高考数学一轮 知识点各个击破 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入课件 文 新人教A版.ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算第二节平面向量的基本定理及坐标表示第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例第四节数系的扩充与复数的引入 目录 第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入 知识能否忆起 一 向量的有关概念1 向量 既有大小又有的量叫向量 向量的大小叫做向量的 2 零向量 长度等于的向量 其方向是任意的 方向 模 0 3 单位向量 长度等于的向量 4 平行向量 方向相同或的非零向量 又叫共线向量 规定 0与任一向量共线 5 相等向量 长度相等且方向的向量 6 相反向量 长度相等且方向的向量 1个单位 相反 相同 相反 二 向量的线性运算 b a b c a 三 向量的数乘运算及其几何意义1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫向量的数乘 记作 它的长度与方向规定如下 a 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a 2 运算律 设 是两个实数 则 a a a a a a b a b 四 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使得 相同 相反 a a 0 b a 小题能否全取 1 下列命题正确的是 a 不平行的向量一定不相等b 平面内的单位向量有且仅有一个c a与b是共线向量 b与c是平行向量 则a与c是方向相同的向量d 若a与b平行 则b与a方向相同或相反解析 对于b 单位向量不是仅有一个 故b错 对于c a与c的方向也可能相反 故c错 对于d 若b 0 则b的方向是任意的 故d错 综上可知选a 答案 a 2 如右图所示 向量a b等于 a 4e1 2e2b 2e1 4e2c e1 3e2d 3e1 e2 解析 由题图可得a b e1 3e2 答案 c 答案 b 答案 2 5 已知a与b是两个不共线向量 且向量a b与 b 3a 共线 则 共线向量定理应用时的注意点 1 向量共线的充要条件中要注意 a 0 否则 可能不存在 也可能有无数个 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 另外 利用向量平行证明向量所在直线平行 必须说明这两条直线不重合 例1 给出下列命题 两个具有共同终点的向量 一定是共线向量 向量的有关概念 若a与b同向 且 a b 则a b 为实数 若 a b 则a与b共线 其中假命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 c 不正确 两向量不能比较大小 不正确 当 0时 a与b可以为任意向量 满足 a b 但a与b不一定共线 1 平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键 特别是对相等向量 零向量等概念的理解要到位 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2 几个重要结论 1 向量相等具有传递性 非零向量的平行具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 3 向量平行与起点的位置无关 a 0b 1c 2d 3 1 设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是 解析 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 答案 d 向量的线性运算 答案 1 d 2 a 答案 3 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法则求解 并注意利用平面几何的性质 如三角形中位线 相似三角形等知识 a 0个b 1个c 2个d 3个 答案 c 例3 设两个非零向量a与b不共线 共线向量 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 1 当两向量共线时 只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 a a bb a bc a 2bd a b且 a b 答案 c 1 解答本题的易误点有两点 1 不知道分别表示与a b同向的单位向量 2 误认为由 a b 及a b能推出两向量相等 而忽视了方向 2 解决向量的概念问题要注意两点 1 要考虑向量的方向 2 要考虑零向量是否也满足条件 1 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 由a b a b 不能得出a b 0 答案 a 解析 由已知向量p是两个单位向量的和 当这两个单位向量同向时 p max 2 当这两个单位向量反向时 p min 0 答案 d 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 已知e1 0 r a e1 e2 b 2e1 则a与b共线的条件是 a 0b e2 0c e1 e2d e1 e2或 0 解析 若e1与e2共线 则e2 e1 因此a 1 e1 此时a b 若e1与e2不共线 设a b 则e1 e2 2e1 因此 0 1 2 0 答案 b 答案 b 知识能否忆起 一 平面向量基本定理及坐标表示1 平面向量基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 不共线 有且只有 基底 1e1 2e2 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 1 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对叫做向量a的坐标 记作a 其中叫做a在x轴上的坐标 叫做a在y轴上的坐标 互相垂直 x y x y x y 终点a x y 二 平面向量坐标运算1 向量加法 减法 数乘向量及向量的模设a x1 y1 b x2 y2 则a b a b a x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 向量坐标的求法 1 若向量的起点是坐标原点 则终点坐标即为向量的坐标 2 设a x1 y1 b x2 y2 则 三 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 若a b x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 小题能否全取 答案 a a 4 6 b 4 6 c 2 2 d 2 2 2 已知向量a 2 1 b x 2 若a b 则a b等于 a 2 1 b 2 1 c 3 1 d 3 1 解析 由a b可得2 2 1 x 0 故x 4 所以a b 2 1 答案 a 答案 a 1 基底的不唯一性只要两个向量不共线 就可以作为平面的一组基底 对基底的选取不唯一 平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1 e2线性表示 且在基底确定后 这样的表示是唯一的 2 向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同 尽管在形式上它们完全一样 但意义完全不同 向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息 平面向量基本定理及其应用 用向量基本定理解决问题的一般思路是 先选择一组基底 再用该基底表示向量 也就是利用已知向量表示未知向量 其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算 答案 a 平面向量的坐标运算 求3a b 3c 求满足a mb nc的实数m n 答案 1 d 1 向量的坐标运算实现了向量运算代数化 将数与形结合起来 从而可使几何问题转化为数量运算 2 两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同 此时注意方程 组 思想的应用 注意 向量的坐标与点的坐标不同 向量平移后 其起点和终点的坐标都发生变化 但向量的坐标不变 例3 2011 广东高考 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c则 平面向量共线的坐标表示 答案 b 在本例条件下 问是否存在非零常数 使a b和a c平行 若平行是同向还是反向 解 a b 1 2 a c 1 3 2 4 若 a b a c 1 2 4 2 1 3 0 1 a b 2 2 与a c 2 2 反向 即存在 1使a b与a c平行且反向 a b的充要条件有两种表达方式 1 a b b 0 a b r 2 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 两种充要条件的表达形式不同 第 1 种是用线性关系的形式表示的 而且有前提条件b 0 而第 2 种无b 0限制 答案 c a 2b 1c 1d 1 答案 d 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 a 2 若 是一组基底 向量 x y x y r 则称 x y 为向量 在基底 下的坐标 现已知向量a在基底p 1 1 q 2 1 下的坐标为 2 2 则a在另一组基底m 1 1 n 1 2 下的坐标为 a 2 0 b 0 2 c 2 0 d 0 2 答案 d 知识能否忆起 一 两个向量的夹角1 定义 2 范围向量夹角 的范围是 a与b同向时 夹角 a与b反向时 夹角 3 向量垂直如果向量a与b的夹角是 则a与b垂直 记作 0 180 0 180 90 a b 二 平面向量数量积1 已知两个非零向量a与b 则数量 a b cos 叫做a与b的数量积 记作a b 即a b 其中 是a与b的夹角 规定0 a 0 当a b时 90 这时a b 2 a b的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影的乘积 a b cos 0 b cos 三 向量数量积的性质1 如果e是单位向量 则a e e a 2 a b 4 cos 为a与b的夹角 5 a b a b a b 0 a 2 四 数量积的运算律1 交换律 a b 2 分配律 a b c 3 对 r a b b a a c b c a b a b 五 数量积的坐标运算设a a1 a2 b b1 b2 则 1 a b 2 a b 3 a a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 0 小题能否全取 1 已知向量a b和实数 下列选项中错误的是 a a b a b a b c a b a bd a b a b 解析 a b a b cos 只有a与b共线时 才有 a b a b 可知b是错误的 答案 b 2 已知 a 4 b 3 a与b的夹角为120 则b在a方向上的投影为 答案 d 答案 b 3 2012 重庆高考 设x r 向量a x 1 b 1 2 且a b 则 a b 5 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量a与b的夹角 1 对两向量夹角的理解 1 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时 表示两向量的有向线段所形成的角 若起点不同 应通过移动 使其起点相同 再观察夹角 2 两向量夹角的范围为 0 特别当两向量共线且同向时 其夹角为0 共线且反向时 其夹角为 3 在利用向量的数量积求两向量的夹角时 一定要注意两向量夹角的范围 2 向量运算与数量运算的区别 1 若a b r 且a b 0 则有a 0或b 0 但a b 0却不能得出a 0或b 0 2 若a b c r 且a 0 则由ab ac可得b c 但由a b a c及a 0却不能推出b c 3 若a b c r 则a bc ab c 结合律 成立 但对于向量a b c 而 a b c与a b c 一般是不相等的 向量的数量积是不满足结合律的 4 若a b r 则 a b a b 但对于向量a b 却有 a b a b 等号当且仅当a b时成立 平面向量数量积的运算 例1 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x a 6b 5c 4d 3 自主解答 1 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即18 3x 30 解得x 4 答案 1 c 2 16 平面向量数量积问题的类型及求法 1 已知向量a b的模及夹角 利用公式a b a b cos 求解 2 已知向量a b的坐标 利用数量积的坐标形式求解 答案 b 答案 6 两平面向量的夹角与垂直 例2 1 2012 福州质检 已知 a 1 b 2 a与b的夹角为120 a b c 0 则a与c的夹角为 a 150 b 90 c 60 d 30 2 2011 新课标全国卷 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 自主解答 1 a b 1 2 cos120 1 c a b a c a a b a a a b 1 1 0 a c a与c的夹角为90 2 a与b是不共线的单位向量 a b 1 又ka b与a b垂直 a b ka b 0 即ka2 ka b a b b2 0 k 1 ka b a b 0 即k 1 kcos cos 0 为a与b的夹角 k 1 1 cos 0 又a与b不共线 cos 1 k 1 答案 1 b 2 1 若本例 1 条件变为非零向量a b c满足 a b c a b c 试求a与b的夹角 1 求两非零向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于0说明两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角 2 当a b是非坐标形式时 求a与b的夹角 需求得a b及 a b 或得出它们的关系 2 1 设向量a x 1 1 b x 1 3 则a a b 的一个充分不必要条件是 a x 0或2b x 2c x 1d x 2 2 已知向量a 1 0 b 0 1 c a b r 向量d如图所示 则 a 存在 0 使得向量c与向量d垂直b 存在 0 使得向量c与向量d夹角为60 c 存在 0 使得向量c与向量d共线 解析 1 a x 1 1 a b x 1 1 x 1 3 2x 2 2 故a a b 2 x 1 2 2 0 x 0或2 故x 2是a a b 的一个充分不必要条件 答案 1 b 2 d 平面向量的模 答案 b 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 1 a 2 a2 a a 2 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 1 当a b时 求 a b 的值 2 求函数f x a b a 的最小正周期 平面向量数量积的综合应用 1 求f x 的周期和单调递减区间 向量与其它知识结合 题目新颖而精巧 既符合考查知识的 交汇处 的命题要求 又加强了对双基覆盖面的考查 特别是通过向量坐标表示的运算 利用解决平行 垂直 夹角和距离等问题的同时 把问题转化为新的函数 三角或几何问题 4 1 2012 朔州调研 质点受到平面上的三个力f1 f2 f3 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知f1 f2成60 角 且f1 f2的大小分别为2和4 则f3的大小为 a 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形 答案 1 a 2 b 平面向量兼具形 数的双重性 一般可以从两个方面思考 一是利用 数 的特征 我们可以从向量的线性运算 数量积 基底分解及坐标运算等方面思考 将问题转化为代数中的有关问题来解决 二是利用其 形 的特征 可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题 直接利用平面几何中的相关结论得到结果 a 2b 4c 5d 10 1 特殊化法该题是一道选择题 可以根据选项的特征选择方法 很明显该题的四个选项都是定值 所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果 答案 d 题后悟道 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提 如果该题中出现 与两直角边的长度有关 则该题就不能采用特殊化法进行验证了 2 向量基底法 答案 d 3 坐标法我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系 这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标 再利用平面向量的坐标运算进行验证 答案 d 题后悟道 利用坐标计算向量模的问题 是最常用有效的方法 建立坐标系时 应注意利用图形特点 以上根据向量数与形的基本特征 结合题目中的选项以及直角三角形的条件 从三个方面提出了不同的解法 涉及向量的基本运算 坐标运算等相关知识 在寻找解题思路时 应牢牢把握向量的这两个基本特征 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 d 2 2012 郑州质检 若向量a x 1 2 b 4 y 相互垂直 则9x 3y的最小值为 答案 d 答案 d 答案 1 4 知识能否忆起 一 复数的有关概念1 复数的概念 形如a bi a b r 的数叫复数 其中a b分别是它的和 若 则a bi为实数 若 则a bi为虚数 若 则a bi为纯虚数 实部 虚部 b 0 b 0 a 0 b 0 2 复数相等 a bi c di a b c d r 3 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d r 二 复数的几何意义 z a b a c b d 0 a c b d 三 复数的运算 动漫演示更丰富 见配套光盘 1 复数的加 减 乘 除运算法则设z1 a bi z2 c di a b c d r 则 1 加法 z1 z2 a bi c di 2 减法 z1 z2 a bi c di 3 乘法 z1 z2 a bi c di a c b d i a c b d i ac bd ad bc i 超链接 2 复数加法 乘法的运算律对任意z1 z2 z3 c 有z1 z2 z1 z2 z3 z1 z2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 小题能否全取 1 教材习题改编 已知a r i为虚数单位 若 1 2i a i 为纯虚数 则a的值等于 a 6b 2c 2d 6 答案 b 2 2011 湖南高考 若a b r i为虚数单位 且 a i i b i 则 a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1解析 由 a i i b i 得 1 ai b i 根据两复数相等的充要条件得a 1 b 1 答案 d a 1 ib 1 ic 1 id 1 i 答案 c 解析 z 2i 1 i 2 2i 因此z对应的点为 2 2 在第二象限内 答案 二 1 复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外 还要注意 1 z z 0 a a 0 表示复数z对应的点到原点的距离为a 2 z z0 表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离 2 复数中的解题策略 2 证明复数是纯虚数的策略 z a bi为纯虚数 a 0 b 0 a b r 复数的有关概念 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 1 b 2 a 处理有关复数的基本概念问题 关键是找准复数的实部和虚部 从定义出发 把复数问题转化成实数问题来处理 由于复数z a bi a b r 由它的实部与虚部唯一确定 故复数z与点z a b 相对应 a 1 2ib 1 2ic 2 id 2 i 答案 d 复数的几何意义 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 c 复数与复平面内的点是一一对应的 复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的 因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解 利用平行四边形法则或三角形法则解