数学史上的著名猜想之(一).doc

数学文化 中学数学文摘 2006年第3期数学史上的著名猜想之（一） 被否定的数学猜想过伯祥 数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.1被否定的数学猜想（1）试证第五公设的漫长历程 几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的. 几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作几何原本.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑.其二，也正是由于几何原本的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题-欧几里得第五公设问题. 在几何原本的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设： “若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在几何原本中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设. 于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程. 这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作. 然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决. 第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）. 直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！ “在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜想本身有没有毛病.” （2）引出一个大胆猜想第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什鲍耶、罗巴契夫斯基意识到:“欧几里得第五公设是不能从几何原本的其余公设、公理中导出.”也即与其它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想与第五公设相矛盾的公理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.形成欧几里得第五公设问题猜想可以用其他公理公设证明它两千年的试证，以失败而告终提出新的猜想，欧氏几何不是唯一的几何引来了几何思想的大解放，几何学的大发展可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个非欧几何的创造，就是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。我们可以把这段历史发展画成如下的简明框图：(3）费尔马猜想我们知道：，都是素数.一天，法国数学家费尔马似乎有所悟,他继续试验，经检验，它们也都是素数.那么“形如（为非负整数）的数（是不是）都是素数.”这是费尔马在1640年提出的一个猜想. 时间过去了100年，到了1732年，国数学家欧拉指出： , 一个反例就否定了一个猜想，于是，就宣告了费尔马的这个猜想不成立. 以后，人们又陆续找到了不少反例，如也是合数. 如今，人们把形如的数叫费尔马数.一些年来，人们共研究了46个的费尔马数，竟连一个素数都没再找到.于是有人作出了相反的猜想：只有有限个费尔马数是素数.这个猜想是否正确还有待于证明. （4）关于型数对的猜想 数学家迪布凡耳（De Bouvelles）在1509年曾注意到，在形如与的数对5、7，11、13，17、19，23、25，29、31，35、37，41、43，中，当取前几个自然数时，都至少有一个数是素数.由此他提出猜想: “对于任何自然数，和这两个数中都至少有一个是素数.” 时隔不久，有人就举出了反例：最小一个使结论不成立的自然数是20.而且，一般地，取，都能使和分别地含有因数7和11，因为,. （5）的因式特征的猜想 数学家契巴塔廖夫曾由下面的因式分解： ， ， ， 提出猜想：“把分解为不可再分解的具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过1。” 要否定这个猜想可不太容易，它需要有极大的耐心最小一个与猜想不合的是105，是被数学家依万诺夫找到的.在的分解式的一个因式中，和的系数都是，它们的绝对值超过了1. （未完待续） （柯正摘自猜想与合情推理，大象出版社，1999年）数学史上的著名猜想之（二） 被证明了的数学猜想过伯祥（1）没能找到“费尔马的绝妙证明” 我国早在商周时代（约公元前1100年）就已经知道了不定方程：至少有一组正整数解：.古希腊数学家丢番图已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整数. 费尔马是一位博览群书见多识广的学者，他将其一生中的全部精力都花费在钻研数学和物理问题上了.1621年费尔马买到了丢番图著的算术一书，对于书中的数论问题产生了浓厚的兴趣.闲余之时，对希腊数学家的一些问题进行研究和推广.当他读到第II卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数的和”时，他想到了更一般的问题。研讨之后，费尔马在页边空白处写下了如下的一段话： “将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般将一个次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的.关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下.”这段叙述用现代数学语言来说，就是：“当整数时，方程没有正整数解.”这就是费尔马猜想，中国人通称为费尔马大定理.费尔马死后，他儿子整理了他的全部遗稿和书信，始终也没有找到那个“绝妙的证明”.于是，这个猜想的正确与否，就成了一桩数学疑案.由于找不到费尔马的“证明”，也由于著名数学家欲给出它的证明的企图一次次受挫，才激发起了历代数学家对费尔马猜想的极大兴趣.300多年来，不知有多少人为它绞尽了脑汁，也曾经有过多次悬赏征解，奖给能够证明它的人：法国科学院曾经两次悬赏；布鲁塞尔科学院也曾以重金悬赏；1908年德国数学家佛尔夫斯克尔遗言，悬赏10万马克巨款，奖给第一个证明费尔马大定理的人，这项奖金的限期为100年.（2）这是一只会生金蛋的母鸡很多著名数学家，如欧拉、狄里赫莱、拉梅、库默尔、法尔廷斯等都做了很多有重要意义的工作.他们的工作不仅使费尔马问题取得了一定的进展，而且他们所创造的方法也推动了数学的发展.然而所有这些工作只是对于某些个别的或满足某些条件的证明了费尔马大定理.1995年5月，当代最权威的数学杂志普林斯顿数学年刊，一整期发表了震惊世界数学界的两篇论文，宣告：困扰数学界长达350多年，“比哥德巴赫猜想更有名气”的数学难题，费尔马大定理.终于被英国数学家安德鲁维尔斯（Andrew Wiles）所证明.舆论认为，这确是近代数学发展中的一个巨大里程碑.希尔伯特曾认为，猜想、问题的价值，“最终的判断取决于科学从该问题获得的收益”.当年的希尔伯特就曾断言，解决费尔马大定理的过程中将能给数学发展创造许多新途径.费尔马猜想是“一只经常为我们生出金蛋的母鸡”.在人类解决费尔马大定理的漫长历程中，先后作出重大贡献的数学家法尔廷斯、谷山、费雷、维尔斯等人的伟大实践证明了这一点，他们都用了当代许多名家的思想、结果和技巧.特别是维尔斯的工作，无疑是一项意义深远的贡献，它将会给纯数学中的许多重要问题的解决带来曙光.始终没能找到费尔马的“绝妙证明”试证又一次次受挫，命题就成为著名的费尔马大定理三次悬赏征解.这是一只会生金蛋的母鸡1995年终于被英国数学家维尔斯彻底攻克，1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫奖这段历史发展也可画成如下的简明框图： （3）素数个数的猜想 一眼可以看出，开头一些素数2,3,5,7,11,13,17,19,组成的序列，不符合任何一种简单规律。序列的构造是非常复杂的. 还在欧几里得出生以前，人们已开始思考素数序列最后是否有终结的问题.有数学家提出了“素数个数是无限的” 猜想. 好的猜想犹如一个合适的引路人，人们在解决素数个数的猜想及其推广的过程中，发现与创造了一些巧妙的新方法，为当时数学的发展带来了大推动. 欧几里得在几何原本中为解决这个猜想设计了一个绝妙的证明.它不是去求任一已知素数后面紧跟的那个素数（那将是万分困难的），而是用某一个大得多的素数去代替后面的下一个素数： 令为任一素数，作出由2到的全部素数的乘积再加1，写成 显然，素数2,3,5,中没有一个可以整除.这样，或者本身是素数（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,不同，并且大于. 不论是何种情形，一个大于的素数已经找到.因此，不管有多么大，总有更大的素数存在. 接着，人们想到：除了素数2，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；除了素数3，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；于是，又纷纷有人提出猜想： 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的.等，一般地有 任何一个自然数的等差数列，只要其首项和公差是互素的，就必定包含了无限多个素数. 为解决这些猜想而创造的新方法，其中所包含的的基本思想，有的会具有更一般的意义，有时，数学家就是这样无意中闯进了一个新领域的大门. （4）对的无理性的猜测 1737年，欧拉基本上证明了和是无理数；兰伯特利用欧拉的工作证明：如果是有理数（不是0），那么和都不能是有理数.由此结果，由于，所以和都不能是有理数. 由于圆面积与相关，大大地刺激了对的无理性（是怎样的无理数呢？）的研究.勒让德猜测说可能不是有理系数方程的根（就是说，与是不一样的无理数.显然是有理系数方程的根）. 勒让德的猜测导致了无理数学的分类，使人类对数的认识又跨进了一大步.任何有理数系代数（多项式）方程的任何一个根（不管是实的不是复的）叫做一个代数数.这样，方程 的根叫做代数数，其中是有理数.因此，所有的有理数和一部分无理数是代数数；不是代数数的数叫做超越数，因为欧拉说过：“它们超越了代数方法的能力”.他猜测说，心有理数为底的有理数的对数，必定或者是有理数，或者是超越数. 1873年，埃尔米特给出了数的超越性的证明，1882年林德曼证明了也是超越的. 自古以来，人们在研究问题时，经常会不自觉地引进了新假设，提出某个猜想，从而推动了人们认识的发展.猜想总是紧密地伴随着人们的思考与研究. （未完待续） （柯正摘自猜想与合情推理，大象出版社，1999年）数学史上有哪些著名的猜想？学习园地 2010-04-21 22:28:14 阅读233 评论0 字号：大中小订阅 数学史上有哪些著名的猜想？这里将一一收录。这一条方法实际上算不是一个方法，而是向歪友们展示精英知识的一个尝试。是人类数学史上最精深的问题。希望能给有潜力的歪友以启发。1费马猜想Fermats Conjecture费马猜想Fermats conjecture又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的算术第II卷第8命题旁边写道：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支。 若用不定方程来表示，费马大定理即：当n 2时，不定方程xn + y n = z n 没有xyz0的整数解。剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题。2哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的想法:(a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。至今仍没有能证明，最接近成功是陈景润的证明。3黎曼猜想(Riemann Hypothesis)黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼（1826-1866）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。它对业余数学家的吸引力，比对专业数学家更强烈。黎曼猜想(RH)是关于黎曼函数(s)的零点分布的猜想。黎曼函数在任何复数s 1上有定义。它在负偶数上也有零点（i.e. 当 s = ?2, s = ?4, s = ?6, .）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。黎曼猜想提出：黎曼函数非平凡零点的实数部份是 即所有的非平凡零点都应该位于直线 + ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于函数在临界线上的零点。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826-1866）发现素数出现的频率与黎曼函数紧密相关。1901年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 等价。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰恩瑟李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。4庞加莱猜想（Poincare Conjecture）庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克莱数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里佩雷尔曼最终证明。他也因此在同年被授予菲尔兹奖。在1904年发表的一组论文中，庞加莱提出以下猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。5蜂窝猜想（Beehive Conjecture）四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为蜂窝猜想。 6四色猜想（Four Color Theorem）1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。18781880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。7叙拉古猜想（Syracuse Conjecture）大家一起来做这样一个游戏：每个人可以从任何一个正整数开始，连续进行如下运算，若是奇数，就把这个数乘以3再加1；若是偶数，就把这个数除以2。这样演算下去，直到第一次得到1才算结束，首先得到1的获胜。比如，要是从1开始，就可以得到1421；要是从17开始，则可以得到175226134020105168421。自然地，有人可能会问：是不是每一个正整数按这样的规则演算下去都能得到1呢？这个问题就是叙拉古猜想，也叫科拉兹猜想（Collatz Conjecture）或角谷猜想(Kakutani)。8孪生素生猜想（The Conjecture of Twin Primes） 1849年，波林那克提出孪生素数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。 孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。 孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为: S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+. 如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和: B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+. 如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:B=1.90216054.布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数. 1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。 若用p(x)表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:x p(x) 1000 35 10000 205 100000 1224 1000000 8169 10000000 58980 100000000 440312 1000000000 3424506 10000000000 27412679 100000000000 224376048 p(x)与x之间的关系是什么样的呢?1922年,英国数学家哈代和利托伍德提出一个孪生素数分布的猜想:p(x)2cx/(lnx)2 其中常数c=(1-1/22)(1-1/42)(1-1/62)(1-1/102).即,对于每一个素数p,计算(1-1/(p-1)2),再相乘.经过计算得知 c0.66016称为孪生素数常数.这个猜想如上所述有可能是正确的,但是至今也未获证明. 下表是目前所发现的最大的前二十个孪生素数: 回文素数是非常有意思的素数,最小的是131,还有151,181,191,313,353,373,383,757,787,797等等.下表列出了最近发现的最大的十个回文素数:742950290870000078092059247, 742950290871010178092059247,742950290872020278092059247, 742950290873030378092059247,742950290874040478092059247, 742950290875050578092059247,742950290876060678092059247, 742950290877070778092059247,742950290878080878092059247, 742950290879090978092059247. “孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题，它也是现代素数理论中的中心问题之一，谁能解决它（不论是证明或否定），必将成为名扬千古的历史人物。七桥问题百科名片1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了哥尼斯堡的七座桥的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新进程。问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。目录故事背景 最终成果编辑本段故事背景 七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。 有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2. 当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示 著名数学家欧拉。 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成. 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。 接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！ 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有7！=5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院