苏州期初数学.DOC

2012届高三暑期自主学习调查数学(满分160分，考试时间120分钟)201109参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差(第4题)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 抛物线y24x的准线方程是_2. 已知集合Ax|x1，By|yx22x2，则AB_.3. 设复数z满足zi12i(i为虚数单位)，则z的模为_4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的T的值为_5. 某位同学五次考试的成绩分别为130,125,126,126,128，则该组数据的方差s2_.(第6题)6. 如图三个相同的正方形相接，则_.7. 若函数f(x)的导函数为f(x)2x4，则函数f(x1)的单调递减区间是_8. 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“两次摸出的球颜色相同”的概率是_(第9题)9. 函数f(x)Asin(x)(A0，0，0,2)的图象如图所示，则_.10. 过椭圆1(ab0)的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线1的离心率为_11. 若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为_12. 设a，b是两个非零向量，如果(a3b)(7a5b)，且(a4b)(7a2b)，则a与b的夹角为_13. 已知函数f(x)若a、b、c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_14. 已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x1，x2，xn和y1，y2，yn(nN*，且n2)，使得a，x1，x2，xn，b成等差数列，a，y1，y2，yn，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是_(填上你认为正确的所有式子的序号) ； 2； ； .二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.(1) 若(abc)(bca)3bc，求A的值；(2) 若c10，A45，C30，求b的值16. (本小题满分14分)如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACB90，BCCC1，E、F分别为AB、AA1的中点(1) 求证：直线EF平面BC1A1；(2) 求证：EFB1C.17. (本小题满分14分)某水产养殖场拟造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如下如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米长56元，筛网(图中虚线部分)的建造价为每米长48元，网箱底面面积为160平方米，建造单价为每平方米50元，网衣及筛网的厚度忽略不计(1) 把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价；(2) 若要求网箱的长不超过15米，宽不超过12米，则当网箱的长和宽各为多少米时，可使总造价最低？(结果精确到0.01米)18. (本小题满分16分)已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，点(an，Sn)在曲线(x1)24y上(1) 求an的通项公式；(2) 设数列bn满足b13，令bn1abn，设数列bn的前n项和为Tn，求数列Tn6n中最小项的值19. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x5上圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r113；圆弧C2过点A(29,0)(1) 求圆弧C2所在圆的方程；(2) 曲线C上是否存在点P，满足PAPO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线C交于E，F两点，当EF33时，求坐标原点O到直线l的距离20. (本小题满分16分)已知函数f(x)x33ax(aR)，函数g(x)lnx.(1) 当a1时，求函数f(x)在区间2,2上的最小值；(2) 若在区间1,2上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；(3) 当a0时，设h(x)|f(x)|，x1,1，求h(x)的最大值F(a)的解析式.高三数学附加题试卷第页(共2页)2012届高三暑期自主学习调查数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲如图，设直线l切O于点P，AB为O的任一条不与l垂直的直径，ACl，垂足为点C.求证：AP平分CAB.B. 选修42：矩阵与变换已知a，b是实数，如果矩阵M所对应的变换将直线xy1变换成x2y1，求a，b的值C. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求圆(为参数)上的点到直线(t为参数)的最小距离D. 选修45：不等式选讲设a，b是非负实数，求证：a2b2(ab)【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，已知ABC90，SA平面ABCD，ABBC2，AD1.(1) 当SA2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；(2) 若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为，求SA的长设整数n4，在集合1,2,3，n中任取两个不同元素a，b(ab)，记An为满足ab能被2整除的取法种数(1) 当n6时，求An；(2) 求An.高三数学参考答案第页(共3页)2012届高三暑期自主学习调查数学参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. x12. 13. 4. 255. 3.26. 7. (，3)8. 9. 10. 11. a212. 6013. (25,34)14. 二、 解答题：本大题共6小题，共90分15. 解：(1) 由题设知b2c2a2bc，即.(3分)由余弦定理得cosA.(4分)因为0A，所以A.(7分)(2) 因为A45，C30，所以B105.(8分)所以sinBsin(4560)sin45cos60cos45sin60.(11分)由正弦定理得bsinB5()(14分)16. 证明：(1) 在ABA1中，因为E、F分别为AB、AA1的中点，所以EFBA1.(3分)又因为EF平面BC1A1，BA1平面BC1A1，所以直线EF平面BC1A1.(6分)(2) 由直三棱柱及BCCC1知四边形BCC1B1为正方形，所以B1CBC1.(8分)因为ACB90，即ACBC.又ACCC1，且BCCC1C，所以AC平面BCC1B1，故ACB1C.因为ACA1C1，所以A1C1B1C.(11分)因为BC1A1C1C1，所以B1C平面BC1A1，所以B1CBA1.(13分)因为EFBA1，所以EFB1C.(14分)17. 解：(1) 由题意得y5648501601608 000(2分)16028 00013 120.(4分)当且仅当x即x16时，取得最小值，即有最低造价为13 120元(6分)(2) 由题意得解得13x15.(8分)设g(x)x，则g(x)1.(10分)因为当13x15时，有g(x)0恒成立，所以当13x15时，函数g(x)单调递减(12分)所以当x15时，函数g(x)有最小值，y也有最小值，此时宽为10.67.(13分)答：当网箱长为15米，宽为10.67米时，可使总造价最低(14分)18. 解：(1) 由题意得4Sn(an1)2，从而4Sn1(an11)2，所以4(Sn1Sn)(an11)2(an1)2，即4an1aa2an12an，所以2(an1an)(an1an)(an1an)因为an0，所以an1an0，所以an1an2.(4分)又由4a1(a11)2得a11，(5分)所以an是以1为首项，2为公差的等差数列，故an2n1.(7分)(2) 由(1)知abn2bn1，又bn1abn，所以bn12bn1.(8分)所以bn112(bn1)又b13，b112，所以bn1是以2为首项，2为公比的等比数列故bn12n，即bn2n1.(12分)所以Tnn2n12n.(13分)设cnTn6n2n125n，则cn1cn2n15，所以当n1时，有cn1cn；当n2，nN时，有cn1cn.故最小项为c2.所以数列Tn6n中最小项的值为4.(16分)19. 解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2y2169.(1分)令x5，解得M(5,12)，N(5，12)，又C2过点A(29,0)，设圆弧C2所在圆方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2y228x290.(4分)(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PAPO，得(x29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.(6分)由解得x70(舍去)；由解得x0(舍去)所以这样的点P不存在(10分)(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r113，r215，所以EF2r1，EF2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上(11分)设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，所以EF15，即18，(14分)解得d2，所以点O到直线l的距离为.(16分)20. 解：(1) 当a1时，f(x)3x23，(1分)由f(x)0得x1.列表：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2222(3分)所以f(x)minf(2)f(1)2.(4分)(2) 因为在区间1,2上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方，所以x33axlnx在1,2上恒成立，即3ax2在1,2上恒成立(6分)设m(x)x2，则m(x)2x. 2x310，lnx0， m(x)0， m(x)在1,2上单调递增 m(x)minm(1)1，(9分) 3a1，即a.(10分)(3) 因为h(x)|f(x)|x33ax|在1,1上是偶函数，故只需要求在0,1上的最大值由f(x)3x23a3(x)(x) 当1，即a1时，h(x)|f(x)|f(x)，此时h(x)在0,1上单调递增 F(a)f(1)3a1.(12分) 当01，即0a1时，f(x)在0，上递减，在，1上递增1 当f(1)13a0，即a1时，h(x)f(x)， F(a)f()2a；(13分)2 当f(1)13a0，即0a时，a) 当f()f(1)即0a时，F(a)f(1)13a；b) 当f()f(1)即a时，F(a)f()2a.(15分)综上F(a)(16分)高三数学附加题参考答案第页(共2页)2012届高三暑期自主学习调查数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：连结PB，由AB为直径得APB90，所以PABPBA90.(3分)又ACl，所以CAPCPA90.(5分)因为CP为切线，AP为弦，所以CPAPBA.(8分)所以CAPPAB，即AP平分CAB.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：设点(x，y)是直线xy1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x，y)，则，所以(4分)因为点(x，y)在直线x2y1上，所以(22b)x(a2)y1，(6分)于是有(8分)解得(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：将参数方程(为参数)化为直角坐标方程为x2y24，它表示以O(0,0)为圆心，2为半径的圆(3分)将参数方程(t为参数)化为直角坐标方程为3xy8.(6分)圆心O到此直线的距离为2，所以直线与圆相离，(8分)所以圆上的点到直线的最小距离为2.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：作差得a2b2(ab)a()b()(3分)()()3()3(5分)()2(ab)(8分)因为a，b，是非负实数，所以ab0，又()20，所以()2(ab)0，即有a2b2(ab)(10分)22. 解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，设SAt(t0)由题意得A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0，t)所以(1,2,0)，(1,0，t)，(0,0，t)设平面SCD的一个法向量为n(x，y,1)，则即所以即n.(3分)(1) 当SA2时，(0,0，2)，n(2，1,1)，设直线SA与平面SCD所成角为，则sin|cos，n|.(6分)(2) 因为平面SCD的一个法向量为n，又平面SAB的一个法向量为(1,0,0)(7分)设平面SCD与平面SAB所成角为，则cos|cos，n|，解得t，即SA的长为.(10分)23. 解：(1) 当n6时，集合为1,2,3,4,5,6，将其分为：奇数集A1,3,5，偶数集B2,4,6 ab能被2整除， a，b应同是奇数或同是偶数，所以a，b应该取自同一个集合A或B.故有C