高中数学联赛模拟试题(1).doc

高中数学联赛模拟试题(1)一试一、选择题（本大题36分，每小题6分）1在复平面上，非零复数，在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，arg6，则（）2（32）i2（32）32（2）32（2）2已知函数（）（12）在1，2上恒正，则实数的取值范围是（）（12，58） （32，）（12，（58）（32，）（12，）3已知双曲线过点（2，4）、（4，4），它的一个焦点为（1，0），则另一个焦点的轨迹方程是（）（1）25（4）161（0）或1（0）（1）16（4）251（0）或1（0）（4）25（1）161（0）或1（0）（4）16（1）251（0）或1（0）4已知正实数、满足1，则的整数部分是（）1 2 3 45一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（）9米 10米 12米 15米6一条铁路原有个车站，为适应客运需要新增加个车站（1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（）12 13 14 15二、填空题（本大题54分，每小题9分）1长方形的长是宽的2倍，把它折成无底的正三棱柱，使与重合，折痕线、H分别交原对角线于、，则折后截面与底面H所成的角是_2在中，、是角、的对边，且满足2，则角的最大值是_3从盛满升（1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去则第次操作后溶液的浓度是_4已知函数（）与（）的定义域均为非负实数集，对任意的0，规定（）（）（），（）若（）3，（），则（）（）的最大值为_5从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_种不同的取法6若实数0，则满足532的值属于区间：（0，）；（，）；（，）；（0，）其中正确的是_三、（本大题20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体一个侧面的面积四、（本大题20分）直线0（0）与椭圆相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP，求证：（）（）五、（本大题20分）某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为（万元）且满足19197，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部?各部分别安排多少名售货员?表1各部每1万元营业额所需人数表 部门人数百货部5服装部4家电部2表2各部每1万元营业额所得利润表部门利润百货部03万元服装部05万元家电部02万元加试一、（本大题50分）矩形的边，以为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于、的一点P，连P，交于、，若，试求正实数的值二、（本大题50分）若（1，2，），且2，求证：三、（本大题50分）无穷数列可由如下法则定义：1112，而01（1）证明：仅当是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列（2）存在多少个不同的值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个2，3，）？参考答案一试一、选择题1选如图1所示，设复数对应的点为，则图12（6）1，（2）（12）再设（，），由1，得（1）1（2（12）（）的实部为零，0联立与，解出0，（舍去）2，032故2（32）2选设（）12首先由120，得（12）（12）1当12时，（12）1）12，从而12在12的前提下，易知函数（）（12）的对称轴（12）在区间1，2的左边，从而（）在1，2上是递增函数当1时，（）在1，2上是增函数，有（1）（112）0，32当（121时，（）在1，2上是减函数，有（2）（4212）0，1258综上，1258或323选易知5，而，即55当552，即时，点的轨迹是线段N的中垂线，其方程为1（0）当5（5），即10时，点的轨迹是以、为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（1）25（4）161（0）4选一方面2，另一方面112（）3，即有235选如图2，人行横道的面积S1540600，图250600，解得126选新增的个车站之间需要种车票，新增的个车站与原来的个车站之间需要2种车票，从而258，即（12）58、是非负数（1），且58只能分解为158，和229，2，或29，解出2，122912214二、填空题1填6折叠后，仍有（或H，折叠后点和点重合），且它们的长度没有改变，仍等于折叠前的长度，但对角线由直线段变成了折线段，N三点由原来共线（如图3（1）变成现在，N三点构成三角形（如图3（2）图3设，则2图3（1）为折前长方形，有，3，23，3，23设平面N与平面H的夹角为（如图3（2），由1223236023在中，43取N的中点P，在中，2432232，62填3因为2，所以（）2（）2）2（）4，所以40即（）（4）（）10（因为0）因为是正实数，所以（4）40，14，400故12，所以3因此角的最大值是33填（1（1）开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是1（1）设操作次后溶液的浓度为，则操作1次后溶液的浓度为1（1（1）是首项和公比均为1（1）的等比数列，1（1（1），4填210，令3，解得042（）（），042，3，423在R上单调递减，故当42时，（）（）（42）（42）3（42）21当0x42时，单调递增，故当x0，42时，f（x）g（x）21综上知，f（x）g（x）的最大值为215填2500以1为被加数，则1100101100，有1种取法以2为被加数，则2100102100，299101100，有2种取法依次可得，被加数为（，50）时，有种取法但51为被加数时，则扣除前面已取过的，只能取52，53，100，有49种取法，同理52为被加数时，有48种取法，依次可得当被加数（，51100）时，有100种取法所以不同的取法有（12350）（49481）25006填1（1）（1）（1）（）2（1），（0）0，且1，14，3，即又2，2（1）（1）2，2，即，综合知应填三、显然，所作截面是一个中心对称的凸多边形，它是一个四边形或一个六边形如果截面是一个四边形，那么它一定没有截到立方体的某一组对面，故截面的面积不小于正方体一个侧面的面积图4如果截面是一个六边形，那么它一定截到立方体的六个面将立方体展开在一个平面上（如图4）设截面的周长为，正方体的棱长为，则3由于正方体的中心是其内切球的球心，所以截面内含有半径为2的圆从而有截面（12）（2）（34）四、将0，变形为1（）代入椭圆方程，得（），整理得（）2（）0，（1）当0时，显然成立；（2）当0时，同除以2得（）（）2（）（）0，则方程的两根为、OQ的斜率因为，所以1（）（），即（）（）五、设商场分配给百货、服装、家电营业额分别为，（万元）（，是正整数），则60，542190，030502，19197由，得35（32），25（2），0305（35（32）02（25（2）225035代入得810，必为正整数，8，或10，540，或550，23，20，492，480，2930258260加试一、解法1（三角法）：如图5，过P作，垂足为不失一般性，设2，则2再设P，则图522，22（2）（2）2，2（2），又（2）（2），（2）（22）（22），88（）4（）4即（）22（）10，、代入得（42）（2）（4）（2）10（12）0，0，120，即2解法2（代数法）：如图5，不失一般性，设2，则2，并令，因为，于是有，即2所以，（）2同理，（）2，得（）（）2，即（2）（）（2（2）（）由、得（）2（2（2）（12）（2）（），（）2（2）（）2（），同理2（）又2，综合，得42（2）（）4（），化简得2（2），又，（2）（2）4，即44（）0，44（）（）2将代入得44（）（）2（2）即（2）2（2）xy2，21解得2二、由柯西不等式，得故原不等式得证三、易知题中的递推关系式即为2，若0（12），22，若（12）1（1）若为有理数，即，其中（，）1时，对一切，均有（，其中0，1，故有，使得12从而12于是，由式可知自第项之后呈周期变化假设数列自第项开始成为周期为T的，我们记12，即用二进制表示c1，其中0或1，并记1，由此并结合归纳