【走向高考】高三数学一轮复习 24二次函数的图像与性质课件 北师大版.ppt

考纲解读1 理解并掌握二次函数的定义 图像及性质 2 会求二次函数在闭区间上的最值 3 能用二次函数 一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题 考向预测1 由于二次函数与二次方程 二次不等式之间有着密切的联系 同时有些复杂函数可通过换元化为二次函数 加上三次函数的导函数是二次函数 因此二次函数一直是高考的热点 2 常与二次方程 不等式等综合考查 知识梳理1 二次函数的解析式 1 一般式 f x 2 顶点式 若二次函数的顶点坐标为 h k 则其解析式为 f x 3 两根式 若相应一元二次方程的两根为x1 x2 则其解析式为f x ax2 bx c a 0 a x h 2 k a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图像和性质 3 若二次函数y f x 恒满足f x m f x n 则其对称轴为x 基础自测1 已知二次函数y ax2 bx c满足a b c 且a b c 0 那么它的图像是图中的 答案 a 解析 a b c且a b c 0 a 0 c0 图像开口向上 与y轴的截距为负 且过 1 0 点 答案 d 3 2010 四川文 函数f x x2 mx 1的图像关于直线x 1对称的充要条件是 a m 2b m 2c m 1d m 1 答案 a 4 若函数f x m 1 x2 2mx 3是定义在r上的偶函数 则f x 在 0 上 a 为增函数b 为减函数c 先减后增d 先增后减 答案 b 解析 f x 为r上的偶函数 m 0 f x x2 3 由二次函数的图像易知f x x2 3在 0 上为减函数 5 f x x2 2 2 a x 2在 2 上是减函数 则a的取值范围是 答案 4 6 教材改编题 函数y x2 4x 3在 1 0 上的最大值是 最小值是 答案 30 解析 y x2 4x 3 x 2 2 1 对称轴x 2在 1 0 的左侧 所以函数在 1 0 上单调递增 故当x 0时 f x 取最大值f 0 3 当x 1时 f x 取最小值f 1 0 解析 作图像如图所示 f 1 f 1 4 f 2 3 f 3 0 f 0 3 函数的最大值 最小值分别为0和 4 即函数的值域为 4 0 例1 已知二次函数f x 同时满足条件 1 f 1 x f 1 x 2 f x 的最大值为15 3 f x 0的两根立方和等于17 求f x 的解析式 分析 从所给条件f 1 x f 1 x 知 f x 的图像关于直线x 1对称 又f x 的最大值为15 可设f x a x 1 2 15 其中a 0 问题转化为利用条件 3 方程f x 0的两根x1 x2有x13 x23 17 求出系数a 点评 求二次函数解析式的问题一般用待定系数法 其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式 本题解答中 注意沟通a与x1 x2之间的关系 已知二次函数f x 满足条件f 0 1和f x 1 f x 2x 1 求f x 2 求f x 在区间 1 1 上的最大值和最小值 解析 1 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 1可知c 1 而f x 1 f x a x 1 2 b x 1 c ax2 bx c 2ax a b 由已知f x 1 f x 2x 可得2a 2 a b 0 因而a 1 b 1 故f x x2 x 1 例2 设函数f x x2 2x 1在区间 t t 1 上有最小值g t 求g t 的解析式 解析 f x x2 2x 1 x 1 2 2 1 当t 1 t 1 即0 t 1时 g t 2 2 当t 1时 f x 在区间 t t 1 上是增函数 则最小值g t f t t2 2t 1 点评 二次函数在闭区间上的最值问题 关键是判断对称轴与区间的关系 当二者关系不确定时 要进行分类讨论 一般的讨论分为三种情况 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 例3 函数f x x2 ax 3 1 当x r时 f x a恒成立 求a的范围 2 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的范围 解析 1 f x a恒成立 即x2 ax 3 a 0恒成立 必须且只需 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 6 a 2 点评 第 1 问因为x r 可得f x a转化为关于x的一元二次不等式恒成立 根据 三个二次 间的关系求解 第 2 问因为x 2 2 可求函数f x 在此区间上的最小值 使a f x min成立 求得a的取值范围 答案 c 例4 1 关于x的方程2x2 3x 2m 0有且仅有一根在 1 1 内 求m的取值范围 2 关于x的方程2x2 3x 2m 0两实根均在 1 1 内 求m的取值范围 分析 本题涉及二次方程根的分布问题 很容易联想到根与系数的关系 可根据韦达定理去解决 例5 2010 广东文 已知函数f x 对任意实数x均有f x kf x 2 其中常数k为负数 且f x 在区间 0 2 上有表达式f x x x 2 1 求f 1 f 2 5 的值 2 写出f x 在 3 3 上的表达式 并讨论函数f x 在 3 3 上的单调性 3 求出f x 在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 分析 本题考查了分段函数的性质及最值的讨论 做题时要高度清醒 并涉及不等式相关内容 体现了分类讨论思想和转化思想 x 3 2 时 x 2 1 0 f x kf x 2 k2 x 4 x 2 显然f x 2k2 x 3 0 递增 x 0 2 时 f x x x 2 令f x 0 x 1递增 f x 0 0 x 1递减 综上所述 f x 在 3 1 上递增 在 1 1 上递减 在 1