切线长定理(3).ppt

切线长定理 1 圆的切线的定义是什么 一 活动准备 2 圆的切线有哪些判定方法 3 你能过圆上一点作出圆的切线吗 能说出作图的步骤吗 理论依据是什么 O 作图的步骤 1 连接OA 2 过点A作直线l OA 二 活动一 1 你能过圆外一点作出圆的切线吗 O 2 能说出作图的步骤吗 3 理论依据是什么 4 过圆外一点能作几条圆的切线吗 过圆外一点作圆的切线 这点和切点之的线段的长 叫做这点到圆的切线长 O 思考 切线与切线长有区别吗 经过圆外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长叫做切线长 数学探究 O 切线长和切线的区别和联系 切线是直线 不可以度量 切线长是指切线上的一条线段的长 可以度量 如图 纸上有一 O PA为 O的一条切线 沿着直线PO对折 设圆上与点A重合的点为B 1 OB是 O的一条半径吗 2 PB是 O的切线吗 3 PA PB有何关系 4 APO和 BPO有何关系 数学探究 问题 已知 求证 如图 P为 O外一点 PA PB为 O的切线 A B为切点 连结PO 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 O Rt AOP Rt BOP O P A B PA PB PO平分 APB 1 2 连结OA OB PA PB与 O相切 点A B是切点 1 2 OA AP OB BP OAP OBP 90 OA OB OP OP PA PB PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 几何语言 反思 切线长定理为证明线段相等 角相等提供了新的方法 数学探究 思考 连结AB 则AB与PO有怎样的位置关系 为什么 你还能得出什么结论 E 例 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交于 O于点D E 交AB于C B A P O C E D 1 写出图中所有的垂直关系 OA PA OB PB AB OP 3 写出图中所有的全等三角形 AOP BOP AOC BOC ACP BCP 4 写出图中所有的等腰三角形 ABP AOB 5 若PA 4 PD 2 求半径OA 2 写出图中与 OAC相等的角 OAC OBC APC BPC 已知 如图PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于D E 交AB于C 60 我们学过的切线 有性质 1 切线和圆只有一个公共点 2 切线和圆心的距离等于圆的半径 3 切线垂直于过切点的半径 4 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 5 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 六个 P B A O 3 连结圆心和圆外一点 2 连结两切点 1 分别连结圆心和切点 反思 在解决有关圆的切线长的问题时 往往需要我们构建基本图形 反思 在解决有关圆的切线长问题时 往往需要我们构建基本图形 1 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 小结 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等 角相等 弧相等 垂直关系提供了理论依据 必须掌握并能灵活应用 一 判断 1 过任意一点总可以作圆的两条切线 2 从圆外一点引圆的两条切线 它们的长相等 练习 1 如图PA PB切圆于A B两点 连结PO 则度 P B O A 二 填空 25 3 如图 PA PB DE分别切 O于A B C DE分别交PA PB于D E 已知P到 O的切线长为8CM 则 PDE的周长为 A A16cm D8cm C12cm B14cm D C B E A P 1 已知 如图 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 2 如果PA 4cm PD 2cm 求半径OA的长 例2 如图 过半径为6cm的 O外一点P作圆的切线PA PB 连结PO交 O于F 过F作 O切线分别交PA PB于D E 如果PO 10cm 求 PED的周长 5 如果PA 4cm PD 2cm 试求半径OA的长 x 即 解得 x 3cm 半径OA的长为3cm 例1 如图 PA PB是 O的切线 A B为切点 OAB 30 1 求 APB的度数 2 当OA 3时 求AP的长 练习如图 从 O外一点P作 O的两条切线 分别切 O于A B 在AB上任取一点C作 O的切线分别交PA PB于D E 1 若PA 2 则 PDE的周长为 若PA a 则 PDE的周长为 2 连结OD OE 若 P 40 则 DOE 若 P k DOE 度 E O C B D P A 4 2a 70 随堂训练 2 观察OP与BC的位置关系 并给予证明 1 若OA 3cm APB 60 则PA 如图 AC为 O的直径 PA PB分别切 O于点A B OP交 O于点M 连结BC 试一试 已知 如图 P为 O外一点 PA PB为 O的切线 A和B是切点 BC是直径 C 50 求 APB的度数 求证 AC OP 试一试 如图1 一个圆球放置在V形架中 图2是它的平面示意图 CA和CB都是 O的切线 切点分别是A B 如果 O的半径为cm 且AB 6cm 求 ACB 思考 当切点F在弧AB上运动时 问 PED的周长 DOE的度数是否发生变化 请说明理由 思考 如图 一张三角形的铁皮 如何在它上面截下一块圆形的用料 并且使圆的面积尽可能大呢 I D o o 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 它到三角形三边的距离相等 数学探究 问题 如图 ABC 要求画 ABC的内切圆 如何画 已知 ABC求作 和 ABC的各边都相切的圆 B C A I D 作法 1 作 B C的平分线BM CN 交点为I2 过点I作ID BC 垂足为D3 以I为圆心 ID为半径作 I I就是所求的圆 N M O 三角形的外接圆 三角形的内切圆 I D 明确 1 一个三角形有且只有一个内切圆 2 一个圆有无数个外切三角形 3 三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点 4 三角形的内心到三角形三边的距离相等 试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等 例3 已知四边形ABCD的边AB BC CD DA分别与 O相切于P Q M N 求证 AB CD AD BC A B D L M N P O 结论 圆的外切四边形的两组对边和相等 已知 四边形ABCD的边AB BC CD DA和圆O分别相切于L M N P 探索圆外切四边形边的关系 C 1 找出图中所有相等的线段 2 填空 AB CDAD BC DN DP AP AL BL BM CN CM 比较圆的内接四边形的性质 圆的内接四边形 角的关系 圆的外切四边形 边的关系 1 四边形ABCD外切于 O 1 若AB BC CD DA 2 3 n 4则n 2 若AB BC CD 5 4 7 周长为48则最长的边为 2 圆内接平行四边形是矩形 圆外切平行四边形是 练习二 A B C D O 3 圆内接梯形为等腰梯形 4 1 已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm 则腰长为 2 若圆外切等腰梯形 两腰之比为9 11差为6cm 则中位线为 若S梯 150cm 则内切圆的直径为 如图 ABC的内切圆分别和BC AC AB切于D E F 如果AF 2cm BD 7cm CE 4cm 则BC cm AC AB 11 6cm 9cm B D A C F E 2 7 4 练习四已知 ABC是 O外切三角形 切点为D E F 若BC 14cm AC 9cm AB 13cm 求AF BD CE A B C D E F x x y y z z 解 设AF Xcm BD Ycm CE Zcm则AE AF Xcm DC BD Ycm AE EC Zcm 依题意得方程组 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 三边长分别是a b c 求 O的半径r 1 Rt 的三边长与其内切圆半径间的关系 13 探究三 求直角三角形内切圆的半径 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC a AC b AB c O为Rt ABC的内切圆 求 Rt ABC的内切圆的半径r 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 结论 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 4 O为Rt ABC的内切圆 1 求Rt ABC的内切圆的半径 2 若移动点O的位置 使 O保持与 ABC的边AC BC都相切 求 O的半径r的取值范围 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 1 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 解得 r 1 在Rt ABC中 BC 3 AC 4 AB 5 由已知可得四边形ODCE为正方形 CD CE OD Rt ABC的内切圆的半径为1 2 如图所示 设与BC AC相切的最大圆与BC AC的切点分别为B D 连结OB OD 则四边形BODC为正方形 A B O D C OB BC 3 半径r的取值范围为0 r 3 点评 几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法 例 如图 ABC中 C 90 它的内切圆O分别与边AB BC CA相切于点D E F 且BD 12 AD 8 求 O的半径r 探究三 求一般三角形内切圆的半径 2 已知 如图 ABC的面积为S 三边长分别为a b c 求内切圆 O的半径r B D E F O C A 如图 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 解 设 ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OA OB OC OD OE OF 则OD AB OE BC OF AC S ABC S AOB S BOC S AOC AB OD BC OE AC OF l r 设 ABC的三边为a b c 面积为S 则 ABC的内切圆的半径r 结论 三角形的内切圆的有关计算 14 小练习 1 边长为3 4 5的三角形的内切圆的半径为 2 边长为5 5 6的三角形的内切圆的半径为 3 已知 ABC的面积S 4cm 周长等于10cm 求内切圆 O的半径r 基础题 1 既有外接圆 又内切圆的平行四边形是 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 3 O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆 EF切 O于P点 交AB BC于E F 则 BEF的周长是 E F H G 正方形 22cm 2cm 选做题 如图 AB是 O的直径 AD DC BC是切线 点A E B为切点 若BC 9 AD 4 求OE的长 例 如图 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求A