山东省潍坊市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷（原卷版+解析版）

八年级数学试题（时间：120分钟满分：120分）注意事项：1．本试题满分120分，考试时间为120分钟；2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列运算正确是（）A. B.C. D.3.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（）A. B. C. D.4.下列判断正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.下列说法正确的是（）A.所有的无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数C.是最小的无理数 D.数轴上的每一个点都表示唯一一个实数6.测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（）A. B. C. D.7.若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是（）A.4＜m＜5 B.4≤m＜5 C.4＜m≤5 D.4≤m≤58.如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（）A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A. B. C. D.（10.在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.7二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）11.若，则的平方根是__________．12.已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．13.若成立，则x的取值范围是__________．14.在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________．15阅读材料：小华在学习分式运算时，发现：，，，…在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现：；；；……如果小数部分为，那么整数部分为__________．三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算（1）（2）（3）17.解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤．（1）解不等式；（2）解不等式组．18.（1）若，则用含a的代数式表示；（2）若，求的值．19.如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接．（1）判断的形状并证明；（2）求四边形的面积．20.用两种方法比较与大小．21.国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元．（1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？（2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？（3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？22.小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称．小莹：我们问问Deepseek吧！Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则．请阅读上述材料解决下列问题：（1）解方程；（2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识．23.如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t．（1）请在平面直角坐标系中画出点A、点B并求出线段的长度；（2）当时，求点C到线段的距离；（3）当点C运动到某一位置时，为等腰三角形，请画出此时点C的位置并直接写出t的值．

八年级数学试题（时间：120分钟满分：120分）注意事项：1．本试题满分120分，考试时间为120分钟；2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚；3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置．一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确）1.下列各式是最简二次根式的是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的判断，二次根式的性质化简，掌握最简二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根和立方根，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、算术平方根和立方根化简各数即可．【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，原计算错误，不符合题意；D、，原计算正确，符合题意；故选：D．3.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数．【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为，∴点A处所表示的数为．故选：B．4.下列判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【详解】解：A．若，则，故原判断错误；B．若，当，时，，故原判断错误；C．若，且，则，故原判断错误；D．若，则，故原判断正确；故选：D．5.下列说法正确的是（）A.所有的无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数C.是最小的无理数 D.数轴上的每一个点都表示唯一一个实数【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数，无理数，绝对值，实数与数轴．根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，绝对值，实数与数轴依次进行判断即可得．【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意；B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意；C、没有最小的无理数，本选项不符合题意；D、数轴上的每一个点都表示唯一一个实数，本选项符合题意；故选：D．6.测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可．【详解】设一个球的体积为，根据题意，得，解得，观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是．故选：C．7.若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是（）A.4＜m＜5 B.4≤m＜5 C.4＜m≤5 D.4≤m≤5【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围．【详解】解：，

解不等式①得：x＜m，

解不等式②得：x≥2，

则不等式组的解集是：2≤x＜m．

不等式组有3个整数解，则整数解是2，3，4．

则4＜m≤5．

故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．8.如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子．【详解】解：大正方形面积是36，x、y表示直角三角形的两条直角边，，B选项式子正确，不符合题意；小正方形的面积是4，，A选项式子正确，不符合题意；大正方形的面积是36，小正方形的面积是4，四个全等的直角三角形的面积和为，，，D选项式子正确，不符合题意；，，C选项式子错误，符合题意；故选：C．9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A. B. C. D.（【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．【详解】∵，轴，，∴四边形是矩形，∵点C的坐标为，∴，，∴由轴对称变换可知，，，又∵，∴，∴，∴在中，∵，∴，∴，∴，故选：B．10.在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的对角线是边长的倍，确定镶嵌中的两个顶点在小正方形的内部时m值最大是解题的关键，作出图形更形象直观．根据公共部分的定义，让小正方形的对角线与9个小正方镶嵌的图形中的边上，且使两个顶点在小正方形内部即可得到m的最大值．【详解】解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的m的值最大，为6．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果）11.若，则的平方根是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴的平方根是，故答案为：．12.已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了点坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答．【详解】解：∵点位于第三象限，∴∴故答案为：13.若成立，则x的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的性质，．根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可．【详解】解：∵成立，∴，解得，故答案为：．14.在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理．分当Q在射线上和当Q在射线上两种情况利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，当Q在射线上时，∵，，，∴，∴；如图所示，当Q在射线上时，∵，，，∴，∴，∴，故答案为：或．15.阅读材料：小华在学习分式运算时，发现：，，，…在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现：；；；……如果的小数部分为，那么整数部分为__________．【答案】19【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可．【详解】解：∵；；；……，∴，∴，∵结果的小数部分，即，解得，经检验，是该分式方程的解，∴结果的整数部分为19．故答案为：19．三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算（1）（2）（3）【答案】（1）（2）2（3）33【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是：（1）先根据二次根式性质化简，然后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的乘法、除法法则以及二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；（3）先根据二次根式的性质化简，然后根据平方差公式计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式．17.解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤．（1）解不等式；（2）解不等式组．【答案】（1），数轴见解析（2）无解，数轴见解析【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，数轴表示解集，以及整数解的问题，正确计算是解题的关键．（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，再在数轴表示解集；（2）分别求每一个不等式的解集，再取公共部分即可，再在数轴表示解集．【小问1详解】解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，在数轴上表示为：【小问2详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组无解，在数轴上表示为：．18.（1）若，则用含a的代数式表示；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据二次根式的乘法运算求解即可；（2）根据二次根式的乘法运算和完全平方公式求解即可．【详解】解：；（2），，，．19.如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接．（1）判断的形状并证明；（2）求四边形的面积．【答案】（1）是直角三角形，证明见解析；（2）【解析】【分析】本题考查了垂直平分线性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．（1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可；（2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积．【小问1详解】解：是直角三角形，证明如下：，点E是的中点，垂直平分，，，，，，即是直角三角形；【小问2详解】解：，，，，点E是的中点，，，，四边形的面积．20.用两种方法比较与的大小．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的混合运算，无理数的大小估算，完全平方公式，不等式的性质等知识，掌握实数大小比较的常见方法是解题关键．方法一：利用平方法比较大小；方法二，利用作差法和平方差结合比较大小．【详解】解：方法一：，，，，，；方法二：，，，，，21.国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元．（1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？（2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？（3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？【答案】（1）购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元；（2）最多购进“哪吒”纪念品件；（3）该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键．（1）设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，根据“购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进“哪吒”纪念品件，根据“用不超过3100元的资金购进纪念品”列不等式求解即可；（3）根据题意列不等式，从而得到，即可求解．【小问1详解】解：设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，则，解得：，答：购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元；【小问2详解】解：设购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件，则，解得：，是正整数，最多购进“哪吒”纪念品件；【小问3详解】解：根据题意得：，解得：，由（2）可知，，的取值为68、69、70，则该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件．22.小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称．小莹：我们问问Deepseek吧！Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则．请阅读上述材料解决下列问题：（