高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第三节 导数与函数的极值、最值课件 文.ppt

第三节导数与函数的极值 最值 总纲目录 教材研读 1 函数的极值与导数 考点突破 2 函数的最值与导数 考点二利用导数求函数的最值 考点一用导数研究函数的极值问题 考点三函数极值与最值的综合问题 教材研读 2 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 一般地 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 i 求函数y f x 在 a b 内的 极值 ii 将函数y f x 的各极值与 端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 一个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 c 答案c设f x 的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 故选c 2 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 答案d由题意可得f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 则f x f x 随x的变化而变化的情况如下表 d 函数f x 在x 2处取得极小值 则a 2 故选d 3 函数y xex的最小值是 a 1b ec d 不存在 答案c y xex y ex xex 1 x ex 当x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当x 1时函数取得最小值 且ymin 故选c c 4 函数f x ex lnx在 0 1 上的最大值为 答案e 解析因为x 0 1 所以f x ex 0 所以f x 在 0 1 上是增函数 所以f x max f 1 e e 5 函数f x x alnx a 0 的极小值为 a alna 答案a alna 解析 f x x alnx a 0 f x 的定义域为 0 f x 1 a 0 由f x 0 解得x a 当x 0 a 时 f x 0 函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 考点一用导数研究函数的极值问题 考点突破 d 答案d 解析由题图可知 当x3 此时f x 0 当 22时 1 x0 函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 命题方向二求函数的极值典例2已知函数f x lnx ax a r 1 当a 时 求f x 的极值 2 讨论函数f x 在定义域内极值点的个数 解析 1 当a 时 f x lnx x 函数的定义域为 0 且f x 令f x 0 得x 2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 极大值 f 2 ln2 1 无极小值 2 函数的定义域为 0 f x a x 0 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 即函数在 0 上单调递增 此时函数在定义域上无极值点 当a 0 x 时 f x 0 x 时 f x 0时 函数在x 处有一个极大值点 命题方向三已知函数的极值求参数典例3 1 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 则a b 2 若函数f x x2 x 1在区间上有极值点 则实数a的取值范围是 答案 1 7 2 解析 1 由题意得f x 3x2 6ax b 则解得或经检验当a 1 b 3时 函数f x 在x 1处无法取得极值 而a 2 b 9满足题意 故a b 7 2 若函数f x 在区间上无极值 则当x 时 f x x2 ax 1 0恒成立或当x 时 f x x2 ax 1 0恒成立 当x 时 f x x2 ax 1 0恒成立 即a x 恒成立 令y x 当x 时 y x 的值域为 所以a ymin 所以a 2 当x 时 f x x2 ax 1 0恒成立 即a x 恒成立 所以a ymax 所以a 因此要使函数f x 在上有极值点 实数a的取值范围是 方法技巧求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 提醒 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 1 1函数f x x3 bx2 cx d的大致图象如图所示 则 等于 a b c d 答案c函数f x 的图象过原点 所以d 0 又f 1 0且f 2 0 即 1 b c 0且8 4b 2c 0 解得b 1 c 2 所以函数f x x3 x2 2x 所以f x 3x2 2x 2 由题意知x1 x2是函数的极值点 所以x1 x2是f x 0的两个根 所以x1 x2 x1x2 所以 x1 x2 2 2x1x2 c 1 2设函数f x ax3 2x2 x c a 0 1 当a 1 且函数图象过点 0 1 时 求函数的极小值 2 若f x 在 上无极值点 求a的取值范围 解析f x 3ax2 4x 1 1 函数图象过点 0 1 时 有f 0 c 1 当a 1时 f x 3x2 4x 1 令f x 0 解得x1 令f x 0 解得 x 1 所以函数f x 在和 1 上单调递增 在上单调递减 极小值是f 1 13 2 12 1 1 1 2 若f x 在 上无极值点 则f x 在 上是单调函数 即f x 0或f x 0恒成立 当a 0时 f x 4x 1 显然不满足条件 当a 0时 f x 0或f x 0恒成立的充要条件是 4 2 4 3a 1 0 即16 12a 0 解得a 易知a 0时不满足条件 综上 a的取值范围为 典例4 2018山东济南质检 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 考点二利用导数求函数的最值 解析 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 随x的变化而变化的情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 方法技巧求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 2 1已知常数a 0 f x alnx 2x 1 当a 4时 求f x 的极值 2 当f x 的最小值不小于 a时 求实数a的取值范围 解析 1 由已知得f x 的定义域为 0 f x 2 当a 4时 f x 当02时 f x 0 则f x 单调递增 f x 只有极小值 且在x 2时 f x 取得极小值f 2 4 4ln2 当a 4时 f x 只有极小值4 4ln2 2 f x 当a 0 x 0 时 f x 0 即f x 在 0 上单调递增 没有最小值 当a0 得x f x 在上单调递增 由f x 0 得x f x 在上单调递减 当a 0时 f x 的最小值为f aln 2 根据题意得f aln 2 a 即a ln a ln2 0 a 0 ln a ln2 0 解得a 2 实数a的取值范围是 2 0 典例5已知函数f x ax 1 lnx a r 1 讨论函数f x 在定义域内的极值点的个数 2 若函数f x 在x 1处取得极值 x 0 f x bx 2恒成立 求实数b的取值范围 考点三函数极值与最值的综合问题 解析 1 f x 的定义域为 0 f x a 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 函数f x 在 0 上单调递减 f x 在 0 上没有极值点 当a 0时 由f x 0得x f x 在上递减 在上递增 即f x 在x 处有极小值 当a 0时 f x 在 0 上没有极值点 当a 0时 f x 在 0 上有一个极值点 2 函数f x 在x 1处取得极值 a 1 f x bx 2 1 b 令g x 1 则g x 令g x 0 得x e2 则g x 在 0 e2 上递减 在 e2 上递增 g x min g e2 1 即b 1 即实数b的取值范围是 易错警示 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要讨论参数的大小 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值就是最值 要通过比较才能下结论 3 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借助图象观察得到函数的最值 3 1已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 解析 1 f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2处取得极值c 16 故有即化简得解得 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2