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精品文档 1欢迎下载 高考数学经典试题分类汇编高考数学经典试题分类汇编 数列数列 一 选择题 1 2009 福建卷理 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 2 2009 年广东卷文 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因为等比数列 n a的 公比为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 3 2009 广东卷 理 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 解析 由 2 525 2 3 n n aan 得 n n a 22 2 0 n a 则 n n a2 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 选 C 4 2009 安徽卷文 已知为等差数列 则 等于 精品文档 2欢迎下载 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 选 B 答案 B 5 2009 江西卷文 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比 中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故选 C 6 2009 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等 于 C A 13 B 35 C 49 D 63 解 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 7 2009 辽宁卷文 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 精品文档 3欢迎下载 8 2009 辽宁卷理 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 解析 设公比为 q 则 3 63 33 1 Sq S SS 1 q3 3 q3 2 于是 6 36 9 3 11247 1123 Sqq Sq 答案 B 9 2009 宁夏海南卷理 等比数列 n a的前 n 项和为 n s 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 若 1 a 1 则 4 s A 7 B 8 3 15 4 16 解析 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 22 1321114 44 44 440 215aaaaa qa qqqq 即 S 选 C 10 2009 四川卷文 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比 中项 则数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 11 2009 湖北卷文 设 Rx 记不超过x的最大整数为 x 令 x x x 则 2 15 2 15 2 15 A 是等差数列但不是等比数列 B 是等比数列但不是等差数列 C 既是等差数列又是等比数列 D 既不是等差数列也不是等比数列 答案 B 精品文档 4欢迎下载 解析 可分别求得 5151 22 51 1 2 则等比数列性质易得三者构成等 比数列 12 2009 湖北卷文 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数 例如 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数成为正方形数 下列数中及时三角形数又 是正方形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 答案 C 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项 1 2 n n an 同理可得正方形数构成的 数列通项 2 n bn 则由 2 n bn nN 可排除 A D 又由 1 2 n n an 知 n a必为奇 数 故选 C 13 2009 宁夏海南卷文 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因为 n a是等差数列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 精品文档 5欢迎下载 2m 1 2 38 解得 m 10 故选 C 14 2009 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 15 2009 安徽卷理 已知 n a为等差数列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表 示 n a的前n项和 则使得 n S达到最大值的n是 A 21 B 20 C 19 D 18 解析 由 1 a 3 a 5 a 105 得 3 3105 a 即 3 35a 由 246 aaa 99 得 4 399a 即 4 33a 2d 4 4 2 41 2 n aann 由 1 0 0 n n a a 得20n 选 B 16 2009 江西卷理 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 n S 则 30 S为 A 470 B 490 C 495 D 510 答案 A 解析 由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期 故 222222 222 30 12452829 3 6 30 222 S 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 故选 A 17 2009 四川卷文 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比 中项 则数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案答案 B B 解析解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 精品文档 6欢迎下载 二 填空题 1 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 解 n a 是等差数列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 2492945645 324aaaaaaaaaa 2 2009 浙江理 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 答案 15 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 3 2009 浙江文 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 命题意图 此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式 通过对数列知识点的 考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 4 2009 浙江文 设等差数列 n a的前n项和为 n S 则 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 16 12 T T 成等比数列 答案 812 48 TT TT 命题意图 此题是一个数列与类比推理结合的问题 既考查了数列中等 差数列和等比数列的知识 也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 解析 对于等比数列 通过类比 有等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 812 48 TT TT 16 12 T T 成等比数列 5 2009 北京文 若数列 n a满足 11 1 2 nn aaa nN 则 5 a 前 8 项的和 8 S 用数字作答 w 解析解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题 m 属于基础知识 基本运算的 精品文档 7欢迎下载 考查 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 应填 255 6 2009 北京理 已知数列 n a满足 43412 1 0 N nnnn aaaa n 则 2009 a 2014 a 答案答案 1 0 解析解析 本题主要考查周期数列等基础知识 属于创新题型 依题意 得 20094 503 3 1aa 20142 100710074 252 1 0aaaa 应填 1 0 7 2009 江苏卷 设 n a是公比为q的等比数列 1q 令1 1 2 nn ban 若 数列 n b有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 解析 考查等价转化能力和分析问题的能力 等比数列的通项 n a有连续四项在集合 54 24 18 36 81 四项24 36 54 81 成等比数列 公比为 3 2 q 6q 9 9 8 2009 山东卷文 在等差数列 n a中 6 7 253 aaa 则 6 a 解析 设等差数列 n a的公差为d 则由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d 所 以 61 513aad 答案 13 命题立意 本题考查等差数列的通项公式以及基本计算 9 2009 全国卷 文 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 361 4 1ssa 则 4 a 答案 答案 3 3 解析 本题考查等比数列的性质及求和运算 由解析 本题考查等比数列的性质及求和运算 由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 10 2009 湖北卷理 已知数列 n a满足 1 a m m 为正整数 精品文档 8欢迎下载 1 2 31 n n n nn a a a aa 当为偶数时 当为奇数时 若 6 a 1 则 m 所有可能的取值为 11 答案 4 5 32 解析 1 若 1 am 为偶数 则 1 2 a 为偶 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m 4 2 若 1 am 为奇数 则 21 3131aam 为偶数 故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a 所以 31 16 m 1 可得 m 5 12 2009 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 9 解解 n a 为等差数列 95 53 9 9 5 Sa Sa 13 2009 辽宁卷理 等差数列 n a的前n项和为 n S 且 53 655 SS 则 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 14 2009 宁夏海南卷理 等差数列 n a 前 n 项和为 n S 已知 1m a 1m a 2 m a 0 21m S 38 则 m 解析 由 1m a 1m a 2 m a 0 得到 1212 21 21 20 0 2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又 答案 10 精品文档 9欢迎下载 15 2009 陕西卷文 设等差数列 n a的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 答案 2n 解析 由 63 12as 可得 n a的公差 d 2 首项 1 a 2 故易得 n a 2n 16 2009 陕西卷理 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 63 12aS 则 2 lim n n S n 答案 1 611 22 31 125122 11 1 limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析 17 2009 宁夏海南卷文 等比数列 n a 的公比0q 已知 2 a 1 21 6 nnn aaa 则 n a 的前 4 项和 4 S 答案 15 2 解析 由 21 6 nnn aaa 得 11 6 nnn qqq 即06 2 qq 0q 解得 q 2 又 2 a 1 所以 1 1 2 a 21 21 2 1 4 4 S 15 2 18 2009 湖南卷理 将正 ABC 分割成n 2 n 2 n N 个全等的小正三角形 图 2 图 3 分别给出了 n 2 3 的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC 的三遍及 平行于某边的任一直线上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别一次成等差数列 若顶点 A B C 处的三个数互不相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为 f n 则有 f 2 2 f 3 10 3 f n 1 6 n 1 n 2 答案 10 1 1 2 36 nn 解析 当 n 3 时 如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示 即由条件知 121212 1 abcxxab yybc zzca 精品文档 10欢迎下载 121212122112 2 2 2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62 2gxxyyzzabc 即 121212 11110 3 1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得 4 5f 由上知 1 f中有三个数 2 f中 有 6 个数 3 f中共有 10 个 数相加 4 f中有 15 个数相加 若 1 f n 中有 1 1 n an 个数相加 可得 f n中 有 1 1 n an 个数相加 且由 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得 1 1 3 n f nf n 所以 11113 1 2 1 3333333 nnnnnn f nf nf nf 113211 1 2 3333336 nnn nn 19 2009 重庆卷理 设 1 2a 1 2 1 n n a a 2 1 n n n a b a nN 则数列 n b的 通项公式 n b 答案 1 2n 解析 由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是 首项为 4 公比为 2 的等比数列 则 11 4 22 nn n b 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知点 1 3 1 是函数 0 aaxf x 且1 a 的图象上一点 等比数列 n a的前 n项和为cnf 数列 n b 0 n b的首项为c 且前n项和 n S满足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求数列 n a和 n b的通项公式 精品文档 11欢迎下载 2 若数列 1 1 nnb b 前n项和为 n T 问 n T 2009 1000 的最小正整数n是多少 解析 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又数列 n a成等比数列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 数列 n S构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列 111 n Snn 2 n Sn 当2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112 2 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在数列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 n n a b n 求数列 n b的通项公式 精品文档 12欢迎下载 II 求数列 n a的前n项和 n S 分析分析 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 评析评析 09 年高考理科数学全国 一 试题将数列题前置 考查构造新数列和利用错位相减法 求前 n 项和 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考 生和一线教师重视教材和基础知识 基本方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命 题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 3 2009 浙江文 本题满分 14 分 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 解析 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 4 2009 北京文 本小题共 13 分 设数列 n a的通项公式为 0 n apnq nNP 数列 n b定义如下 对于正整 数m m b是使得不等式 n am 成立的所有n中的最小值 精品文档 13欢迎下载 若 11 23 pq 求 3 b 若2 1pq 求数列 m b的前 2m项和公式 是否存在p和q 使得32 m bmmN 如果存在 求p和q的取值范围 如果不存在 请说明理由 解析解析 本题主要考查数列的概念 数列的基本性质 考查运算能力 推理论证能力 分类讨论等数学思想方法 本题是数列与不等式综合的较难层次题 由题意 得 11 23 n an 解 11 3 23 n 得 20 3 n 11 3 23 n 成立的所有n中的最小整数为 7 即 3 7b 由题意 得21 n an 对于正整数 由 n am 得 1 2 m n 根据 m b的定义可知 当21mk 时 m bk kN 当2mk 时 1 m bkkN 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm 假设存在p和q满足条件 由不等式pnqm 及0p 得 mq n p 32 m bmmN 根据 m b的定义可知 对于任意的正整数m 都有 3132 mq mm p 即 231pqpmpq 对任意的正整数m都成立 当310p 或310p 时 得 31 pq m p 或 2 31 pq m p 这与上述结论矛盾 精品文档 14欢迎下载 当310p 即 1 3 p 时 得 21 0 33 qq 解得 21 33 q 存在p和q 使得32 m bmmN p和q的取值范围分别是 1 3 p 21 33 q 5 2009 北京理 本小题共 13 分 已知数集 1212 1 2 nn Aa aaaaa n 具有性质P 对任意的 1i jijn ij a a与 j i a a 两数中至少有一个属于A 分别判断数集 1 3 4与 1 2 3 6是否具有性质P 并说明理由 证明 1 1a 且 12 111 12 n n n aaa a aaa 证明 当5n 时 12345 a a a a a成等比数列 解析解析 本题主要考查集合 等比数列的性质 考查运算能力 推理论证能力 分 分类讨论等数学思想方法 本题是数列与不等式的综合题 属于较难层次题 由于3 4 与 4 3 均不属于数集 1 3 4 该数集不具有性质 P 由于 6 6 1 2 3 6 1 2 1 3 1 6 2 3 2 3 1 2 3 6 都属于数集 1 2 3 6 该数集具有性质 P 12 n Aa aa 具有性质 P nn a a与 n n a a 中至少有一个属于 A 由于 12 1 n aaa nnn a aa 故 nn a aA 从而1 n n a A a 1 1a 12 1 n aaa knn a aa 故 2 3 kn a aA kn 由 A 具有性质 P 可知 1 2 3 n k a A kn a 又 121 nnnn nn aaaa aaaa 21 121 1 nnnn nn nn aaaa aaa aaaa 精品文档 15欢迎下载 从而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa 12 111 12 n n n aaa a aaa 由 知 当5n 时 有 55 23 43 aa aa aa 即 2 5243 aa aa 125 1aaa 34245 a aa aa 34 a aA 由 A 具有性质 P 可知 4 3 a A a 2 243 a aa 得 34 23 aa A aa 且 3 2 2 1 a a a 34 2 32 aa a aa 5342 2 4321 aaaa a aaaa 即 12345 a a a a a是首项为 1 公比为 2 a成等比数 列 k s 5 6 2009 江苏卷 本小题满分 14 分 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaaS 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 解析 本小题主要考查等差数列的通项 求和的有关知识 考查运算和求解的能力 满 分 14 分 1 设公差为d 则 2222 2543 aaaa 由性质得 4343 3 d aad aa 因为0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 2 方法一 1 2 mm m a a a 27 25 23 mm m 设23mt 则 1 2 mm m a a a 4 2 8 6 tt t tt 所以t为 8 的约数 精品文档 16欢迎下载 方法二 因为 122 2 222 4 2 8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 为数列 n a中的项 故 m 2 8 a 为整数 又由 1 知 2m a 为奇数 所以 2 231 1 2 m amm 即 经检验 符合题意的正整数只有2m 7 2009 江苏卷 本题满分 10 分 对于正整数n 2 用 n T表示关于x的一元二次方程 2 20 xaxb 有实数根的有序数组 a b的组数 其中 1 2 a bn a和b可以相等 对于随机选取的 1 2 a bn a和b可以相等 记 n P为关于x的一元二次方程 2 20 xaxb 有 实数根的概率 1 求 2 n T和 2 n P 2 求证 对任意正整数n 2 有 1 1 n P n 解析 必做题必做题 本小题主要考查概率的基本知识和记数原理 考查探究能力 满分 10 分 8 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 精品文档 17欢迎下载 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 2 2 log1 nn banN 证明 对任意的nN 不等式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数的图 像上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以 1r 公比为b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn 所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立 当1n 时 左边 3 2 右边 2 因为 3 2 2 所以不等式成立 假设当nk 时不等式成立 即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立 则 当1nk 时 左边 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以当1nk 时 不等式也成立 由 可得不等式恒成立 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知 n S求 n a的基本题型 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题 以及放缩法证明不等式 9 2009 山东卷文 本小题满分 12 分 精品文档 18欢迎下载 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的 图像上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知 n S求 n a的基本题型 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n T 10 2009 全国卷 文 本小题满分 10 分 已知等差数列 n a 中 0 16 6473 aaaa求 n a 前 n 项和 n s 解析 本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力 利用方程的思想可求解 解析 本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力 利用方程的思想可求解 精品文档 19欢迎下载 解 设 n a的公差为d 则 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8 8 2 2 aa dd 或 因此 819819 nn Snn nn nSnn nn n 或 11 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 已知曲线 22 20 1 2 n Cxnxyn 从点 1 0 P 向曲线 n C引斜率为 0 nn k k 的切线 n l 切点为 nnn P xy 1 求数列 nn xy与的通项公式 2 证明 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy 解 1 设直线 n l 1 xky n 联立02 22 ynxx得 0 22 1 2222 nnn kxnkxk 则0 1 4 22 2222 nnn kknk 12 n n kn 12 n n 舍去 2 2 2 2 2 1 1 n n k k x n n n 即 1 n n xn 1 12 1 n nn xky nnn 2 证明 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n 精品文档 20欢迎下载 n n n x x xxxx 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 可令函数xxxfsin2 则xxfcos21 令0 xf 得 2 2 cos x 给定区间 4 0 则有0 xf 则函数 xf在 4 0 上单调递减 0 0 fxf 即xxsin2 在 4 0 恒成立 又 43 1 12 1 0 n 则有 12 1 sin2 12 1 nn 即 n n n n y x x x sin2 1 1 12 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 首项为正数的数列 n a满足 2 1 1 3 4 nn aanN I 证明 若 1 a为奇数 则对一切2 n na 都是奇数 II 若对一切nN 都有 1nn aa 求 1 a的取值范围 解 本小题主要考查数列 数学归纳法和不等式的有关知识 考查推理论证 抽象概括 运算求解和探究能力 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野 本小题满分 13 分 解 I 已知 1 a是奇数 假设21 k am 是奇数 其中m为正整数 则由递推关系得 2 1 3 1 1 4 k k a am m 是奇数 根据数学归纳法 对任何nN n a都是奇数 II 方法一 由 1 1 1 3 4 nnnn aaaa 知 1nn aa 当且仅当1 n a 或3 n a 另一方面 若01 k a 则 1 1 3 01 4 k a 若3 k a 则 2 1 33 3 4 k a 根据数学归纳法 11 01 01 33 nn aanNaanN 综合所述 对一切nN 都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a 或 1 3a 精品文档 21欢迎下载 方法二 由 2 1 21 3 4 a aa 得 2 11 430 aa 于是 1 01a 或 1 3a 22 111 1 33 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因为 2 11 3 0 4 n n a aa 所以所有的 n a均大于 0 因此 1nn aa 与 1nn aa 同号 根据数学归纳法 nN 1nn aa 与 21 aa 同号 因此 对一切nN 都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a 或 1 3a 13 2009 安徽卷文 本小题满分 12 分 已知数列 的前 n 项和 数列 的前 n 项和 求数列 与 的通项公式 设 证明 当且仅当 n 3 时 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 这是数列中求通项的常用方法之一 在 求出 nn ab和 和后 进而得到 n c 接下来用作差法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 当2n 时 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又当xn 时 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 数列 n b项与等比数列 其首项为 1 公比为 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 时 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 当且仅当3n 时 1nn CC 精品文档 22欢迎下载 14 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 n S 1 求 n S 2 3 4 n n n S b n 求数列 n b 的前 n 项和 n T 解 1 由于 22 2 cossincos 333 nnn 故 312345632313 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185 94 2222 kkk 3133 49 2 kkk kk SSa 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 故 1 32 36 1 1 3 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk kN 2 3 94 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 2 444 n n n T 1 12294 4 13 244 n n n T 两式相减得 12321 99 1999419419 44 3 13 13 8 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 33 22 n nn n T 15 2009 江西卷理 本小题满分 14 分 各项均为正数的数列 n a 12 aa ab 且对满足mnpq 的正整数 m n p q都 精品文档 23欢迎下载 有 1 1 1 1 pq mn mnpq aa aa aaaa 1 当 14 25 ab 时 求通项 n a 2 证明 对任意a 存在与a有关的常数 使得对于每个正整数n 都有 1 n a 解 1 由 1 1 1 1 pq mn mnpq aa aa aaaa 得 121 121 1 1 1 1 nn nn aaaa aaaa 将 12 14 25 aa 代入化简得 1 1 21 2 n n n a a a 所以 1 1 111 13 1 nn nn aa aa 故数列 1 1 n n a a 为等比数列 从而 11 13 n n n a a 即 31 31 n n n a 可验证 31 31 n n n a 满足题设条件 2 由题设 1 1 mn mn aa aa 的值仅与mn 有关 记为 m n b 则 1 1 1 1 1 1 1 nn n nn aaaa b aaaa 考察函数 0 1 1 ax f xx ax 则在定义域上有 精品文档 24欢迎下载 1 1 1 1 1 2 01 1 a a f xg aa a a a 故对 nN 1 n bg a 恒成立 又 2 2 2 1 n n n a bg a a 注意到 1 0 2 g a 解上式得 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n g ag ag ag ag a a g ag ag ag a 取 1 1 2 g ag a g a 即有 1 n a 16 2009 天津卷文 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求数列 n a的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 证明 答案 1 34 nan 2 2 q 3 略 解析 1 解 由题设 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS将 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 当 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比数列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 3 证明 由题设 可得 1 n n qb 则 精品文档 25欢迎下载 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式两边同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 证明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 因为0 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 若 nn lk 取 i 满足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及题设知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 当 ii lk 时 1 ii lk 由nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此0 21 cc 当 ii lk 时 同理可得 1 1 21 db cc 因此0 21 cc 精品文档 26欢迎下载 综上 21 cc 考点定位 本小题主要考查了等差数列的通项公式 等比数列通项公式与前 n 项和 等基本知识 考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 17 2009 湖北卷理 本小题满分 13 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知数列 n a的前 n 项和 1 1 2 2 n nn Sa n 为正整数 令2n nn ba 求证数列 n b是等差数列 并求数列 n a的通项公式 令 1 nn n ca n 12 nn Tccc 试比较 n T与 5 21 n n 的大小 并予以证 明 19 19 解析 I 在 1 1 2 2 n nn Sa 中 令 n 1 可得 11 12 n Saa 即 1 1 2 a 当2n 时 21 1111 11 2 22 nn nnnnnnn SaaSSaa 11 n11 1 2a 21 2 nn nnn aaa n 即2 11 2 1 n21 n nnnnn babbb n 即当时 b 又 11 21 ba 数列 n b是首项和公差均为 1 的等差数列 于是1 1 12 2 n nnn n n bnnaa II 由 I 得 11 1 2 n nn n can n 所以 23 1111 23 4 1 2222 n n Tn K 2341 11111 2 3 4 1 22222 n n Tn K 由 得 231 11111 1 1 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 133 42 1 1 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535 3 221 3 212212 21 n n nn nnnnn T nnn 于是确定 5 21 n n T n 与的大小关系等价于比较221 n n 与的大小 精品文档 27欢迎下载 由 2345 22 1 1 22 2 1 22 3 1 22 4 1 22 5 K 可猜想当3221 n nn 时 证明如下 证法 1 1 当 n 3 时 由上验算显示成立 2 假设1nk 时 1 22 22 21 422 1 1 21 2 1 1 kk kkkkk g 所以当1nk 时猜想也成立 综合 1 2 可知 对一切3n 的正整数 都有221 n n 证法 2 当3n 时 0121011 2 1 1 2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 综上所述 当1 2n 时 5 21 n n T n 当3n 时 5 21 n n T n 18 2009 四川卷文 本小题满分 14 分 设数列 n a的前n项和为 n S 对任意的正整数n 都有51 nn aS 成立 记 4 1 n n n a bnN a I 求数列 n a与数列 n b的通项公式 II 设数列 n b的前n项和为 n R 是否存在正整数k 使得4 n Rk 成立 若存在 找 出一个正整数k 若不存在 请说明理由 III 记 221 nnn cbbnN 设数列 n c的前n项和为 n T 求证 对任意正整数 n都有 3 2 n T 解析解析 I 当1 n时 111 1 51 4 aSa 又 11 51 51 nnnn aSaS 1 11 1 5 4 即 n nnn n a aaa a 数列 n a是首项为 1 1 4 a 公比为 1 4 q的等比数列 1 4 n n a 1 4 4 1 1 4 n n n bnN 3 分 精品文档 28欢迎下载 II 不存在正整数k 使得4 n Rk 成立 证明 由 I 知 1 4 5 4 4 1 4 1 1 4 n n n n b 212 212 5552015 1640 8888 4 1 4 1161164 161 164 k kk kkkkkk bb 当 n 为偶数时 设2 nm mN 1234212 84 nmm Rbbbbbbmn 当 n 为奇数时 设21 nmmN 1234232221 8 1 4844 nmmm Rbbbbbbbmmn 对于一切的正整数 n 都有4 n Rk 不存在正整数k 使得4 n Rk 成立 8 分 III 由 5 4