人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第2课时教学设计

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第2课时教学设计科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）人教版九年级上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第2课时教学设计课程基本信息1.课程名称：人教版九年级上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第2课时教学设计

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2022年10月18日星期二上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标培养学生运用配方法解一元二次方程的能力，提升数学思维品质。通过解决实际问题，强化学生对数学模型的理解，增强逻辑推理和运算能力。同时，培养学生严谨的数学态度和团队合作精神，激发对数学学习的兴趣和探究欲望。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入九年级之前，已经学习了代数基础知识，包括整式运算、分式运算、一元一次方程等。这些知识为学习一元二次方程打下了基础。他们应该能够熟练地进行基本的代数运算，理解一元一次方程的解法。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学的学习兴趣因人而异，部分学生对一元二次方程这类抽象的数学问题可能感到兴趣盎然，而另一些学生可能感到困惑和挑战。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够快速掌握配方法；而部分学生可能更倾向于具体直观的学习方式。学习风格上，有的学生偏好独立学习，有的则更适应小组合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习一元二次方程时可能会遇到以下困难：一是对配方法的原理理解不够深入，难以将配方法应用于实际问题中；二是运算能力不足，导致在解方程时出现错误；三是缺乏对一元二次方程几何意义的认识，难以从几何角度理解方程的解。针对这些挑战，教师需要通过多种教学策略帮助学生克服。教学资源-多媒体课件：包含一元二次方程配方法的动画演示和例题讲解

-教学黑板或白板：用于板书方程、配方法步骤和解答过程

-练习题：精选配方法解一元二次方程的练习题，包括基础题和拓展题

-学生用书：人教版九年级上册数学教材

-教学辅助工具：如计算器、直尺、圆规等，用于辅助学生理解和练习

-课程平台：学校内部的教学管理平台，用于发布教学资料和在线作业

-信息化资源：一元二次方程配方法的网络教学视频和在线互动练习系统

-教学手段：小组讨论、课堂提问、合作学习等互动式教学策略教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对一元二次方程配方法的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，大家还记得我们之前学过的一元一次方程吗？今天我们将一起探索一种新的解方程的方法——配方法。你们知道这种方法有什么特点吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于配方法的图片或视频片段，让学生初步感受配方法在解决实际问题中的应用。

简短介绍配方法的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.一元二次方程配方法基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解一元二次方程配方法的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解一元二次方程配方法的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍一元二次方程配方法的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.一元二次方程配方法案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解一元二次方程配方法的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的应用配方法解一元二次方程的案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解一元二次方程配方法的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际数学学习的影响，以及如何应用配方法解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与一元二次方程配方法相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对一元二次方程配方法的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调一元二次方程配方法的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括一元二次方程配方法的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调一元二次方程配方法在现实数学学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用该方法。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：让学生巩固所学知识，提高解题能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）复习本节课所学的一元二次方程配方法，尝试用配方法解决课后练习中的方程。

（2）选择一个生活中的实际问题，尝试用一元二次方程配方法进行建模和求解。

（3）撰写一篇关于一元二次方程配方法的学习心得，总结学习过程中的收获和体会。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《一元二次方程的历史与发展》：介绍一元二次方程的起源、发展历程以及在不同文化中的表现形式。

-《一元二次方程的应用》：探讨一元二次方程在物理学、工程学、经济学等领域的实际应用案例。

-《一元二次方程与二次函数的关系》：分析一元二次方程与二次函数之间的内在联系，以及如何通过二次函数图像来解一元二次方程。

-《一元二次方程的判别式》：深入探讨一元二次方程的判别式，解释其意义以及在实际问题中的应用。

-《一元二次方程的根与系数的关系》：研究一元二次方程的根与系数之间的关系，探讨如何通过系数来预测方程的根的性质。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试将配方法应用于解决一些未在课堂上出现的复杂一元二次方程。

-鼓励学生尝试将一元二次方程与其他数学概念相结合，如二次函数、不等式等，探索它们之间的联系。

-提供一些实际问题的背景材料，让学生尝试用一元二次方程配方法进行建模和求解，如物体的运动轨迹、财务计算等。

-引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，如建筑设计、城市规划、工程设计等领域。

-组织学生进行小组合作，共同研究一元二次方程的配方法在不同数学问题中的应用，如几何问题、物理问题等。

-鼓励学生尝试用配方法解决一些历史数学问题，如古代数学家提出的一元二次方程问题，增加学生的数学文化素养。

-鼓励学生探索一元二次方程配方法的极限情况，如当方程的系数接近零时，配方法的变化趋势。

-引导学生思考一元二次方程配方法在计算机科学中的应用，如算法优化、图像处理等领域。

-鼓励学生尝试用配方法解决一些开放性问题，如如何将配方法应用于解决非线性方程组等。

-组织学生进行一元二次方程配方法的竞赛或挑战活动，激发学生的学习兴趣和竞争意识。重点题型整理1.题型一：求解一元二次方程

例题：解方程\(x^2-5x+6=0\)。

解答：首先，将方程写为标准形式\(ax^2+bx+c=0\)，其中\(a=1\),\(b=-5\),\(c=6\)。然后，使用配方法：

\[

x^2-5x+\left(\frac{-5}{2}\right)^2-\left(\frac{-5}{2}\right)^2+6=0

\]

\[

\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-6

\]

\[

\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

\]

\[

x-\frac{5}{2}=\pm\frac{1}{2}

\]

\[

x=\frac{5}{2}\pm\frac{1}{2}

\]

\[

x_1=3,\quadx_2=2

\]

2.题型二：求解含参一元二次方程

例题：解方程\(x^2-4x+k=0\)，其中\(k\)是常数。

解答：使用配方法，方程变为：

\[

x^2-4x+4-4+k=0

\]

\[

(x-2)^2=4-k

\]

当\(4-k>0\)时，方程有两个实数解：

\[

x-2=\pm\sqrt{4-k}

\]

\[

x=2\pm\sqrt{4-k}

\]

当\(4-k=0\)时，方程有一个重根：

\[

x=2

\]

当\(4-k<0\)时，方程无实数解。

3.题型三：求解一元二次方程的应用题

例题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时后，速度提高至每小时80公里。求汽车行驶的总路程。

解答：设汽车行驶的总路程为\(d\)公里，则有：

\[

\frac{d}{60}+\frac{d}{80}=2

\]

通分后得到：

\[

\frac{4d+3d}{240}=2

\]

\[

\frac{7d}{240}=2

\]

\[

7d=480

\]

\[

d=\frac{480}{7}

\]

\[

d\approx68.57\text{公里}

\]

4.题型四：求解一元二次方程的根与系数的关系

例题：已知一元二次方程\(x^2-4x+3=0\)的两个根为\(x_1\)和\(x_2\)，求\(x_1^2+x_2^2\)。

解答：根据根与系数的关系，有\(x_1+x_2=4\)和\(x_1\cdotx_2=3\)。则：

\[

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdotx_2

\]

\[

x_1^2+x_2^2=4^2-2\cdot3

\]

\[

x_1^2+x_2^2=16-6

\]

\[

x_1^2+x_2^2=10

\]

5.题型五：求解一元二次方程的判别式

例题：判断方程\(x^2-6x+9=0\)的根的性质。

解答：计算判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，其中\(a=1\),\(b=-6\),\(c=9\)。则：

\[

\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9

\]

\[

\Delta=36-36

\]

\[

\Delta=0

\]

因为\(\Delta=0\)，所以方程有一个重根。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了配方法解一元二次方程。通过配方法，我们能够将一元二次方程转化为完全平方形式，从而找到方程的根。以下是本节课的重点内容：

1.配方法的基本步骤：首先，将方程写为\(ax^2+bx+c=0\)的形式；然后，将\(ax^2+bx\)表达为完全平方的形式，即\((dx+e)^2\)；最后，解出方程的根。

2.配方法的原理：通过添加和减去同一个数，使得二次项和一次项构成一个完全平方，从而简化方程的求解过程。

3.配方法的应用：配方法不仅用于解一元二次方程，还可以用于解决与一元二次方程相关的问题，如求解方程的根与系数的关系、判断方程根的性质等。

4.配方法的局限性：配方法适用于系数\(a\)为1的一元二次方程，对于系数\(a\)不为1的情况，需要先进行系数的化简。

当堂检测：

一、选择题

1.下列方程中，可以用配方法解的是：

A.\(x^2-4x+3=0\)

B.\(2x^2+5x-3=0\)

C.\(3x^2-6x+2=0\)

D.\(x^2+3x+2=0\)

2.若一元二次方程\(x^2-2x+1=0\)的解为\(x_1\)和\(x_2\)，则\(x_1+x_2\)的值为：

A.1

B.2

C.0

D.-2

二、填空题

1.解方程\(x^2-4x+3=0\)的步骤是：_______，_______，_______。

2.若一元二次方程\(x^2-6x+k=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值为_______。

三、解答题

1.解方程\(x^2-5x+6=0\)并写出解题过程。

2.若一元二次方程\(x^2+bx+c=0\)的两个根分别为\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1+x_2=6\)，\(x_1\cdotx_2=4\)，求\(b\)和\(c\)的值。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合生活实例，提高学生兴趣

在讲解一元二次方程配方法时，我尝试结合生活中的实例来讲解，比如通过汽车行驶问题、投资收益问题等，让学生感受到数学在实际生活中的应用，这样不仅能够提高学生的学习兴趣，还能帮助他们更好地理解抽象的数学概念。

2.小组合作学习，培养学生的团队精神

在课堂教学中，我鼓励学生进行小组合作学习，通过小组讨论和合作解决问题，这样可以培养学生的团队协作能力，同时也能够让学生在交流中互相学习，共同进步。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对配方法的理解不够深入

在教学过程中，我发现部分学生对配方法的理解不够深入，他们在遇到复杂的一元二次方程时，往往难以运用配方法进行求解。这可能是由于我在讲解时对配方法的原理讲解不够透彻，或者是对配方法的实际应用举例不够丰富。

2.课堂互动不足，学生参与度不高

在课堂互动方面，我意识到自己的提问和讨论环节还不够充分，有些学生参与课堂讨论的积极性不高，这可能是由于我没有充分调动学生的积极性，或者是对学生的回答反馈不够及时。

3.评价方式单一，未能全面评估学生

在教学评价方面，我主要依赖学生的课堂表现和作业完成情况，这种评价方式较为单一，未能全面评估学生的知识掌握和能力发展。

反思改进措施（三）

1.深入讲解配方法原理，丰富应用实例

为了让学生更好地理解配方法，我将在今后的教学中更加注重对配方