设所围图形的全部面积为，取积分变量为，当由变到时，就得到曲线在第一象限的部分，5. 求心形线所围图形的面积。解：设所围图形面积为，取积分变量为，当由变到时，即得到曲线在轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有：6. 求三叶形线所围图形的面积。解：7. 求由与坐标轴所围图形的面积。解：设所围图形面积为，将曲线方程化为显式为：曲线与轴、轴的坐标分别为，取为积分变量，则积分区间为故有8. 求由曲线所围图形的面积。解：设所围图形面积为，由参数方程下定积分计算面积公式有9. 求二曲线与所围公共部分的面积。解：由方程组 得 当曲线中从变到，且曲线中从变到时即得到封闭图形，其面积为10. 求两椭圆与所围公共部分的面积。解：两椭圆在第一象限内的交点为阴影部分的面积：故公共部分的面积为：2 由平行截面面积求体积习题1. 如图1013所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜面所截，试求截得锲形体的体积。解：设垂直于轴的截面面积函数为，立体体积为按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为：由相似三角形边长比的关系知， 又2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体体积:(1),绕轴；解：(2)绕轴；解：(3)绕极轴；解：曲线的参量方程为：由图有：(4)绕轴；解：由，得则3. 已知球半径为，验证高为的球缺体积。解：设球缺体积为，半径为，高为，则由旋转体体积公式有4. 求曲线所围平面图形（图107）绕轴旋转所得立体的体积。解：由曲线绕轴旋转所得立体的体积为5.导出曲边梯形绕轴旋转所得立体的体积公式为 证明：如图在区间上的柱壳体积即为体积元素则 由微元法知旋转体体积：6. 求所围平面图形绕轴旋转所得立体的体积。解： 3 平面曲线的弧长与曲率习题1. 求下列曲线的弧长:(1)解：由于 由曲线的弧长公式有(2)解：令，则由参数方程下弧长公式(3)解：(4)解：(5)(6)解：由极坐标下弧长公式2. 求下列各曲线在指定点处的曲率:(1)在点(2,2)解：由曲率公式，曲线在处的曲率为：(2)在点(1,0)解：(3)在的点解：由曲率公式有(4)在的点解：3. 求的值，使椭圆的周长等于正弦曲线在上一段的长。解：设椭圆周长为，在的周长为则 依题意故两边积分限均为，并令中有当时，时有 ，4. 设曲线由极坐标方程给出,且二阶可导,证明它在点处曲率为证明：由 得 对来说，以代入的公式，得5. 用上题公式，求心形线在处的曲率、曲率半径和曲率圆.解：已知去曲线极坐标方程为 它在 曲率为曲率半径曲率圆的圆心在轴上，半径为，方程为6. 证明抛物线在顶点处曲率为最小。证明：抛物线在任意点的曲率 即当 时，达到最大值，而 故在抛物线的顶点处的曲率半径最小7. 求曲线上曲率最大的点解：曲线任意点处的曲率 令 得 容易验证为的最大值 故曲线上点处的曲率最大4 旋转曲面的面积习题1. 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：（1），绕轴解：由旋转体侧面积公式，得（2）绕轴解：（3），绕轴解： 当时，当时，当时，（4），绕轴解：2. 设平面光滑曲线有极坐标方程给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式解：在直角坐标下的旋转曲面面积微元 有坐标变换公式 及极坐标下弧长微分公式 将其代入式，得，由到积分即可得到 式即是极坐标系下旋转曲面面积公式3. 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线；解：由图形的对称性和参数方程下的旋转曲面面积公式有（2）双纽线。解：5定积分在物理中的某些应用习题1. 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边长为10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。解：如图10-8，由、点的坐标及，求出过的直线方程为：，即由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于，故当很小时，闸门从深度到这一狭条上受的静压力为 2. 边长为和的矩形薄板与液面成角斜沉于液体中。设，长边平行于液面，上沿位于深处，液体的比重为。试求薄板每侧所受的静压力。解：如图10-9所示在液体内部m深处，作用在薄板上压力的微分为则积分区间从到 ，故薄板每侧所受的静压力为3. 直径为6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米,求球面上所受压力.解：球面在水深m处所受压力的微元为球面所受总压力 4. 在坐标轴的原点有一质量为的质点，在区间上有一质量为的均匀细杆。试求质点有细杆之间的万有引力。解：如图10-11任取，当很小时可将这一小段细杆看作一质点，其质量有万有引力公式有 则 5. 两条各长为的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离每根细杆的质量为试求它们之间的万有引力。（提示：在第四题的基础上再作一次积分）解：建立如图10-12坐标系，轴通过两细棒，向右为正向，第二根棒上午左端点为原点，在第二根棒中处取一小段，它的质量为，它与第一根棒中心距离为由上题结果知故两细棒间引力为6. 设有半径为的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为，在圆心处有一单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。解：上述电荷其电量为由库仑定律，它对点电荷的作用力为 7. 一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水，试问把水抽尽需作多少功？解：功的微元 8. 长10米的铁索下垂于矿井中,已知铁索每米重8千克,问将此铁索由矿井全部提出地面,需作功多少?解：铁索的线密度公斤/米 功的微元 9. 一物体在某介质中按作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移至时克服介质阻力所作的功。解： 依题意 10. 半径为的球体沉入水中，其比重与水相同，试问将球体从水中捞出需作多少功？解：用微元法，图10-15中考虑在处厚度为的一薄片，当其从上提到时在水中行程为，在水上行程为，又球体密度与水相同，故薄片上所受的浮力与重力合力为0，所以薄片在水中由升到水面时提升力为0，不做功，而由水面上提到点时，克服重力做功 即 6定积分的近似计算习题1. 分别用梯形法和抛物线法计算（将积分区间十等分）解：梯形法（取）用抛物线法2. 用抛物线法求 (分别将积分区间二等分、四等分、六等分)解：用抛物线法公式 当时，当时， 当时， 3. 图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积。解：设该河截面积为，有定积分近似计算抛物线法公式4下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：时间024681012141618202224温度25.823.024.125.627.330.233.435.033.831.128.227.025.0（1） 按积分平均求这一天的平均气温，其中定积分值有三种近似法分别计算。（2） 若按算术平均或求得平均气温，那么它们与矩形