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注重策略，打造高效复习课广平一中 刘景鹏第一部分：2010年高考的考题特点特点一：试题运算量较上年有所增加2010年高考数学试题与2009年试题在题量和题型上基本保持不变，但与09年相比，能力立意类型试题较多，运算量较大。就整个试卷来说，重点知识重点考查。总体看，难度较上年有所增加。特点二：试题在平易设计中见细微考查选择题与往年相比难度偏大。前7题属于基础题，比较容易得分，但从第8 题开始，难度增大。第8题注重考查指数函数、对数函数的图象和性质及利用不等式的传递性进行估算的能力；第9题考查双曲线的第一定义(其中利用重要结论处理比较简捷)；第10题考查函数的图象和性质，侧重数形结合思想的应用，包含了对重要不等式或线性规划的应用，具有广阔的思维空间；容易掉进陷阱。第11题侧重考查平面向量与解析几何的综合应用，以及利用重要不等式求函数的最值。填空题第13题至第15题属于基础题，第16题属于09年高考考题的变形，重点考查圆锥曲线的第二定义。解答题第17题仍为三角函数问题，但与往年相比有一定的新意，着重考查了正弦定理及三角公式的恒等变形，在思路上与往年比有新意；第18题概率统计题考查思路常规，着重考查独立重复事件的概率，难度较小；第19题立体几何问题，传统方法与向量方法并行(相比之下向量法更易入手)，和往年相比，变化不大，但学生得分还是不太理想。试题重点考查空间面面关系和线线关系以及二面角的求法，难度适中；第20题导数问题，学生感觉入题容易，但深入较难，不易得高分。此题重点考查了函数的单调性、极值、最值及不等式证明；第21题解析几何问题，重点考查设而不求的常规思路，思路宽广，解法灵活；第22题数列问题，考查简单的递推关系求通项和不等式证明。第一问较容易，只能说有部分学生能够完成，第二问难度大，灵活性较强，从全省看得到10分的学生不足百人，没有满分试卷。特点三：突出数学思想方法和基础知识的考查考查函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般的思想。对数学思想方法的考查几乎贯穿于整个试卷中如：第10题、第11题、第12题、第16题、第21题、第22题等。特点四：注重能力的考查对学生能力的考查主要体现在运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力以及创新能力。试题从不同思维层次设计不同题目，区分出不同思维层次的考生。压轴题考查学生综合性水平的思维能力和学习潜能，为高水平学生展示数学能力提供机会。如2009年天津试题比较大小问题，2010年全国考卷中的比较大小问题：。比较大小是高中数学中常见的题型,也是高考选择题中常考的一类题目.这类问题在教材中有专例（函数性质的应用和不等式的传递性插值比较的原理）。但又高于教材，综合性强,往往以某种函数为背景,涉及不等式、向量等多方面的数学知识及多种数学思想方法,涉及的知识面广，立意新，角度新，问题的解决没有固定的模式，解法灵活。着重考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力。因此成为屡屡命题的一个原因。特点五：稳中有变，适度创新，凸现学科能力2010年全国数学试卷充分关注对考生创新意识和创造思维能力的考查。不仅考查对一些定理、公式、法则的理解，而且更多考查了学生灵活运用这些知识和法则分析、解决综合性数学问题的能力。从整张试卷来看，结构是由易到难，梯度把握也比较好，比较有利于各类考生的发展。同时，试题遵循了科学性、公平性、规范性和简洁性的原则。第12题属于立体几何类型题目，考查空间想象能力以及体积分割法，当然也可以用对称思想进行直觉猜想，分割求和。第二部分：质检中发现学生答卷暴露出的主要问题1、表述不规范失分（产生模棱两可的，让人分辨不清）。2步骤缺失性失分3. 笔误性失分，如区间变式，式子的变形推导及空间推理等环节出现笔误十分多见。4公式记忆不准确失分今年文科17题（数列），考查学生运用等差与等比数列的基本公式进行运算的基本技能。这样的计算形式，在课本上也有“知三求二”的求解要求。我们发现，将等差数列的通项公式和前n项和公式套用错误的现象在一些考卷中时有发现。对公式的结构根本就没有把握清楚。 5答题策略性错误失分 所选择的知识没有问题，但会出现求不出结果而导致思路中断，这些应该属于“策略性错误”失分现象。例如，立体几何选择空间向量的做法估计不低于50 ，更何况只要建立空间直角坐标系，就给2分，因此建议在立体几何教学中，一定要学习空间向量法解立体几何题。6 .心理性错误的失分现象考生一见到题型很熟悉，没有看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”，这就是“心理性错误”失分现象。卷面不清楚，书写潦草的卷面致使评卷员由于无法辨别所写内容，导致失分；答题超越边界失分；答题易位失分，出现0分。第三部分：注重策略，打造高效复习课一、学生答题（高考题）的现状和高考对教学的要求考试大纲指出“对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次包含低一级的层次要求。”三个层次简单说分别为：了解：知是非；理解和掌握：不仅知是非，而且明因果，还要会运用；灵活和综合运用：不仅知是非，明因果，会运用，还要善于运用，但这样的划分仍是定性的，很难操作。又如，考试大纲中多处提到“会解简单的*”，何谓“简单的*”？如何界定？所有这些都只能通过深入研究历年的高考数学试题才能使之达到具体化、可操作化。二、高三复习课的现状高三数学历年考试都出现大量的基础不牢固和应用不灵活而痛失分数的现象，我们每年都强调基础，强调三基落实，表现在教学工作中，就是“教什么和怎么教”的问题。但现实的情况怎样呢？1、教学起点较高，学情估计高。一个高中生，学习了高一、二的课程，知识分散，不连贯，如果教师盲目拔高，学生做不成，必然丧失信心。2、教学进度快。没有“以学论教”。盲目追求复习进度，对知识理解囫囵呑枣，出现“夹生饭”，以致出现“更多的掉队生”。3、盲目跟从“教辅资料”。缺乏适合“自己学生”的教辅资料。当前，许多学校的状况正在悄悄地发生变化，实施“教案与学案”制度，有效改善了盲从现象，对资料有取舍，有删减，该补的要补充，该调整的要调整，使教学设计更有系统性和针对性，这是一种可喜的现象。三、复习课应体现的基本理念高三学生的学习时间有三分之二在课堂上，因此，高三教学工作理念应贯彻在每一节课中，向课堂要效益，向训练要成绩。1、注重课本，督促验收基础是什么？简单说，就是课本。基础好，就是课本的内容掌握的好。无论是哪个层次的学生，都应该把教材做熟。做到：定义会说，公式会推，例题会讲，习题会做。课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的，具有很强的示范性，典型性和探索性，在复习过程要善于以这些题为原型，通过类比，延伸，迁移，拓广。提出新问题并加以解决、反思，充分挖掘例题的扩张效应，从而提高学生复习的积极性，培养他们的探索精神和创新精神。2、突出重点，提高效益对考试大纲中指出的三个层次的能力要求“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”进行分解教学，讲到位，练到家。3、归纳总结，强化记忆结合典型例题，总结规律和方法。做到“基本方法领悟真谛，基本步骤熟练123，重要题型，研究规律，落实思维策略”。4、结合课标，研究高考高考题是知识的载体，能力的体现，课本的延伸，大纲的注解。有计划，有目的安排适量的高考题，让学生探究，达到明确方向，提高能力，增强自信。教师对高考题的研究还应注意与新课标理念的联系，以把握命题的趋势。5、教师主导，学生主体复习课既要教师的讲解和示范，也要充分发挥学生的高度的自主性和参与精神，培养成一种积极思考，勇于探索的学习氛围。四、怎样打造高效复习课复习课如何上？知识如何串？方法如何讲？说到底，高三复习课其实就是“教什么和怎样教”的问题。教学实践表明，注重复习方法，讲究复习策略，是打造高效课堂的关键。在第一轮复习中，大多存在复习起点过高，选题过难的误区。要打破这一误区，就要降低起点。低起点，方能重视“三基”，方能使“四能”培养成为有源之水。在突出“能力”考查的今天，对“三基”的考查仍是高考的基调之一，强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想和方法。因此，高三数学教学必须按考试说明对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓住“三基”的教与学，让学生真正理解掌握，形成知识网络，融会贯通，举一反三。五、高三复习课的基本策略课本求会，知识融联，典题融变，方法融通1 课本求会坚持用“四会”标准要求学生掌握课本知识。定义会说；公式会推；例题会讲；习题会做。（对学生的基本要求）定义，特别是一些核心概念，务必让学生达到熟读成诵的要求。告诉学生不能只知大概，要能准确说出，特别是不能遗漏或说错“关键词”。课本公式，要求会推。八十年代，考勾股定理证明，余弦定理证明。今年四川卷考两角和的余弦公式，两角和的正弦公式证明。这些都是教材上明白无误清清楚楚写好了的。突然考查公式证明，我们的学生（广平一中假期学习的部分学生）有80的学生记不得，没有印象。有少数有点印象，只知大概。像这样的基础性公式，不仅蕴含着重要的数学思想（一般与特殊的思想，数形结合思想，方程思想等），而且是推导其他公式的基础，因此它的重要性不言而喻。2010年高考四川卷（理）的第19题是：（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知ABC的面积，且，求.2010年高考四川卷（文）的第19题是：（）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式（）已知，求。例题会讲，不是因为课本例题简单，而是因为例题反映了解决基本问题的方法和步骤。习题会做，反映出对基本知识的初步理解和掌握。为后期的整合与提高做好准备。2 知识融联坚持用联系观点审视教材，审视数学知识高中数学知识丰富多彩，具有内在的系统性和关联性，只是高一、二时学的知识到高三的时候大都忘记了，好多公式记不住了，定理分不清了，概念模糊了。因此在高三复习的时候，必须将每一章，每一节的知识进行梳理，根据知识的内在联系和难易程度，可安排24节课进行专题梳理，进行横向联系，把书读薄。当然这种梳理不是简单的知识再现，更不是面面俱到的简单重复，而是择其重点和难点，找准突破口，重新认识知识。梳理数学核心概念，展示概念内涵与外延理解数学概念是进行一切数学活动的基础。尤其是一些重要的核心数学概念，承载着引领章节总体内容的展开，处于知识结构的核心地位。如函数定义，三角函数定义，曲线的方程和方程的曲线的概念，圆锥曲线定义，概率的意义，导数的定义等等。高考试题直接或间接地实施对概念的考查，概念不清，难以作答。因此，我们的课堂教学必须重视对概念教学的认真设计，务必揭示概念的本质属性和相邻概念之间的相互联系。教学中要防止对重要概念挖掘不深，肤浅蒙眬的教学安排。也要防止对某些章节众多概念的简单罗列，这就要求教师对这些概念的内涵与外延有一个宏观的把握，在进行概念教学时，重在引导学生对所学概念进行系统化整理，清晰展现相关概念的区别与联系。例1：多面体部分的概念较多，且易混淆（hunxiao）：多面体，简单多面体，凸多面体，棱柱、棱锥，正棱锥，直棱柱，四棱柱，直四棱柱，正四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正方体，这十四个概念用文氏图表示出他们之间的关系如下：梳理性质与原理，展示由特殊到一般的认识过程例2：有理数指数幂的运算性质与对数的运算性质，在复习时将这两个知识点放在一起进行复习，展示问题原有的结构风貌，复习效果是非常理想的。原因很简单，就是指数与对数本身就是一对“孪生兄弟”。复习时可梳理成如下对应关系。指数式对数式指数幂的运算性质对数的运算性质例3：对于函数奇偶性的学习，可以进行如下表所示的系统性的归纳整理文字描述特征式几何意义变式结构命题的否定本质偶函数的定义恒成立函数图象关于直线(y轴)对称存在使不是偶函数函数图象对称性规律表二：函数奇偶性的拓展认知（三个基本规律）单调性奇函数在对称区域上单调性一致偶函数在对称区域上单调性相反解析式为奇函数为偶函数，记忆口诀：奇求对称式，内外都有负；偶求对称式，只有内函负。对称性奇函数图象关于(0,0)点对称特征式函数图象关于点(m,0)对称的代数特征式偶函数图象关于直线x=0 对称特征式函数关于直线x=m对称的代数特征式或例4在上述认识的基础上形成函数奇偶性完整认知结构表解析式满足的关系函数图像具有的特征f(-x)= f(x)关于x轴对称f(-x)=- f(x)关于原点中心对称f(a-x)= f(a+x)关于直线x= a轴对称f(a-x)=- f(a+x)关于点（a，0）中心对称f(a-x)= f(b+x)关于直线x= 轴对称f(a-x)=- f(b+x)关于点（，0）中心对称y=f(a-x)与y= f(a+x)关于y轴对称抓公式推演与变通教学，揭示方法，感悟思想，展示公式变形技巧与方法，强调公式应用范围例5一元二次方程韦达定理（根与系数的关系）是代数运算中应用较多的一个公式，它常常与其他数学对象的求解联系在一起，复习时可帮助学生完成一些公式的恒等变形：；例6余弦定理的推导，如何推证？体现怎样的数学思想？有怎样的变式？ 一箭三雕推三式：余弦定理，射影定理，正弦定理；关于余弦定理的推证，有基于向量方法的证明，见教材第142页的推证过程。有基于平面几何学的余弦定理的证明及其特例勾股定理证明。还有基于坐标法的解析证明方式。方法不同，体现出不同的数学思想。一个基本的向量式：（），并计将（）式两边平方，余弦定理；取方向上的单位向量，用乘（）式两边，得到射影定理；取与垂直的单位向量，用乘（）式两边，可得正弦定理（分量式）公式变形，逆向变式；结合完全平方公式，得到结构变式，结合均值不等式，得到不等变式。高中阶段的任何公式都兼具方程、函数、不等式的属性，代数恒等式型的公式是显于形式的外表，变化则是蕴含其中不变的事实。从公式的推导到公式的变形，强调公式的正用，反用和変用。认真落实。3典题融变坚持用变化与发散的观点统领例（习）题教学在进行单元或章节知识梳理时，应挖掘出含有典型方法和原理的典型题型。体验这些典型的方法该如何运用。3.1多题归一，感悟典型方法课本中，有一些题目可以帮助学生进行梳理与联系，通过概括让学生感悟到他们在方法上是归一，从而实现对方法的记忆和感悟。例7数列一章中，错位“项”消法是一种典型方法，让学生通过如下问题进行体验：问题1。设等差数列的公差为，求通项公式。由等差数列的定义可知：将这个等式相加，错位项消之后，得；问题2。设等比数列的公比为，由等比数列定义可知：，将这个等式相乘，错位项消之后，得。问题3。求和；通过上述例子，将课本知识蕴含的基本方法“错位项消法”予以挖掘展示，学生就可以领悟到错位消法的运用技能。例8：“延式差”法已知的递推式，求通项，常常借助公式实施转化。这时常用“延式差”法。一般地，对于一般的数列递推关系求数列通项公式的问题，是多年来高考的热点问题。可以通过一些典型问题，帮助学生归纳总结出如下的规律：与的关系式，关于递推公式，关于的递推公式，前n项和公式，通项公式等这五种关系式的转化策略为下图所示：可以概括为“延式差辅助数列基本数列”求解。3.2 一题多变，体验方法归一例9含参数的不等式恒成立问题问题：当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。变题1：当时，不等式恒成立，求实数c的取值范围。变题2：若函数在区间上为单调递减函数，求实数c的取值范围。变题3：设不等式的解集为A，集合，若，求实数c的取值范围。变题4。求最大常数c，使得对满足，且的实数，恒有不等式成立。以上问题，均可以转化为原始问题的解决方式。3.3一题多解，展示灵活思维例102010理科数学20（导数）试题分析题目：已知函数（）若求的取值范围；（）证明：。解析：（I）方法一：（分离参数法） 得 由题设 整理得， 令，当00,递增， 当时,递减。所以，是的最大值点 所以， 方法二：（数形结合法） 得， ，由题设 整理得， 令，两者图像相切、相离时，成立令切点为，则 得 得， 当时，与相切当-1时两者图像相离，且的图像在的图像上方所以， （）方法一：（标准答案，借助研究过程中的结论，巧妙讨论，获得解决）由（I）知，得，。当时， （不等式的性质） 当时， 评述：【我们的学生能想到从此切入吗？从全省考生情况看，很少，我们抽查到的试卷中很少发现从此切入的学生，在6月19日与教育部考试命题中心的命题专家交谈时，我们都提到这一点，专家的解释是，命题教师都是大学的教授，采取入围式命题，即等待考试结束后才可以让命题教师获得自由，标准答案与考生答题不符，可能与教师的专业研究方向即学术性的方向有关，对真正的中学一线的实际情况不太了解所致，我们需要加强与中学教学的沟通，需要研究关于直接控制答案的问题，必要时也可采取“间接控制答案”的方式。力争把学生答题的所有思路都考虑进来。太学术化而导致学生答不出来的情况总归不太好，不能离中学生太远，离中学实际太远。】 （）方法二：（二阶导数法） 当时，递减，递增， 同理 当时，递增递增， 方法三：当时， 递增，当时，令，递减， 递增， （）方法四：（整体考虑函数，用三阶导数的方法）令， 当时，递减，递增，递减 同理，当时， （）方法五：（学生的做法）令当时，递减， 当时，令，递增， 递增，即递增， （）方法六（学生的做法）因为，所以，令，则，故在递减，在递增，所以所以在递增， 当时， 当时，综上，理科数学20（导数）试题正评分值分布表4方法融通坚持用数学思想方法统领知识，在更高层次上理解知识例11方程的曲线是什么图形？这一问题的探究程度，能彰显学生对解析知识的理解程度和处理问题所应用的方法的灵活能力的一个检验。方程形式对称简练，与椭圆、双曲线的标准方程貌似相同，实则完全不同。它们的图象是什么呢？我们知道，教材根据讨论椭圆的性质之后，逐步描绘出方程所表示的椭圆图象的基本过程，其实质是：确定变量范围研究曲线对称性确定小范围的曲线性质（渐近线、单调性、特殊点等）描点作图。而这一过程所揭示的正是解析作图的一般规律和基本的思想方法，学生明白搞清楚之后，就可以运用这一理论作指导，进行作图的探讨。概括为两个步骤：第一，研究方程的性质，第二步，小范围描点作图（函数图像），第三步，全方位作图（方程的曲线）。范围：由可知，所以，即，由线性规划知识可知，图象应在直线和所确定的四个直角形区域之内；对称性：以代，方程不变，同时以代方程不变，故方程的曲线关于轴，轴以及原点对称；因此，只需画出图象在第一象限部分即可。由变形得：，因，故，由上式可以看出，当时，；当时，；单调性而函数的单调性可以通过导数方法来确定，即，因为，所以，因此是定义域上的单调递减函数。绘制图象（如图示）反思：这一问题，同学有一定的新鲜感！有似曾相识之感，无下手解决之力。可见，教材中研究方程曲线画法的思想并没有真正感悟，只是对部分的步骤和方法有片面的理解。更多的情况是，许多同学不能够完整地制定作图计划、实施作图的基本操作。课后的交流使我们发现：学生对数学基本知识所反映出的数学思想方法的理解不能融会贯通，对一个成熟的数学方法背后所蕴含的数学思想没有掌握即先有曲线性质的讨论，而后才有方程曲线的描绘。这正是：性质研究为先导，描绘图像错不了；曲线性质终需证，图形仅起示意性。数形结合方法好，须知源头有分镳。借用图形观性质，研究性质画图形。第四部分：其他问题的几点建议1关于复习内容的顺序优化高三复习不同于高一、二的新授课学习，知识内容虽然都已学过，高三的任务一方面是帮助学生和遗忘作斗争，另一方面是知识整合，帮助学生把知识从原有的认识调整到新的高度或视角去认识和理解，从而更加有利于记忆和运用。这里应避免或防止大量使用学生未复习到的知识与方法，涉及过多，必然会冲淡主旨活动，影响学生情绪和学习效果。例如，在复习函数一章时，建议将函数值域和函数最值的复习靠后安排，因为求函数值域的方法大量使用函数单调性，有时结合图像去分析，有时借助不等式的性质去考虑，所有这些方法告诉我们，函数值域和最值是高三复习中的一个难点，解决它更多地使用函数的性质。因此建议复习顺序调整为