浙江省嘉兴市2019届高考数学评估试题（一）（含解析）.docx

浙江省嘉兴市2019届高考数学评估试题（一）（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可【详解】复数，复数对应点为（），在第二象限故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，是基础题2.已知平面平面，直线满足，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论【详解】平面平面，则“”“或m或m与相交”，反之，平面平面，令平面平面=，l上任取一点A，在内过A作ABl，则AB平面，又m，可得，；则“”是“m”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题3.若，满足约束条件，则的最小值与最大值分别是（ ）A. ，8B. 2，8C. ，2D. ，6【答案】D【解析】【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，将最大值转化为y轴上的截距最小，从而得到z的最值即可【详解】满足约束条件的可行域如下图所示的三角形：得到B（2，2），得到A（2，2）平移直线x2y0，经过点B（2，2）时，x2y最小，最小值为：2，则目标函数zx2y的最小值为2经过点A（2，2）时，x2y最大，最大值为：6，则目标函数zx3y的最大值为6故选：D【点睛】本题考查了线性规划中的最优解问题，通常是利用平移直线法确定，关键是画出可行域，属于基础题4.已知数列是等差数列，是其前项的和，则下列四个命题中真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质及特殊数列一一判断各选项即可【详解】令等差数列的，对A选项，而故A错误；对B选项，故B错误；又对D选项，令等差数列的，故D错误；对C选项，故C正确.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性、特殊点的函数值的正负及点（，0）处的切线排除选项即可【详解】由奇函数的定义易得函数是奇函数，排除选项B，又当x（0，）时，函数y0，当x（，2）时，函数y0，排除选项D，又，当x=时，函数在点（，0）处的切线为x轴，排除选项A，故选：C【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性、单调性、特殊点的位置及导数的几何意义是判断函数的图象的常用方法6.已知函数，则函数的零点个数是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点问题，函数f（x）的图象是一段一段的线段，作出函数f（x）及的图象，观察图象即可.【详解】函数的零点转化为与的交点，给k赋值，作出函数及的图象,从图像上看，共有9个交点，函数的零点共有9个，故选：C.【点睛】本题主要考查图象法求函数的零点，考查了数形结合思想与转化思想，属于中档题7.随机变量，的分布列分别是（ ） 02 12 当时，有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】利用E（）的公式及D（）E（2）E2（）求得期望方差，再比较大小即可【详解】根据题意E（）2，D（）E（2）E2（），E（）1，D（）E（2）E2（），E（）E（），,E（）E（），D（）D（），D（）D（），故选：A【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，考查了期望方差的公式的应用，属于中档题8.矩形中，将沿对角线进行翻折，使点到达点的位置，记直线与所成的角是，直线与平面所成的角是，二面角的平面角是，则（ ）A. 当最大时，B. 当最大时，C. 当最大时，D. 当最大时，【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A在平面BCD上的射影的情况，由线段的长度关系可得所求角的正弦的大小，则答案可求【详解】如图，四边形ABCD为矩形，BAAD，当A点在底面上的射影O落在BC上时，则平面ABC底面BCD，又DCBC，可得DC平面ABC，则DCBA，即直线与所成的角，满足最大，又BAAD，BA平面ADC，BAAC，设BA1，则，AC=1，此时直线与平面所成的角，二面角的平面角，故A、B选项错误；当A点在底面上的射影E落在BD上时，可知AEBD，在RtBAD中，AE 是BD边上的高，且AE，BEE为BD上靠近B的三等分点；此时A点到底面的距离最大为AE，最大，即最大，过E作EMCD，连接AM，则AME为二面角ABDC的平面角，=，又1，,即，故选：D【点睛】本题考查了空间异面直线所成角、线面角及二面角的平面角的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题9.设函数，若方程只有一个实数根，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】设，则必有实数根，结合二次函数的根的分布分析只有一个实数根和有两个不同实数根的情况，得到，的值.【详解】设，则必有实数根，（1）若只有一个实数根时，当且仅当，否则有两个实数根或者无实数根，此时的解也为0，所以，即，；（2）若有两个不同实数根时，即图象与x轴有两个不同交点，此时，均小于0，令，则，否则至少有两个实数根，所以有，即，综合（1）（2），故选：A.【点睛】本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法将复合函数问题转化为简单二次函数问题是解决本题的关键，考查了分析问题的能力，属于综合题10.已知，是同一平面内三个向量，设是单位向量，若，则的最小值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算得到，再整体换元求最值即可【详解】设，则， （其中是向量，的夹角，是向量，的夹角），设，则，此时，即与反向.故选：B【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，考查了向量夹角定义和二次函数求最值的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.双曲线的焦距是_，渐近线方程是_.【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】由双曲线方程求得a，b，c的值，则其焦距与渐近线方程可求【详解】由题知，4，12，故16，双曲线的焦距为：，渐近线方程为：故答案为：；【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题12.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是_；体积是_.【答案】 (1). (2). 4【解析】【分析】根据几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，由三视图求出几何体中的各个边的长度，利用柱体的表面积公式及体积公式求得结果即可【详解】根据几何体的三视图得：该几何体是如图所示的直三棱柱，其底面三角形ABC是正视图中的三角形，底边为2cm，高为2cm，由俯视图知直三棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V4（cm3），则该几何体的表面积S表面积222（cm2），故答案为：，4【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力13.二项式的展开式中所有项的系数和是_，其中含项的系数是_.【答案】 (1). -1 (2). 144【解析】【分析】令x1，得到1，再利用通项求得含x6的项的系数【详解】令x1，得到1，即所有项的系数和是1.又展开式的通项为Tr+1，令6，解得r2，x6的系数为22144故答案为：1 144【点睛】本题考查了二项式定理的运用，利用赋值法求解所有项的系数和，利用展开式的通项求特征项是常用方法14.在中，内角的平分线的长为7，则_，的长是_.【答案】 (1). (2). 15【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求cosA，利用内角关系及二倍角的余弦函数公式可求cosCAD的值，利用同角三角函数基本关系式进而可求sinDAB，cosB的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinADB的值，在ADB中，由正弦定理即可求得AB的值【详解】C90，内角A的平分线AD的长为7，则sinBsin（A），cosA，可得：2cos21，解得：cos，cosCAD，cosDAB，sinDAB，又cosB，sinADBsin（B+DAB）sinBcosDAB+cosBsinDAB，在ADB中，由正弦定理，可得：，解得：AB15故答案为：，15【点睛】本题主要考查了诱导公式，角平分线的定义及二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15.正数，满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】构造空间向量，利用得到结论.【详解】令z=，则，又，记，则，又，即.【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算，考查了的应用，考查了分析问题、转化问题的能力，属于发散思维的综合性问题.16.一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有_种.（用数字作答）【答案】288【解析】分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球；当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法；综上共有72+36+36+144=288种排法.【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类17.已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于，两点，且满足，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的定义得到的长度，再由余弦定理建立关于a，c的方程，解得e即可.【详解】设，则，则与中，分别由余弦定理得，化简得，所以故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法及椭圆的定义的应用，关键是利用余弦定理找出几何量的关系，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知函数，.（I）若，求的值；（II）当时，求在区间上的值域.【答案】（）或；（）【解析】【分析】（1）由的范围确定的范围，结合特殊角的正弦值求解即可.（2）利用两角和的正弦公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再利用x的范围确定2x的范围，进而利用三角函数的性质求得函数的值域详解】（），由知，或.（），因为，所以，即，故，所求值域为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质及特殊角的三角函数值，属于基础题19.已知三棱锥中，底面是等边三角形，顶点在底面的射影恰好落在边的中线上，.（I）证明：面面：（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（I）要证面面，只要证经过平面的一条垂线即可，又题意可证面，则问题得证；（）过点作，连接，再过点作，连接，通过线面垂直的判定定理可得面，得到就直线与平面所成的角，求得各几何量，在RT中，求解即可.【详解】（I）是等边三角形，且是边的中点，又底面，得面，又面，所以面面.（）过点作，连接，再过点作，连接，底面，得面，即，所以面，即是直线在平面上的射影，就直线与平面所成的角，中，所以，直线与平面所成角的正弦值是.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了线面角的定义及作法，考查了运算能力，是中档题20.已知数列的前项和为，且，数列满足，.（I）求数列的通项公式；（）记数列的前项和为，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（I）利用即可得出an. （）由（）可得得出数列的通项公式并裂项，再利用“裂项相消法”即可得出Tn，证得结论【详解】（I）由，当时，两式相减得，所以数列是公比为2的等比数列，而，得，的通项公式为.（）由，得，即，所以.【点睛】本题考查了数列前n项和与数列通项公式间的关系：、考查了裂项的技巧及“裂项相消法”求和的方法，属于中档题.21.设抛物线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别是.（I）求直线的方程（用表示）；（）若直线与相交于，两点，点关于原点的对称点为，求面积的最小值.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）先求得A处的切线方程，可同理得到B处的切线方程，代入点坐标，找到点，都满足的直线方程即可,（）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得弦长的表达式，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式得到，结合换元法及导数求得最值.【详解】（）设点，则，则A处的切线方程为,即同理B处的切线方程为，再将点代入上述两个方程，得，所以直线的方程为.（）联立，得，设点，则，所以，点到直线的距离为，所以的面积为，设，则，得，是的唯一极小值点，当即时，面积的最小值为，此时点的坐标是.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线相切问题的解决模式，考查了根与系数的关系、弦长公式及利用导数求函数的最值问题，属于综合题22.已知函数.（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；（）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（I）问题转化为或恒成立，令g（x），通过求导求