2012-2103最全最精家教补课资料《二面角的求法》最后打印稿.doc

二面角的求法求二面角的常用方法有：三垂线定理作出平面角、距离法、定义法、公式法、垂面法、及法向量法（其中包含不假设空间坐标及建立空间坐标系再通过坐标运算这一“绝招”法-逼上绝路一招）一 、三垂线定理或逆定理法（最常用的方法），作二面角平面角的流程是：第一步：先定背景面（两个半平面之一），找背景面的垂面（垂面必须容易找出，这是选对背景面的关键），在垂面中作两垂直平面交线的垂线，这就作出了背景面的垂线。第二步：过垂足或另一半平面一点作二面角公共棱的垂线第三步：连接垂足和另一点，即得二面角的平面角整个流程简称为“先定背景面，作背景面的垂线，一作、一连”对于解答题必须要按“一作_二证_三求”进行，找出这个二面角的平面角之后，然后证明找出来的这个角是二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。二、距离法（也叫“等积”法） 当选择任意一个半平面为背景面，它的垂线都不好做出，我们就避开找垂线这一方法，只有求出等面积和等体积分别求出一个半平面一点到公共棱的距离和到另一平面的距离，就求出可以二面角的正弦值，从而求出二面角这个方法也叫“等积”法三、定义法：多用在求正棱锥两侧面所成二面角问题，或者两半平面的两个三角形全等， 此时直接在一个半平面的三角形作交线的垂线，再连接另一半平面三角形的顶点就得出了二面角，再解三角形即可四、公式法：设二面角的度数为，则多用于求无棱二面角，但在解答题需要作出交线，并给出简单证明过程五、垂面法：当出现一个面和二面角的公共棱垂直是，与二面角两半平面的交线所成角就是二面角的平面角六、法向量法：先找两个平面的垂线，如果可以容易找出，这就是最高级的法向量法，否则进入了坐标运算那就运算就太繁琐，并且很容易做错，尽管思路特简单，但一般不议使用，到迫不得已才用，所以这叫做绝招了被逼上绝路一招！最后这两个平面所成的二面角的平面角为或。典例分析例1、过正方形ABCD的顶点A作PA面ABCD，设PA=AB=，求二面角的大小。例2、在正三棱锥SABC中，侧棱长为8，底面边长为4，求A-SB-C的大小例3如图四边形ABCDABEF,且ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=AD=，G是EF的中点，（1）求证：面AGC面BGC； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小例4. 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5，（）证明：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；例5:设P是二面角l内一点，P到面、的距离PA、PB 分别为8和5，且AB7，求这个二面角的大小。例6.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小例7如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=，M为棱A1A上的点，若A1C平面MB1D1。 （）确定点M的位置； （）求二面角D1MB1B的大小。CDEAB例8.四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：（）设与平面所成的角为，求二面角的 大小的余弦值答案：例9: 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，N是PB中点，截面DAN交PC于M.（）求PB与平面ABCD所成角的大小；（）求证：PB平面ADMN；（）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.例10. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值.答案：正弦值是.无棱二面角的处理方法（1）找棱例11过正方形ABCD的顶点A作PA面ABCD，设PA=AB=， 求平面PAB与