函数一致连续性论文.doc

一致连续函数的证明与性质周青（081114132）（孝感学院数学与统计学院）摘要 本文综述了连续函数的一致连续性条件以及一致连续函数所具有的性质。在研究连续函数在区间内一致连续条件时，通过改变函数的定义域，讨论一致连续性问题；并且讨论了数列函数，周期函数的一致连续性。关键词 函数; 连续; 一致连续；函数性质Consistent continuation function demonstrated with natureAbstract This article reviews the continuous uniform continuity of functions and the properties of uniformly continuous function. In the study of continuous function on the interval uniform continuity conditions, by changing the definition of the function domain, discuss the uniformly continuity problems; and discusses the sequence function, periodic uniform continuity of functions.Key words function; continuous; uniformly continuous function1引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。本文主要分为两个部分：第一部分介绍了一致连续函数的判定定理；第二部分介绍了一致连续函数的性质。一致连续函数的判定定理主要包括函数在区间上的一致连续的判定定理以及周期函数和数列函数一致连续的判定定理。一致连续函数的性质主要包括函数值与自变量的关系，函数的有界性以及四则运算。2一致连续函数的主要结论定义 设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在，使得对任何，,只要，就有，则称函数在区间上一致连续.定理1 （一致连续性定理）若函数在闭区间上连续，则在一致连续.证明 由在闭区间上连续性，对每一点，都存在0使得当时有考虑开区间集合显然是的一个开覆盖，由覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了记= ，对任何， ，必属于中开区间，设即此时有同时有和由此得所以在上一致连续.定理2 有界开区间上的函数为一致连续的充要的条件是与均存在且有限.证明 充分性 若及存在且有限，则=及=这样延拓后函数于 上连续，依据一致连续定理在上一致连续，所以在上一致连续必要性 设在上一致连续，按定义对，只要,并且，就有 于是当0- 0-时有所以存在且有限，同理可证存在且有限.定理3 设区间的右端点c，区间的左端点也为c（，可以分别为有限区间或无线区间）.证明：若分别在和上 一致连续，则在=上也一致连续.证明 由分别在和上一致连续，分别存在正数，使得.对任何， ，只要，就有又对任何，只要，也有成立点作为的右端点，在点为左连续，作为的左端点，在点为右连续，所以在点连续，故对上述，存在，当时有令=min（，），对任何，分别讨论2种情形：（i），同时属于或同时属于则成立（ii），分别属于与，设，则由，得，同理得 从而成立，即在上一致连续.定理4 函数在上一致连续的充分条件是在上连续及存在且为有限值.证明 设=， 有|-|+|-|+=所以在上一致连续由于在上连续，所以在上连续，从而在一致连续又由于，有定理3知在上一致连续.定理5 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在且为有限值.定理6 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且都存在且为有限值.定理7 函数（x）在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在且为有限值.定理8 函数（x）在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在且为有限值.定理9 设在上连续，在上一致连续且，则在上一致连续.证明 对任意的，因为，所以存在当时，就有 又因为在上连续，所以在上连续，故在上一致连续。又因为在上一致连续，所以在上一致连续，故存在（使），对任意，只要，就有 所以对任意，只要，就有 所以在上一致连续，所以在=上一致连续.定理10 函数在上一致连续的充分必要条件是对区间上当有=0.证明 必要性 因为在一致连续，故，当，有，有|而 ，对于，N，当必有，因而|即 =0充分性（反证法） 设(x)在上不一致连续，则有0，由得出取=，由得出这里显然与当有=0矛盾所以在上必一致连续.定理11 设在区间上连续的周期函数，则在上一致连续. 证明 设为的周期函数 ，则在区间上一致连续即对，对任意的，只要就有现取，满足，则必有整数，使得=+，=+，且，于是|-|故 即在上一致连续.定理12 设函数区间上可导，且在区间上有界，则在区间上一致连续.证明 已知在区间上有界，于是存在常数，使得对，有|，由微分中值定理对,，有即在区间上一致连续取=，对任意的,，只要，有=|其中在,之间，所以在区间上一致连续.例题1 证明（）在上一致连续.证明 ，由于=|故可选，则对任何，只要就有 这就证得（）在上一致连续.例题2 证明=在0，）上一致连续.证明 ，取=，则当，1，）且时而=在0，1上一致连续，则，当，0,1且时有 取=min，则，0，且时， ，落在0，1内或者1，内因此总有即=在0，）上一致连续例题3 证明在一致连续，但在上不一致连续.证明 先证在一致连续，取，则当，且时，有 故在一致连续但在上不一致连续取，无论取得多小，由知，只要充分大总可以使，的距离，但故在上不一致连续.3一致连续函数的性质3.1 一致连续函数自变量与函数值的关系设在上一致连续，则存在正数，使，有.证明 由在上一致连续知，对=1，0，若则有又，有，由的连续性可知，在上有界，即，有|从而 |=| 令即得.3.2区间内一致连续函数的的有界性若在上一致连续，则在上有界.证明 ，,(,当时有 特别地，,，也有，根据柯西准则，存在同样也存在。定义函数 则在上连续，从而有界，有。于是，有即在有界.3.3函数一致连续的四则运算性质 我们探讨当均在区间上一致连续，讨论,，(在上不为零),在上是否也一致连续.3.3.1加法 当函数均在区间(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有在上一致连续.证明：由在上一致连续,可知,当时,有,又由也在I上一致连续知，对上述的存在,当时,取则当时,有.从而在上一致连续.3.3.2减法 当函数均在区间 (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有在上一致连续.在上一致连续，函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同略去3.3.3乘法 当函数均在区间 (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论在上的一致连续性.1当区间为有限区间（无论开闭）时,有在上是一致连续的.证明 由在区间上是一致连续的,则在上都是有界的（为开区间时即为本文的第二部分结论,为闭区间是显然成立）.从而存在使得，且有，当，时有,对上述,存在,当时有,取，于是当时 所以在有限区间上是一致连续的.2当为无限区间,不能推出在上是一致连续的.例题4 取,则在上不是一致连续的.证明 不妨令取两个点列：则有,这只需，当就可办到,给定有,可见在上不一致连续.3.3.4除法 当函数均在区间 (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论（在上不为零）在上的一致连续性.1当为有限闭区间是,有在上的一致连续性.证明：由在闭区间上是一致连续的且在上不为零,则在上有最小值，即存在使,又有，当,且时有.从而 ,故在上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知在有限闭区间上是一致连续的.2当不为有限闭区间时，不能推出在上是一致连续的.例题5 取, ,在区间上不是一致连续的.证明 取,对无论多么小的正整数,只要取,则虽有 但,所以在内不一致连续.同理可证在也不一致连续4结束语函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，一致连续的函数处处连续，而连续函数不一定一致连续。本文总结了函数在区间上一致连续的条件以及一致连续函数的部分性质。判断函数在某一区间上是否一致连续的关键是看其是否存在使得在区间上任意点都适用的通用的，而是否存在通用的与函数在此区间上是否紧密相连。 参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.上册.第三版.北京：高等教育出版社，2001:79-802孙清华，数学分析内容方法与技巧M. 孙昊.上册.武汉:华中科技大学社,2003:125-1303黄永辉.数学分析选讲M北京：中国铁道出版社，2008:41-474汪林.数学分析问题研究与评注M.戴正德.北京：科学出版社，1995:43-505洪毅.数学分析M.上册.广州：华南理工大学出版社，2001:111-1146邢玉红.函数一致连续性的证明J.青海师专学报，2007,3（5）：45-477冉凯.关于函数一致连续性的证明的几个方法J.西安联合大学学报，2002,5(17)：71-738洪敏.关于一致