向量和矩阵的范数.doc

一、向量的范数 定义1 设x=(x1 ,x2 ,xn )n ,y=(y1 ,y2 ,yn )n Rn (或Cn )。将实数(或复数), 称为向量x,y的数量积。将非负实数或称为向量x的欧氏范数。对向量x,y的数量积有： 1. (x,y)=(x,y).为实数(或(x,y)=(x,y),为复数); 2. (x,y)=(y,x)(x,y)=(,); 3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y); 4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。对向量x的欧氏范数有： 1. x2 0, x2 =0当且仅当x=0时成立; 2. x2 =|x2 ，任意的R(或C), 3. x+y2 x2 +y2 (三角不等式)， (5.2)注 (5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2 0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。定义2(向量的范数) 如果向量xRn (或Cn )的某个实值函数N(x)=x, 满足条件： (1) x0(x=0当且仅当x=0)(正定条件)， (2) x=|x，任意的R(或C), (3) x+yx+y(三角不等式)，则称N(x)是Rn (或Cn )上的一个向量范数(或模)。下面我们给出几种常用的向量范数。 1. 向量的-范数(最大范数)：(5.3) 2. 向量的1-范数： 3. 向量的2-范数： (5.4) 4. 向量的p-范数： (5.5) 例6 计算向量x=(1,-2,3)T 的各种范数。解： 定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=x为Rn 上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2 ,xn 的连续函数。证明 设其中ei =(0,1,0,0)T, .只须证明当xy时N(x)N(y)即成。事实上即 |N(x)-N(y)|cx-y 0 (当xy时),其中 定理7 (向量范数的等价性)设xs ,xt , 为Rn 上向量的任意两种范数，则存在常数c1 ,c2 0，使得对一切xRn 有 c1 xs xt c 2xs (5.6) 证明略二、矩阵的范数 类似向量的范数的定义，我们将向量范数概念推广到矩阵，给出矩阵范数的定义。 定义4(矩阵的范数) 如果矩阵ARnn 的某个非负的实值函数N(A)=A,满足条件 (1) A0(A=0 A=0) (正定条件) (2) cA=|c|A, c为实数(齐次条件) (3) A+BA+B) (三角不等式) (4)ABAB 则称N(A)是Rnn 上的一个矩阵范数(或模)。定义实值函数如下 (5.7)显然F(A)满足定义4，所以F(A)是Rnn 上的一个矩阵范数，称其为A的Frobenius范数。由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论,所以希望引进一种与向量范数相关矩阵的范数，且满足范数相容条件,即对任何向量xRn 及ARnn 都有 AxAx (5.8)为此我们再引进一种矩阵的范数。 定义5(矩阵的算子范数) 设XRn ,ARnn , 给出一种向量范数Xv (如v=1,2 或)，相应地定义一个矩阵的非负函数可验证Av 满足定义4(见下面定理)，所以Av 是Rnn 上矩阵的一个范数，称为A的算子范数。 定理8 设xv 是R 上一个向量范数，则Av 是Rnn 上矩阵的范数，且满足相容条件 Axv Av xv (5.10)证明 由(5.9)相容性条件(5.10)是显然的. 现只验证定义4中条件(4),由(5.10),有 ABxv Av Bxv Av Bv xv当x0时，有 ABxv /xv Av Bv ,故 ABv = max (ABxv /xv )Av Bv x0 定理9 设xRn , ARnn , 则 1) (称为A的行范数) 2) (称为A的列范数) 3) (称为A的2-范数)其中max (AT A)表示AT A的最大特征值.证明 只证1)。设i0 使得取 则 例7 设 计算A的各种范数。解 定义6 设ARnn 的特征值为i (i=1,2,n), 称 为A的谱半径。 定理10(特征值上界) 设ARnn , 则(A)A, 即A的谱半径不超过A的任何一个范数。证明：设是A的任一特征值，x为相应的特征向量, 则Ax=x,由(5.7)得 |X=X=AXAX ,注意到x0 , 即得|A 定理11 如果ARnn 为对称矩阵, 则A2 =(A) 证明留作习题(提示只需证明) 定理12 如果 B1,则IB为非奇异矩阵,且 (IB) 1/(1-B), 其中是指矩阵的算子范数.证明 用反证法. 若det(I-B)=0, 则(I-B)X=0有非零解, 即存在X00使BX0 =X0 , B