工程数学2016自动化期末复习材料.pdf

期期末末复习复习 大家请大家请把该资料打印出来 不必要彩印 把该资料打印出来 不必要彩印 然后然后针对以下知识点去看书 针对以下知识点去看书 这上面的每一道习题都请认真去做这上面的每一道习题都请认真去做 预祝大学考得好成绩 预祝大学考得好成绩 第一章第一章 行列式行列式 第一节 第一节 行列式的定义行列式的定义 N 阶行列式的概念阶行列式的概念 具备了一定运算规则的方形数表 余子式和代数余子式的概念余子式和代数余子式的概念 拉普拉斯定理 拉普拉斯定理 n阶行列式D的值等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子 式乘积的和 推论 推论 n阶行列式中任意一行 或列 的元素与另一行 或列 的相应元素代数余子式的乘 积之和等于 0 主对角行列式 上 下 三角形行列式的概念及求值主对角行列式 上 下 三角形行列式的概念及求值 例题 例题 1 求行列式 200 050 003 答案 30 2 求行列式 232 057 003 答案 30 3 已知行列式 112 031 213 D 求 11111212 MAMA 第二节 第二节 行列式的性质 计算与应用行列式的性质 计算与应用 转置行列式的概念转置行列式的概念 行列式的性质 行列式的性质 5 个都很重要 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等 行列式中凡是对行成立的性质对列也成立 性质性质 2 互换行列式的两行 或两列 行列式仅改变符号 推论 如果行列式中有两行 或两列 对应元素相等 则这个行列式等于 0 性质性质 3 将行列式的某一行 或列 所有元素都乘以 k 其结果就等于用 k 乘这个行列 式 推论 1 行列式中如果有一行或一列所有元素都为 0 则行列式为 0 推论 2 行列式中如果有两行 或两列 对应元素成比例 则这个行式为 0 性质性质 4 是什么 见书 P10 性质性质 5 将行列式某一行 或列 的所有元素都乘以相同的数 k 再加到另一行 或列 的对应元素上 得到的行列式相等 行列式的计算 行列式的计算 方法一 方法一 利用上述性质把行列式转化为上角形行列式 方法二 方法二 造零降阶法 利用性质把行列式的某行或某列造出尽可能多的零 再利用拉普拉斯 定理展开行列式 例例 1 若 111213 212223 313233 aaa aaaa aaa 则 113121 123222 133323 444 aaa aaa aaa 答案 4a 例例 2 计算行列式 0112 1102 1210 2110 答案 4 见书 P11 例 1 第三节第三节 克莱姆法则克莱姆法则 克拉默法则是什么 克拉默法则是什么 注意克拉默法则的前提 注意克拉默法则的前提 方程数跟未知数个数相同 系数行列式不等于零 第一章习题 第一章习题 1 复习题复习题一一的选择题和填空题的选择题和填空题 2 计算下列行列式 计算下列行列式 1 241 303 542 答案 48 2 1234 2341 3412 4123 答案 160 3 证明下列 证明下列等式等式 第二章第二章 矩阵矩阵 第一节 矩阵的概念第一节 矩阵的概念 什么是什么是m n 矩阵 矩阵 n 阶方阵 记为阶方阵 记为 n A或或 n n A 的概念 行矩阵 列矩阵 零矩阵的概念 的概念 行矩阵 列矩阵 零矩阵的概念 n 阶对角矩阵 阶对角矩阵 n 阶单位矩阵 阶单位矩阵 n 阶上 下 三角阶上 下 三角矩阵的概念矩阵的概念 11111111 2 22222222 33333333 1 ab xa xbcabc ab xa xbcxabc ab xa xbcabc 注意 注意 注意区分矩阵和行列式 注意他们记号的区别 区分开来零矩阵和单位矩阵 第二节 第二节 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵相加和数乘的定义 矩阵矩阵相加和数乘的定义 矩阵 A 和和 B 能相加的前提是能相加的前提是 A 和和 B 是同型矩阵 是同型矩阵 矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 矩阵 A 能左乘 B 即A B 有意义 的条件是什么 答案 矩阵 A 的列 数等于 B 的行数 矩阵乘法的性矩阵乘法的性质质 书上 30 页 总结如下 矩阵矩阵乘法没有交换律乘法没有交换律 其他结合律 和加法的 分配律都有 一个矩阵和单位矩阵相乘等于这个矩阵本身 一个矩阵和零矩阵相乘等于零矩阵 转置矩阵的定义转置矩阵的定义 对称矩阵的概念对称矩阵的概念 例题 例题 1 设 103 210 A 求AB 答案见书上 P29 例 3 第三第三节 节 方阵的几种运算方阵的几种运算 方阵方阵 A 的行列式概念的行列式概念 记法 记为 A或detA n 阶方阵的行列式的性质阶方阵的行列式的性质 重要 1 det det T AA 2 det det n kAkA 3 d e t d e t d e t ABAB 矩阵矩阵A伴随矩阵伴随矩阵 A是怎么定义的 是怎么定义的 注意那些代数余子式的位置位置 并会求伴随矩阵 矩阵矩阵A伴随矩阵伴随矩阵 A的关系 的关系 AAA AA E 奇异矩阵和非奇异矩阵的定义奇异矩阵和非奇异矩阵的定义 可逆矩阵的定可逆矩阵的定义 义 A 的逆矩阵 或逆 记为 1 A 逆矩阵的性质 逆矩阵的性质 1 111 ABB A 2 11 TT AA 3 1 1 k k A A 12 20 32 B 310 241 011 B 定理定理 1 一个方阵A可逆的充分必要条件是 0 A 且当 0 A时 有 1 A A A 例 例 设 A为可逆矩阵A的伴随矩阵 求证 A也可逆 并求 1 A P37 8 答案 A A 第四节 分块矩阵第四节 分块矩阵 什么是分块矩阵 什么是准对角矩阵或分块对角矩阵 学会利用分块矩阵思想求分块对角矩阵的逆 见书上 41 页 第五节 矩阵的初等变换第五节 矩阵的初等变换与矩阵的秩与矩阵的秩 互换变换 倍乘变换 初等行变换 倍加变换 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 初等列变换 互换变换 倍乘变换 倍加变换 初等矩阵分为哪三类初等矩阵分为哪三类 初等互换矩阵 初等倍加矩阵 初等倍乘矩阵 什么是阶梯形矩阵和简化的阶梯形矩阵什么是阶梯形矩阵和简化的阶梯形矩阵 课上讲过 课上讲过 定理定理 1 书上没有 书上没有 任意一个矩阵经有限次初等行变换都可以变为阶梯形矩阵或简化的阶 梯形矩阵 会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆 会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆 求矩阵的逆一般用初等行变换法 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 学会用矩阵的初等行变换求矩阵的秩 学会用矩阵的初等行变换求矩阵的秩 把矩阵通过初等行变换化为了阶梯形矩阵 阶梯形 矩阵非零行的个数即为矩阵的秩 第六节 高斯消元法及线性方程组的相容性定理第六节 高斯消元法及线性方程组的相容性定理 掌握高斯掌握高斯 约当消元法求解线性方程组约当消元法求解线性方程组 就是将方程的增广矩阵进行初等行变换化为简化的 阶梯形矩阵或阶梯形矩阵 高斯高斯 约当消元法求解线性方程组一般步骤 约当消元法求解线性方程组一般步骤 将方程的增广矩阵进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵或阶梯形矩阵 写出阶梯形矩阵对应的方程组 判断是否有解 判断解是否唯一 若不唯一 选择合适的自由变量 写出一般解 可以选择最后的阶梯形矩阵中各个非零行的第一个非零元素以外以外的列作为自由变量 什么是自由变量 什么是一般解什么是自由变量 什么是一般解 注意和通解概念区分开来 什么是方程组相容什么是方程组相容 就是方程组有解 相容的充要条件 充要条件是 rr AA 定理定理 1 设非齐次线性方程组AX B 未知量个数为n 则 1 当 rrn AA 时 方程组有唯一解 2 当 rrn AA 时 方程组无解 定理定理 2 齐次线性方程组AX 0一定有解 设未知量个数为n 则 1 当 rn A时 只有零解 2 当 rn A时 方程组有非零解 第二章习题 第二章习题 1 复习题二复习题二的的选择题选择题 2 用伴随矩阵和初等行变换两种方法求下列矩阵的逆矩阵 用伴随矩阵和初等行变换两种方法求下列矩阵的逆矩阵 P47 1 223 110 121 A 答案 143 153 164 3 用初等行变换求用初等行变换求下列下列矩阵的秩矩阵的秩 P48 2 2 1221 1 1331 4 3118 答案 2 4 已知 已知A为三阶方阵为三阶方阵 且且 1 4 A 求 求 1 A A 1 2 A 1 3 A 解 由于 11 1 EAAA A 所以 1 4 A 由于 AAA E 所以 1 1 4 A AA A 因此 1 1 6416 A A 11 2 8 32 AA 11 1 4 3 32727 AA A 第三章第三章 n 维向量和线性方程组维向量和线性方程组 第一节第一节 n 维向量及向量的线性组合与线性表示维向量及向量的线性组合与线性表示 向量的定义与运算向量的定义与运算 可以看成一种特殊的矩阵 运算及运算规则与矩阵保持一致 可以看成一种特殊的矩阵 运算及运算规则与矩阵保持一致 向量的线性组合及向量的线性组合及线性表示的概念线性表示的概念 定理定理 1 书 书 66 页页 命题 命题 1 设 12 m 都是n维向量 12 m A 12 m A 则以下命题等价 1 向量 能由向量组 12 m 线性表示 2 线性方程组 AX 有解 3 rr AA 第第二二节 节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定 义 定 义 对 于 向量 组 12 m 若 存 在一 组 不全 为零的 数 12 m k kk 使 得 1122mm kkk 0 则 称 向 量 组 12 m 线 性 相 关线 性 相 关 否 则 称 向 量 组 12 m 线性无关线性无关 定理定理 1 向量组 12 2 m m 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量能由 其余1m 个向量线性表示 定理定理 2 向量组 12 m 线性无关的充要条件是 若有数 12 m k kk 使得 1122mm kkk 0 则必有 12 0 m kkk 该定理常用来证明向量 组线性无关 定理定理 3 设有n维向量组 12 m 12 m A 则以下命题等价 1 这组向量线性相关 2 齐次线性方程组 AX0有非零解 3 矩阵A的秩小于向量的个数m 即 rm A 定理定理 4 设有n维向量组 12 m 12 m A 则以下命题等价 1 这组向量线性无关 2 齐次线性方程组 AX0只有零解 3 矩阵A的秩等于向量的个数m 即 rm A 例例 1 已知向量组 12 m 线性无关 向量组 12 m 线性相关 证明向量 可 以由向量组 12 m 线性表示 且表示系数是唯一的 见书第 72 页例 5 例例 2 证明 12 23 31 线性无关的充分必要条件是 123 线性无关 第第三三节 向量组的节 向量组的极大无关组与向量组的秩极大无关组与向量组的秩 什么是向量组的极大无关组 什么是向量组的极大无关组 什么是向量组的秩什么是向量组的秩 向量组的秩与矩阵秩的关系 向量组的秩与矩阵秩的关系 学会求一组向量组的秩及它的极大线性无关组 学会求一组向量组的秩及它的极大线性无关组 第第四四节节 方程组解的结构定理方程组解的结构定理 了解齐次线性方程组了解齐次线性方程组解的结构 解的结构 解的线性组合还是解解的线性组合还是解 了解了解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组解与导出组的解的关系与导出组的解的关系 了解了解非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 会求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的会求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的基础解系和基础解系和通解 通解 求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组AX b的通解的一般步骤 的通解的一般步骤 1 对AX b的增广矩阵进行初等行变换化为简化的阶梯形矩阵 写出其对应的方程 并 得到一般解 含有自由变量的解 求出一个特解 2 利用步骤 1 得到的最后的阶梯形矩阵写出对应的齐次线性方程组AX 0的一般解 求出AX 0基础解系 3 写出AX b的通解 例例 P83 例 例 4 求非齐次线性方程组 1234 1234 1234 24537 36427 48171121 xxxx xxxx xxxx 的通解 第第五五节节 特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的概念 学会求一个矩阵的特征值学会求一个矩阵的特征值和特征向量和特征向量 例例 P89 例 例 3 求矩阵 12 32 A的特征值和特征向量 第三章习题 第三章习题 1 复习题三复习题三选择题和填空题 选择题和填空题 2 设方程组为 设方程组为 123 123 123 24 23611 2 xxx xxx xxaxb 问 a b各取何值时 该方程组有唯一解 无数解 无 解 答案 当4a 时 有唯一解 当4 7ab 时 无解 当4 7ab 时 无数解 3 设有向量设有向量 1 1 1 1 2 2 1 2 0 2 3 1 0 3 1 2 3 7 2 1 判断 123 的线性相关性 2 判断 123 的线性相关性 3 问 能否由 123 线性表示 解 设矩阵 123 A 矩阵 123 B 我们要回答 1 2 3 都需要 要求出矩阵A和矩阵B的秩 利用初等行变换求B的秩 111211121112 1203031100714 103701250125 221200120012 B 111211121001 000001250101 012500120012 001200000000 1 3r A 所以 123 线性无关 2 34r B 所以 123 线性相关 3 rr AB 所以 能由 123 线性表示 且有唯一的表示式 123 2 4 证明 证明 1 1 1 1 1 0 1 0 0 是线性无关的 是线性无关的 第第 4 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率 第一节 随机事件第一节 随机事件 掌握随机试验 掌握随机试验 样本空间 样本空间 随机事件随机事件等概念 等概念 事件间的关系和运算 注意区分开来互斥事件和事件间的关系和运算 注意区分开来互斥事件和对立事件对立事件 学会用符号来表示一学会用符号来表示一些事件 些事件 书书 100 页 例页 例子子 第二节 随机事件的概率第二节 随机事件的概率 频率和概率的概念 频率和概率的概念 什么是古典概型 什么是古典概型 会求会求古典概型概率古典概型概率 概率的一些性质概率的一些性质 若事件 A B互斥时 则 P ABP AP B 对于任意事件A 有 1P AP A 若 A B为任意两个随机事件 则 P ABP AP BP AB 例例 P104 例 例 2 一袋中有 一袋中有 8 个球 个球 5 黑 黑 3 白 现白 现从中随机地取出两个球 求取出两个都从中随机地取出两个球 求取出两个都 是黑球的概率 是黑球的概率 第三节第三节 条件概率与概率乘法公式条件概率与概率乘法公式 条件概率公式 条件概率公式 P AB P A B P B 概率乘法公式 概率乘法公式 P ABP A P B AP B P A B 什么是全概率公式和贝叶斯公式 什么是全概率公式和贝叶斯公式 注意 注意 1P A BP A B 例例 一袋中有 8 个球 5 黑 3 白 现从中不放回地取两次球 每次取一个球 1 在第一次取到黑球的条件下 第二次取到黑球的概率 答案 1 2 2 现已知第二次取到黑球 求第一次取到白球的概率 答案 3 7 第四第四节节 事件的独事件的独立性立性 事件相互独立事件相互独立的概念 的概念 若 P ABP A P B 则事件 A B相互独立 注意 注意 区分事件独立和事件互斥 第四章习题 第四章习题 1 复习题四复习题四选择题选择题 第五章第五章 随机变量随机变量的分布与数字特征的分布与数字特征 第一节第一节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 什么是随机变量什么是随机变量 本质上是定义在样本空间上的一个函数 或是量化的随机试验的结果 也 就是如果试验结果不是实数 我们把他们对应到实数 如果试验结果本身就是实数 那这个 结果就是随机变量 什么是贝努利试验 什么是贝努利试验 n 重重贝努利试验结果发生的次数服从什么分布 贝努利试验结果发生的次数服从什么分布 掌握二项分布和几何分布掌握二项分布和几何分布 关键是学会关键是学会判断随机变量服从什么分布判断随机变量服从什么分布 了解泊松分布 第二第二节节 连续连续型随机变量及其型随机变量及其概率密度概率密度 分布函数定义 分布函数定义 F xP Xx 为随机变量X的分布函数 性质 性质 P aXbF bF a 1 1 P XaP XaF a 什么是概率密度函数什么是概率密度函数 f x 概率密度函数满足性质 概率密度函数满足性质 0 x 1x dx 分布函数 密度函数 概率三者关系 分布函数 密度函数 概率三者关系 1 b a F bF aP aXbf x dx 2 F xf x x F xf x dx 掌握均匀分布的密度函数 了解正态分布的密度函数掌握均匀分布的密度函数 了解正态分布的密度函数 非标准正态分布和标准正态分布的关系非标准正态分布和标准正态分布的关系 例例 P123 例 例 2 设随机变量 X 的概率密度 3 0 0 0 x Kex f x x 1 确定常数 K 2 求 0 1 P X 3 求 F x 第第三节三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 设离散型随机变量X的概率分布为 1 2 ii P Xxpi 则 1 ii i E Xx p 设连续型随机变量