高中数学 第一章 数列 3_2 等比数列的前n项和(二)课件 北师大版必修5

第一章数列 3 2等比数列的前n项和 二 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 会用错位相减法求和 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列前n项和公式的函数特征 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 那么数列 an 是不是等比数列 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 1呢 答案 梳理 当公比q 1时 设A 等比数列的前n项和公式是Sn A qn 1 当公比q 1时 因为a1 0 所以Sn na1 Sn是n的正比例函数 知识点二等比数列前n项和的性质 思考 若等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列吗 答案 设 an 的公比为q 则Sn a1 a2 an S2n Sn an 1 an 2 a2n a1qn a2qn anqn qnSn S3n S2n a2n 1 a2n 2 a3n an 1qn an 2qn a2nqn qn S2n Sn Sn S2n Sn S3n S2n成等比数列 公比为qn 梳理 等比数列 an 前n项和的三个常用性质 1 数列 an 为公比不为 1的等比数列 Sn为其前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n仍构成等比数列 2 若 an 是公比为q的等比数列 则Sn m Sn qnSm n m N 知识点三错位相减法 思考 在上一节 我们是如何求公比不为1的等比数列 an 的前n项和Sn a1 a2 an的 在等式两端乘以公比 两式会出现大量的公共项 通过相减消去即可 答案 梳理 如果数列 an 是等差数列 bn 是公比不为1的等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 一般使用如下方法 Sn a1b1 a2b2 anbn qSn a1b1q a2b2q anbnq a1b2 a2b3 anbn 1 得 1 q Sn a1b1 a2 a1 b2 a3 a2 b3 an an 1 bn anbn 1 a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 题型探究 类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1已知数列 an 的前n项和Sn an 1 a是不为零且不等于1的常数 则数列 an A 一定是等差数列B 一定是等比数列C 是等差数列或等比数列D 既非等差数列 也非等比数列 答案 解析 反思与感悟 2 若数列 an 的前n项和Sn A qn 1 其中A 0 q 0且q 1 则 an 是等比数列 跟踪训练1若 an 是等比数列 且前n项和为Sn 3n 1 t 则t 答案 解析 类型二等比数列前n项和的性质 命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项 前2n项 前3n项的和分别为Sn S2n S3n 求证 Sn S2n S3n 证明 反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1 运用等比数列的前n项和公式 要注意公比q 1和q 1两种情形 在解有关的方程 组 时 通常用约分或两式相除的方法进行消元 2 灵活运用等比数列前n项和的有关性质 跟踪训练2在等比数列 an 中 已知Sn 48 S2n 60 求S3n 解答 命题角度2不连续n项之和问题 答案 解析 反思与感悟 注意观察序号之间的联系 发现解题契机 整体思想能使问题解决过程变得简洁明快 跟踪训练3设数列 an 是以2为首项 1为公差的等差数列 数列 bn 是以1为首项 2为公比的等比数列 则 答案 解析 126 类型三错位相减法求和 例4求数列 的前n项和 解答 反思与感悟 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 anbn 的前n项和时 可采用错位相减法 跟踪训练4求和 Sn x 2x2 3x3 nxn x 0 解答 当堂训练 1 一个七层的塔 每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍 一共点381盏灯 则底层所点灯的盏数是A 190B 191C 192D 193 答案 解析 1 2 3 4 答案 解析 2 已知等比数列 an 的前n项和为Sn x 3n 1 则x的值为 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 由题意得S7 S14 S7 S21 S14组成等比数列48 12 3 即S21 S14 3 S21 63 3 一个等比数列的前7项和为48 前14项和为60 则前21项和为A 180B 108C 75D 63 1 2 3 4 答案 解析 当n 1时 a1 S1 3 k 当n 2时 an Sn Sn 1 3n k 3n 1 k 3n 3n 1 2 3n 1 由题意知 an 为等比数列 所以a1 3 k 2 k 1 1 2 3 4 4 在数列 an 中 an 1 can c为非零常数 且前n项和为Sn 3n k 则实数k 答案 解析 1 规律与方法 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列且公比为q 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减的方法求和 2 等比数列中用到的数学思想 1 分类讨论的思想 利用等比数列前n项和公式时要分公比q 1和q 1两种情况讨论 研究等比数列的单调性时应进行讨论 当a1 0 q 1或a11或a1 0 0 q 1时为递减数列 当q 0时为摆动数列 当q 1时为常数列 2 函数的思想 等比数列的通