推理与证明总结课.docx

推理与证明考纲要求：1合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。3数学归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法知识网络： 一、推理 1. 归纳推理 1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 2）归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察概括、推广猜测一般性结论 3）归纳推理的特点： 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 2. 类比推理 1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。 2）类比推理的思维过程是： 观察、比较联想、类推推测新的结论 3. 演绎推理 1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 2）主要形式是三段论式推理。 3）三段论式推理常用的格式为： MP （M是P） 是大前提，它提供了一个一般性的原理；SM （S是M） 是小前提，它指出了一个特殊对象； SP （S是P） 是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理；演绎推理：由一般到特殊.二、证明 1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“执果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 2. 间接证明：即反证法：是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设推理矛盾原命题成立。（所谓矛盾是指：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词否定原结论词否定至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q p且 q至多有n个至少有n1个p且q p或 q典例精讲：1观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _.2观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（A） (B) (C) (D)3. 下列表述正确的是（ ）. 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. A； B； C； D.4已知是的充分不必要条件，则是的（ ）（） 充分不必要条件 （） 必要不充分条件（） 充要条件 （） 既不充分也不必要条件5. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。7观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .8利用数学归纳法证明“1aa2an1 =， (a1，nN)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）(A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=8时该命题不成立D当n=8时该命题成立10.用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ ）AB CD11.已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A时等式成立B