高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 文 北师大版.ppt

3 1导数的概念及运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 导数与导函数的概念 知识梳理 1 当x1趋于x0 即 x趋于0时 如果 那么这个值就是函数y f x 在x0点的瞬时变化率 在数学中 称瞬时变化率为函数y f x 在x0点的导数 通常用符号f x0 表示 记作f x0 平均变化率趋于一个固定的值 2 如果一个函数f x 在区间 a b 上的每一点x处都有导数 导数值记为f x f x 则f x 是关于x的函数 称f x 为f x 的导函数 通常也简称为导数 函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 处的 相应地 切线方程为 2 导数的几何意义 3 基本初等函数的导数公式 x0 f x0 切线的斜率 y f x0 f x0 x x0 0 x 1 cosx sinx ex axlna 若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x 4 导数的运算法则 f x g x f x g x f x g x 1 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数 3 af x bg x af x bg x 4 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 f x0 与 f x0 表示的意义相同 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 1 2017 西安一中联考 设f x xlnx 若f x0 2 则x0等于a e2b ec d ln2 考点自测 答案 解析 f x lnx 1 f x0 lnx0 1 2 lnx0 1 x0 e 2 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图像 那么y f x y g x 的图像可能是 答案 解析 由y f x 的图像知y f x 在 0 上单调递减 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故可排除a c 又由图像知y f x 与y g x 的图像在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图像在x x0处的切线的斜率相同 故可排除b 故选d 3 2016 襄阳模拟 函数f x excosx的图像在点 0 f 0 处的切线的倾斜角为 答案 解析 由f x excosx 得f x excosx exsinx 所以f 0 e0cos0 e0sin0 1 即倾斜角 满足tan 1 根据 0 得 4 设函数f x 在 0 内可导 且f ex x ex 则f 1 答案 解析 2 f ex x ex 令t ex 则x lnt t 0 f t lnt t t 0 得f x lnx x x 0 则f x 1 x 0 故f 1 2 5 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程是 答案 解析 5x y 2 0 因为y x 0 5e0 5 所以曲线在点 0 2 处的切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 题型分类深度剖析 题型一导数的计算 例1求下列函数的导数 1 y x2sinx 解答 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 解答 解答 思维升华 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 跟踪训练1 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0等于a e2b 1c ln2d e 答案 解析 f x 2016 lnx x 2017 lnx 故由f x0 2017 得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于a 1b 2c 2d 0 答案 解析 f x 4ax3 2bx f x 为奇函数且f 1 2 f 1 2 题型二导数的几何意义命题点1求切线方程 例2 1 2016 全国丙卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案 解析 2x y 1 0 设x 0 则 x 0 f x lnx 3x 又f x 为偶函数 f x lnx 3x f x 3 f 1 2 切线方程为y 2x 1 即2x y 1 0 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 答案 解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 解得x0 1 y0 0 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 故选b 命题点2求参数的值例3 1 2016 泉州模拟 函数y ex的切线方程为y mx 则m 答案 解析 e 设切点坐标为p x0 y0 由y ex 得 从而切线方程为 又切线过定点 0 0 从而 解得x0 1 则m e 几何画板展示 2 已知f x lnx g x x2 mx m 0 直线l与函数f x g x 的图像都相切 与f x 图像的切点为 1 f 1 则m等于a 1b 3c 4d 2 答案 解析 f x 直线l的斜率k f 1 1 又f 1 0 切线l的方程为y x 1 g x x m 设直线l与g x 的图像的切点为 x0 y0 于是解得m 2 故选d 几何画板展示 命题点3导数与函数图像的关系例4如图 点a 2 1 b 3 0 e x 0 x 0 过点e作ob的垂线l 记 aob在直线l左侧部分的面积为s 则函数s f x 的图像为下图中的 答案 解析 函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度改变量 x内面积改变量 s大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数s f x 的图像是上升的且图像是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度改变量 x内面积改变量 s大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数s f x 的图像是上升的且图像是上凸的 当x 3 时 在单位长度改变量 x内面积改变量 s为0 即斜率f x 在 3 内为常数0 此时 函数图像为平行于x轴的射线 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 3 若求过点p x0 y0 的切线方程 可设切点为 x1 y1 由求解即可 4 函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢 答案 解析 设切点的横坐标为x0 解得x0 3或x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为3 答案 解析 典例若存在过点o 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 求曲线的切线方程 现场纠错系列3 错解展示 现场纠错 纠错心得 求曲线过一点的切线方程 要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况 几何画板展示 解易知点o 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当o 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得y x 0 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 2 当o 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点p x0 y0 课时作业 1 若f x 2xf 1 x2 则f 0 等于a 2b 0c 2d 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f x 2f 1 2x 令x 1 则f 1 2f 1 2 得f 1 2 所以f 0 2f 1 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 长沙模拟 若曲线f x x4 x在点p处的切线平行于直线3x y 0 则点p的坐标为a 1 2 b 1 3 c 1 0 d 1 5 答案 解析 设点p的坐标为 x0 y0 因为f x 4x3 1 所以f x0 1 3 即x0 1 把x0 1代入函数f x x4 x 得y0 0 所以点p的坐标为 1 0 3 若直线y x是曲线y x3 3x2 px的切线 则实数p的值为 答案 解析 y 3x2 6x p 设切点为p x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 答案 解析 设切点为 x0 lnx0 则 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 解得x0 e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 郑州质检 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 等于a 1b 0c 2d 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知函数f x 满足f x f 1 ex 1 f 0 x x2 那么f x 的解析式为 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 从而f x ex x x2 答案 解析 8 2016 邯郸模拟 曲线y log2x在点 1 0 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 答案 解析 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 哈122中学期末 已知点p在曲线y 上 为曲线在点p处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 1 tan 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求曲线在点p 2 4 处的切线方程 解答 在点p 2 4 处的切线的斜率为y x 2 4 曲线在点p 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 解答 则切线的斜率为 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知函数f x x g x a 2 lnx a 0 若曲线y f x 与曲线y g x 在x 1处的切线斜率相同 求a的值 并判断两条切线是否为同一条直线 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据题意有曲线y f x 在x 1处的切线斜率为f 1 3 曲线y g x 在x 1处的切线斜率为g 1 a 所以f 1 g 1 即a 3 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y f 1 3 x 1 又f 1 1 得y 1 3 x 1 即切线方程为3x y 4 0 曲线y g x 在x 1处的切线方程为y g 1 3 x 1 又g 1 6 得y 6 3 x 1 即切线方程为3x y 9 0 所以两条切线不是同一条直线 13 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x