高中数学 第一章 解三角形 1_2 余弦定理（二）课件 苏教版必修5

第1章解三角形 1 2余弦定理 二 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解决简单的实际问题 3 能利用正弦 余弦定理解决有关三角形的恒等式化简 证明及形状判断等问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形 思考 答案 能 在余弦定理b2 a2 c2 2accosB中 已知三个量AC b AB c cosB 代入后得到关于a的一元二次方程 解此方程即可 梳理已知两边及其一边的对角 既可先用正弦定理 也可先用余弦定理 满足条件的三角形个数为0 1 2 具体判断方法如下 1 当A为钝角时 则B必为锐角 三角形的解唯一 2 当A为直角且a b时 三角形的解唯一 3 当A为锐角时 如图 以点C为圆心 以a为半径作圆 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系 当ab 则有A B 所以B为锐角 此时B的值唯一 知识点二判定三角形的形状 思考1 答案 不需要 如果所知条件方便求角 只需判断最大的角是钝角 直角 锐角 如果方便求边 假设最大边为c 可用a2 b2 c2来判断cosC的正负 而判断边或角是否相等则一目了然 不需多说 三角形的形状类别很多 按边可分为等腰三角形 等边三角形 其他 按角可分为钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定 思考2 答案 ABC中 sin2A sin2B 则A B一定相等吗 梳理判断三角形形状 首先看最大角是钝角 直角还是锐角 其次看是否有相等的边 或角 在转化条件时要注意等价 知识点三证明三角形中的恒等式 思考 答案 前面我们用正弦定理化简过acosB bcosA 当时是把边化成了角 现在我们学了余弦定理 你能不能用余弦定理把角化成边 梳理证明三角恒等式的关键是借助正 余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异 题型探究 例1一商船行至某海域时 遭到海盗的追击 随即发出求救信号 正在该海域执行护航任务的海军舰艇在A处获悉后 即测出该商船在北偏东45 距离10海里的C处 并沿方位角为105 的方向 以9海里 时的速度航行 舰艇立即以21海里 时的速度前去营救 求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程 解答 类型一用余弦定理解决实际问题 如图 若舰艇以最短时间在B处追上商船 则A B C构成一个三角形 设所需时间为t小时 则AB 21t BC 9t 又AC 10 依题意得 ACB 120 根据余弦定理 得AB2 AC2 BC2 2AC BCcos ACB 所以 21t 2 102 9t 2 2 10 9tcos120 所以 21t 2 100 81t2 90t 即360t2 90t 100 0 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意 正确做出图形 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通过建立数学模型来求解 反思与感悟 跟踪训练1某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距9海里的C处有一艘走私船 正沿南偏东75 的方向以10海里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以14海里 小时的速度沿着直线方向追去 问巡逻艇应该沿什么方向去追 需要多少时间才追赶上该走私船 解答 如图 设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船 则CB 10 x AB 14x AC 9 ACB 75 45 120 由余弦定理 得 14x 2 92 10 x 2 2 9 10 xcos120 所以巡逻艇需要1 5小时才追赶上该走私船 所以BC 10 x 15 AB 14x 21 在 ABC中 由正弦定理 得 所以 BAC 38 13 或 BAC 141 47 钝角不合题意 舍去 所以38 13 45 83 13 所以巡逻艇应该沿北偏东83 13 方向去追 经过1 5小时才追赶上该走私船 类型二利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式 例2在 ABC中 有 1 a bcosC ccosB 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 这三个关系式也称为射影定理 请给出证明 证明 方法一 1 由正弦定理 得b 2RsinB c 2RsinC bcosC ccosB 2RsinBcosC 2RsinCcosB 2R sinBcosC cosBsinC 2Rsin B C 2RsinA a 即a bcosC ccosB 同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 方法二 1 由余弦定理 得 a bcosC ccosB 同理可证 2 b ccosA acosC 3 c acosB bcosA 反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式 可以考虑两种途径 一是把角的关系通过正弦 余弦定理转化为边的关系 正弦借助正弦定理转化 余弦借助余弦定理转化 二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系 证明 等式成立 等式成立 类型三利用正弦 余弦定理判断三角形形状 例3在 ABC中 已知 a b c b c a 3bc 且sinA 2sinBcosC 试判断 ABC的形状 解答 由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc 即b2 c2 a2 bc 又sinA 2sinBcosC 由正弦 余弦定理 得 b2 c2 b c ABC为等边三角形 引申探究若将本例中的条件 a b c b c a 3bc改为 b2 c2 a2 2 b3c c3b a2bc 其余条件不变 试判断 ABC的形状 解答 反思与感悟 1 判断三角形的形状 往往利用正弦定理 余弦定理将边 角关系相互转化 经过化简变形 充分暴露边 角关系 进而作出判断 2 在余弦定理中 注意整体思想的运用 如 b2 c2 a2 2bccosA b2 c2 b c 2 2bc等等 解答 跟踪训练3在 ABC中 若B 60 2b a c 试判断 ABC的形状 方法一根据余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB B 60 2b a c 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2c 即b c ABC是等边三角形 方法二根据正弦定理 2b a c可转化为2sinB sinA sinC 又 B 60 A C 120 C 120 A 2sin60 sinA sin 120 A A 0 120 整理得sin A 30 1 A 30 30 150 A 30 90 A 60 C 60 ABC是等边三角形 当堂训练 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 0 B 180 B 120 1 2 3 4 答案 解析 1 在 ABC中 若b2 a2 c2 ac 则B 120 2cosBsinA sinC a b 故 ABC为等腰三角形 1 2 3 4 2 在 ABC中 若2cosBsinA sinC 则 ABC的形状一定是三角形 等腰 答案 解析 3 如图 两座相距60m的建筑物AB CD的高度分别为20m 50m BD为水平面 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 1 2 3 4 答案 解析 45 1 2 3 4 又CD 50m 所以在 ACD中 又0 CAD 180 所以 CAD 45 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45 1 2 3 4 答案 解析 规律与方法 1 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径