1.5.1曲边梯形的面积(1).doc

江苏省丹阳高级中学高二数学新教材选修2-2教案导数及其应用 2020-01-1715 定积分1.5.1 曲边梯形的面积【教学目标】1了解微积分在几何上的两个基本问题，学会求曲边梯形的面积的一般方法；2通过求曲边梯形的面积，进一步感受数学的逼近思想，引导学生在“分割、以直代曲、作和、逼近”的具体操作过程中，突出“局部以曲代直”的思想本质【教学重点】正确理解“分割、以直代曲、作和、逼近”的求曲边梯形的面积方法【教学难点】对“分割、以直代曲、作和、逼近”的求曲边梯形的面积方法的理解【教学过程】一、问题情境如何求直线x = 0，x = 1，y = 0和曲线y = x2 围成的图形（曲边三角形）的面积？二、学生活动三、建构数学曲边梯形的面积。分割把区间0，1等分成 n个小区间：0， ， ， ， ， ， ， ， ， ，每个小区间的长度是，过各区间顶点作 x 轴的垂线，从而得到 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Si，Sn。以直代曲对区间 ， 上的小曲边梯形，以区间的右端点 对应的函数值为一边的长，以 为宽的长的小矩形面积近似地代替小曲边梯形的面积，即Si 。求和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形的面积的近似值，所以n个小矩形面积这和就是所要求的曲边三角形面积S的近似值，即S =S1 +S2 + +Si + +Sn =Si = = 12 +22 + + n2。逼近当分割无限变细，即 0（亦即时），12 +22 + + n2= S (当n +时)。而当n +时， 。由此可见，S = 。【归纳】计算曲边梯形面积的一般思路：分割化整为零；以曲代直以不变代变；求和积零为整；逼近从近似到精确。一般地，对于一个给定区间a，b上的函数 y = f (x) (f (x)0)，若将区间平均分成 n 个小区间，每个小区间的左(或右端点或区间的中点)设为 xi ，区间长度为 ，则曲边梯形的面积可近似地表示为f(x1)x +f(x2)x + + f(xn)x = f(xi)x。问题在求曲边梯形的面积时，取的函数值是区间的左端点，或右端点或区间的中点，得到的结果是否相同？如果对区间没有等分，得到的结果是否相同？四、例题选讲【例】求半径为R，高为 h 的圆锥的体积。分割：将圆锥体分成 n个较薄的等高的圆台（最上一个实际上是圆锥）。以曲代直： 把圆锥分成 n 个等高的部分，每个部分都近似看成一个圆柱体，则每部分的高均为 ，自上而下的半径依次为 ， ， ，第一个圆柱体体积为 ；第二个圆柱体体积为 ； 第三个圆柱体体积为 ； 第 n1个圆柱体体积为 ； 第 n 个圆柱体体积为 。 作和： 将这些圆柱体的体积加起来，则Vi = 12 +22 + + n2 。 整理可得： = p R2 h 。 逼近 Vi 为体实积（圆锥体的体积，记为V锥）的过剩近似值，如果把整个圆锥体分得极为细微，分得愈细，则空隙愈小，Vi 就愈接近实积，则当 n 趋向于无穷大时，则近似值转化为精确值。 Vi =p R2 h p R2 h （当n+时）。 V锥 = p R2 h。五、课堂练习 P46 练习1六、课后作业：1函数 f (x) = e x在区间 ， 上（ ） Af (x) 的值变化很小 Bf (x) 的值变化很大Cf (x) 的值没有变化 D当n很大时，f (x) 的值变化很小2当n很大时，f (x) = x2 +1在 ， 上的值可以用（ ）近似地代替 Af () Bf ()Cf () Df (0) 3根据求曲边梯形的面积的一般步骤计算由直线 x =0，x =1，y= 2和 y