一阶电路和二阶电路的时域分析.doc

Chapter 7 一阶电路和二阶电路的时域分析 111Chapter 7 一阶电路和二阶电路的时域分析主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。根据KCL、KVL和支路方程式（VAR）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC电路、RL电路）。3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。 换路：电路或参数的改变引起的电路变化。 ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 ；：换路前的最终时刻；：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL，KVL和VAR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。电路独立初始条件： 和 。 二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压取 , 则 若 ， 则 ，且 电容上电荷和电压不发生跃变！ 若 时，, , 则有 , , 故换路瞬间，电容相当于电压值为 的电压源； 若 时，, 则应有 , 则换路瞬间，电容相当于短路。2.电感的磁链和电流 取 ，则若（有限）， 则 , 且 电感的磁链和电流不发生跃变！ 若 时，则有 , 故换路瞬间，电感相当于电流值为的电流源； 若 时， ，则应有 , 则换路瞬间，电感相当于开路。3.独立初始条件 和 ： 由 时的 和 确定。非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。初始值计算（例7-1）。4.确定初始值的方法 取独立电源 时的值； 把电容用 的电压源代替，把电感用 电流源代替； 画出 时的等效计算电路； 列方程求解电阻电路可得其他初始值。7-2 一阶电路的零输入响应零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。一、 RC电路的零输入响应电路的微分方程为 这里，特征方程 RCs + 1 = 0，特征根 ，时间常数。 ，换路时，但 ，电流发生跃变； 时间常数 越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢； 时，； 时,。）经过常数 ，总有 ) 过渡过程的结束，理论上 ； 工程上 。 指数曲线上任意点的次切距长度 都等 ； ，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制； 能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。 例7-1：下图所示电路中，时，开关 由a投向b，在此以前电容电压为，试求 时，电容电压及电流。解： 时间常数 , 从C左端看进去的入端电阻。例72：电路如下图， 时打开开关 ，求 。解：时，开关尚未断开瞬间，(隔直)；时，开关刚断开瞬间，。 其中 为 c, d 两端向右看的等到效电阻，。 将电容用电压源 进行替代后，得电阻网络如上图，则 二、RL电路的零输入响应电路的微分方程及其解为 时间常数 由 ，L越小，或R越大，则电流、电压衰减越快。 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性； 零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的； 零输入比例性，若初始状态增大倍，则零输入响应也相应地增大倍； 特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。7-3 一阶电路的零状态响应零状态响应：零初始状态下，由在初始时刻施加于电路的输入所产生的响应。一、 RC电路的零状态响应电路的微分方程为 通解为 其中 为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又称强制分量； ( 对应齐次方程的通解 ) 取决于特征根，与外施激励无关，也称为自由分量，自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。例73：在下图所示电路中，时，开关由a 投向b, 并设在 时，开关与a端相接为时已久，试求 时，电容电压及电流，并计算在整在整个充电过程中电阻消耗的能量。解：； 又因 ， 可见 二、RL电路的零状态响应类似于RC电路，可求出零状态响应为 当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，由此可确定电容电压或电感电流稳态值；稳态值 ； 固有响应，微分方程通解中的对应齐次方程的解，因其随时间的增长而衰减到零，又称为暂态响应分量； 强制响应，微分方程通解中的特解，其形式一般与输入形式相同，如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响应； RC、RL电路，输入DC，贮能从无到有，逐步增长，所以，从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长； 零状态比例性，若外施激励增大倍，则零状态响应也增大倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定理求出零状态响应。例74：在下图所示电路中，时，开关闭合，求 。解: S1：求 , 可用戴维南定理将原电路化简 S2：， 三、RL电路在正弦电压激励下的零状态响应 电路方程： 通解为 自由分量： （特征方程）强制分量： 为方程 的特解 这里： 也可由教材 的待定系数法求出。 由 强制分量 与外施激励按相同的正弦规律变化； 自由分量 随时间增长而趋于零，自由分量指数函数 前的系数 与 有关，即与开关闭合的时刻有关。 若开关闭合时， , 则 故开关闭合后，无自由分量，仅有强制分量，电路中不发生过渡过程而立即进入稳定状态。 若开关闭合时， ，则 很大（），衰减极其绶慢，, ； RL电路与正弦电流接通后，在初始值一定的条件下，电路的过渡过程与开关动作的时间有关。7-4 一阶电路的全响应1.独立电源作用于线性动态电路时，零状态响应为各个独立电源单独作用时所产生的零状态响应的代数和；2.具有初始储能的储能元件可用电源和未储能的元件组合来替代，因此，由初始状态和输入共同作用适合运用叠加定理。通解 又因 原图中 显然 所以 即 完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 零输入响应是初始状态的线性函数； 零状态响应是输入的线性函数。线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和初始状态分别作用时所产生的响应的代数和，也即，全响应是零输入响应和零状态响应之和。3.完全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应完全响应 = 暂态响应（固有响应）+ 强制响应（稳态响应） 暂态响应：随时间按指数规律衰减，衰减快慢取决于固有频率； 稳态响应：常量（不随时间变化）, 取决于外加输入；在有损耗的动态电路中，在恒定输入作用下，一般可分两种工作状态 过渡状态和直流状态，暂态响应未消失期间属于过渡期。例7-5：下图所示电路中，时，恒定电压 加于RC电路，已知，求的 。 零输入响应： 零状态响应：暂态响应：稳态响应：解：S1：其中 S2： 零输入响应与暂态响应变化模式是相同的，都是按同一指数规律衰减的，但具有不同的常数；暂态响应是齐次方程的解，其常数K是在得出完全响应后，再行确定的，因而它必然与稳态响应有关，也就是与输入有关。零输入响应与输入无关，它的常数只与初始条件有关。4.三要素法（适用于直流输入） 输入为直流时, 在例75中, 为常数，有 是 三个参量所确定的，只要算得这三个参量，就可根据上式把解答直接写出，不必求解微分方程。 一阶电路中，任一电压或电流可按上法确定。设电路中有 个直流电压源和 个直流电流源，根据叠加定理 其中 a、直流一阶RC电路，任何结点电压 或任何支路电流 均按指数规律变化，且与 有相同的时间常数 ；b、同理，直流一阶RL电路中，任何结点电压 或任何支路电流 也是按指数规律变化的，且与 的时间常数 相同。 三要素法：求得电压、电流的初始值、稳态值和时间常数后，直接写出其解答式的方法。a、初始值的求取：用电压为 的直流电压源置换电容，用电流为 的直流电流源置换电感， 画出 t = 0+ 时的等效电路（直流电阻电路），可求出任一电压 或电流 ；b、稳态值的求取：用开路代替电容或用短路代替电感，画出t = 时的等效电路（直流电阻电路），可求出任一电压 或 ；c、时间常数的求取：求出戴维南或诺顿等效电路中等效电阻，则；d、写出解答式： 例7-6: 求下图所示电路中开关打开后各电压、电流的初始值（换路前电路已处于稳态）。 解：例7-7: 求下图所示电路在开关闭合后，各电压、电流的初始值，已知开关闭合前，电路已处于稳态。 解： 的电路中，只需求 或 ，其他各电压电流都没有必要去求， 因为换路后，这些量可能要变，只能在 的电路中再确定。例7-8： 若已知 , 试绘出电流 按指数规律变化的波形图，并写出 的表达式； 若已知 ，重复中所求。解： 7-5 二阶电路的零输入响应二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。串联电路和并联电路为最简单的二阶电路。 初始条件 零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 的响应。 或 特征方程 特征根 称为固有频率解为： 这里：是特征根，仅与电路结构及参数有关；积分常数决定于的初始条件 。给定初始条件： 一、,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）当时，固有频率 和 是两个不相等的负实根。1. 始终不改变方向，电容放电； 改变一次方向， 时，； ，电感吸收能量（），建立磁场；电感释放能量（），磁场逐渐衰减，趋向消失； 整个过程完毕，。例7-9：电路如下图所示, ，开关S原来闭合在触点1处，t = 0时，开关S由触点1接至触点2处，求：(1) (2) 。解：(1) 特征根 2设 例7-10：前述电路中(),，时，试求 ，。解：利用前述结果 3.设 例7-11： 前述电路中(),时，试求 解：根据前述结果 二、，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况）如果，则固有频率为共轭复数。 其中 这里：又 ,将 代入 中，1.是衰减振荡，它的振幅随时间作指数衰减，为衰减系数，越大，衰减越快；2.为衰减振荡角频率，越大，振荡周期越小，振荡加快；3.时，响应是振荡性，称为欠阻尼情况，反映振幅的衰减情况，为振荡的角频率。4.特殊情况：R =0，无阻尼， ， 5.电路的零输入响应的性质，取决于电路的固有频率p，p为复数、实数或虚数，决定了响应为衰减振荡、非振荡衰减或等幅振荡。例7-12：RLC串联电路中()，求零输入响应 。解： 例7-13：LC振荡回路中，求零输入响应。解：电路方程 特征方程 ， 特征根 6.能量转换情况： 设， 则 为电流i 的零点，即 的极值点； 为电感电压 的零点，即i 的极值点； 为电容电压 uC 的零点； 电感吸收，电容释放，电阻消耗； 电感释放，电容释放，电阻消耗； 电感释放，电容吸收，电阻消耗。 三、 临界情况（临界阻尼情况）当 时，为相等负实数，微分方程的解为常数和可由初始条件确定 电路的响应仍然是非振荡性的，如果电阻稍微减小，以致R，则响应将为振荡性的。当符合 时，响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼情况。例7-14：前述电路中()， 时, 试求 。解： 临界阻尼状态 。7-6 二阶电路的零状态响应和全响应一、直流RLC串联电路的完全响应如果前述电路中()， ，则电路的微分方程为 根据初始条件、，可确定、 此时的全响应与其零输入响应的差别仅在于用 代替了原来的 ， 并在这里增添了 项。其中，二、GCL并联电路的分析 其解答由特解和对应的齐次方程的通解组成，即取稳态解 为特解，而齐次方程的通解 与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。上述结果可由RLC串联电路的方程通过对偶量 的置换得到，其解答也可由串联电路的解答通过对偶量的置换得到其中 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，其求解方法与零状态响应的求解方法相同。例7-15：前述电路中()，直流电源 在 t = 0 时作用于电路，试求 ，并绘出波形图，设电路为零初始状态。解：因 ，电路属欠阻尼情况 上下作衰减振荡最后趋于，电压上升超过 所呈现的突出部分，称为“上冲”或“正峰突”。 例7-16：GCL并联电路中，L=1H，C=1F，求 的阶跃响应，若（1）G = 10S；（2）G = 2 S；（3）G = 0.1 S。解：依题意，（阶跃响应），且 或（1） （其中特解 ） 例7-17：GCL并联电路中, ，试求阶跃响应 。解：电路方程 特征方程 特征根 强制分量 对应齐次方程的解 通解为 又因 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃响应：单位阶跃函数输入的零状态响应。1.单位阶跃函数 延时单位阶跃函数 2.阶跃函数表示电源作用3.阶跃函数可用来“起始”任意一个4.阶跃函数表示电路响应（时不变性） 如果 延迟 再作用于电路，则5.阶跃函数和延时阶跃函数可表示分段常量信号，脉冲率等 例7-18: 试用阶跃函数分别表示下图中的脉冲串、正负脉冲和梯形信号。 解： 例7-19: 求下图所示零状态RL电路在图中所示脉冲电压作用下的电流 其中 。 解： 根据叠加定理 例7-20: RC电路如下图所示，已知 ，求电流 。 解：S1：零输入响应 S2：零状态响应 ：阶跃响应：单位阶跃输入的零状态响应；：把一阶电路在直流输入情况下的零状态响应公式中输入令为，可获得单位阶跃响应； 如： RC一阶电路中， 令，则单位阶跃响应 ；：为了表示此响应公适用于 ，可在结果后乘以阶跃函数；：任意直流激励下的零状态响应，只需把阶跃激励乘以该直流激励的量值。7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 一、冲激函数1.单位冲激函数是一种奇异函数，又称为狄拉克（Dirac）函数 2.单位脉冲函数 脉冲函数 所围的面积为K， 其高度为 ； 函数可看成单位脉冲函数 的一种极限，当一个单位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的幅度越来越大，当 时，幅度就变为无限大，但其面积仍为1； 函数是用一种集中的（离散的）瞬时作用的效应来代替一种平均的持续作用的效应。 冲激函数是一种理想化的波形，是一种宽度极为窄小但具有极大幅度的脉冲波形的近似，函数可以严格地用“广义函数”的概念来理解。3.单位延时冲激函数 二、冲激函数的性质1.冲激函数是阶跃函数的导数 2.筛分性 例7-21：试计算: ；。解： 三、电容电压和电感电流的跃变1.电容电压的跃变 若在 时，有冲激电流 流经电容, 则否则 若无冲激电流，电容电压不能突变 若在 时，流过电容的电流为单位冲激电流 ，则2.电感电流的突变 若在 时，施加于电感的冲激电压为 ，则否则 若无冲激电压，电感电流不能突变 若在 时，施加于电感的端电压为单位冲激电压 , 则例7-22：1F电容两端电压如下图所示，求电容电流并绘波形图，已知 ，。解：设电容电压、电流参考方向一致， 在 和 时波形不连续，因此在这两个时刻有冲激电流 ， 冲激强度， ， 冲激强度， 在期间例7-23：电路如下图所示，开关在 时 打开，打开前电路已处于稳态，求 时, 电路的电流以及 时电路的电流，并求开关电压 。解：时，电路已稳定，故开关打开后的瞬间，两电感电流必须相等，即 ：换路后，纯电容或仅由电容及电压源构成的回路中，电容电压可能突变；如电容电压发生突变，则有冲激电流流过电容； ：换路后，纯电感或由电感及电流源构成的割集中，电感电流可能跃变；如电感电流发生突变，电感两端出现冲激电压；四、冲激响应1.冲激响应：零状态电路对单位冲激信号的响应；2.计算冲激响应的一种方法：先计算由 产生的在 时的初始状态，然后求解由这一初始状态产生的零输入响应（前述方法），即为 时冲激响应 ；3. 时电容电压及电感电流初始值的确定a、冲激电源作用于电路的瞬间, 电感应看成开路，不论电感原来是否有电流(因电感贮能 为有限值，电感电流应为有限值，故电感之中不应出现冲激电流)；b、冲激电源作用于电路的瞬间，电容应看成短路，不论电容原来是否有电压(因电容贮能 为有限值，电容电压应为有限值，故电容两端不应出现冲激电压)。4.RC电路中电容电压的冲激响应 解：将电容看作短路 时，冲激电流全部流过电容 或5.RL电路中电感电流及电压的冲激响应解：把电感开路，冲激电压全部出现于电感两端 ， 例7-24：试确定下图所示电路的电感电流及电压的冲激响应。解： 时，电感看作开路 冲激电压出现在电感两端，使电感电压发生跃变 时， 与 并联，由 等效电路可知, ， 五、由阶跃响应求冲激响应线性非时变电路的冲激响应是它们的阶跃响应的导数，即求冲激响应的另一种方法，先求阶跃响应 ，再求阶跃响应的导数，便可得到冲激响应 例7-25：利用冲激响应是阶跃响应的导数性质，求解电路电容电压的冲激响应。解：该电路电容电压的阶跃响应为 六、二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应：零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应。电路方程 ，电路受作用获得能量 ，放电，满足二阶齐次微分方程，1.由 在 t = 0 作用产生的；对电路方程两边取 到 的积分，则有又此时 不能跃变，仅 才可能发生跃变意义：间隔内使电感电流跃变，电感中储存一定的磁场能量。此磁场能量