第六章习题与复习题(二次型)----高等代数.doc

习题6.11写出下列二次型的矩阵.（1）（2）（3）2将二次型表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3设A = ， B = 证明A与B合同，并求可逆矩阵C ，使得 B = A C 4如果n阶实对称矩阵A与B合同，C与D 合同，证明合同.习题6.21用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）2已知二次型的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3已知二次型经正交变换化为标准形 5用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）6在二次型 f（ x1 ，x2 ，x3 ）= 中，令得 f = 可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f化为标准形并确定 f 的秩.7判断矩阵是否合同.习题6.31判定下列实二次型的正定性.（1）（2）（3）（4）2 a为何值时， 实二次型是正定的.习题六(A)一、填空题1二次型的矩阵为 .2 .3已知二次型的矩阵为，则该二次型为 .4二次型的秩为 .5化二次型为规范形 ，所用的可逆线性变换矩阵为 .6二次型的规范形为 .7已知实对称矩阵A与矩阵 . 8已知正定，则a= .9当t满足 , 是负定的.10已知二次型的正、负惯性指数均为1，则a = .二、单项选择题1. 已知二次型的秩为2,则a=( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设, 则下列矩阵中与A合同的矩阵是( ).(A) (B) (C) (D) (A) A与B合同 (B) A与B等价 (C) A与B相似 (D) A与B的秩相等4. 设A, B都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB是正定阵, A + B 不是正定阵(C) AB不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵5. 下列条件不能保证n阶实对称矩阵A为正定的是( ).(A) 正定 (B) 二次型f=XTAX的负惯性指数为零(C) 二次型f=XTAX的正惯性指数为n(D) A合同于单位矩阵7. 已知实对称矩阵A满足A2-5A+6E=O,则A( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型经正交变换化为,则a=( ).(A)1 (B) 1 (C) 2 (D) 29. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) (B) (C) (D) 10. 设矩阵( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似 (C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1已知相似于对角阵.（1）求a的值；（2）求正交变换使二次型XTBX为标准形.3. 已知实二次型f=X TAX中矩阵A的特征值为1，2，5，A属于特征值1与2的特征向量分别为求该二次型.4设二次型经正交变换5设A是n阶对称矩阵，如果对任一n维向量X，都有f=XTAX=0,证明A=O.6设f = A X为n元实二次型 ，与 分别为其矩阵A的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n维向量X ，总有 X A X X7试证：若A是n阶方阵，则 A 是半正定矩阵8设A为n阶实对称矩阵且满足 = 3 E ，证明A是正定矩阵9设实对称矩阵A与B合同，若A是正定矩阵，证明B是正定矩