经济数学基础形成性考核考试终极小抄(精)-电大

1 一、 单项选择题 1设 A 为 3x2 矩阵， B 为 2x3 矩阵，则下列运算中（ AB ）可以进行 . 2 设 AB 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ TTT)( ABAB ） 3 设 BA, 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ 111)( ABAB ） 4设 AB阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ IA 1 D ） 7设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（ AB = AC， A可逆 ，则 B = C 成立 . 9设，则 r(A) =（ 1 ） 10设线性方程组 bAX 的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ） 11线性方程组 0121 21 xx xx解的情况是（无解 ） 12若线性方程组的增广矩阵为 012 21 A，则当 (12）时线性方程组无解 13 线性方程组 AX0 只有零解，则 AX b b ( )0（可能无解） . 14设线性方程组 AX=b 中， 若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则该线性方程组（无解） 二、 填空题 1两个矩阵 BA, 既可相加又可相乘的充分必要条件是A 与 B 是同阶矩阵 2计算矩阵乘积 10211000321= 4 3若矩阵 A = 21 ， B = 132 ，则ATB= 264 132 4设 A 为 m n 矩阵， B 为 s t 矩阵，若 AB 与BA 都 可 进 行 运 算 ， 则 m n s t, , , 有 关 系 式m t n s , 5设13230201aA，当 a 0 时， A 称矩阵 . 6当 a时，矩阵 aA 1 31可逆 . 7设 AB个已知矩阵，且 1-B 则方程 XBXA 的解X ABI 1)( 8设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 r (A)=n 9若矩阵 A =330204212 ，则 r(A) = 2 10若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，则线性方程组 AX = b无解 11若线性方程组 0021 21 xx xx 有非零解，则 -1 12设齐次线性方程组 01 nnm XA ，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n r 13齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵为 000020103211A则此方程组的一般解为 42 431 22 xx xxx. 14线性方程组 AXb 的增广矩阵 A 化成阶梯形矩阵后为110000012401021dA则当 d-1 组 AX=b 解 . 15若线性方程组 AX b b ( )0有唯一解，则 AX0 只有0 解 . 三、计算题 1 设矩阵113421201A，303112B，求 BAI )2( T 解 因为 T2 AI = 1000100012T113421201 =200020002 142120311 =142100311 所以 BAI )2( T =142100311303112 =1103051 2 设矩阵 021 201A，200010212B，242216C计 CBAT 解： CBAT =200010212 022011242216 = 042006242216 =200210 3 设矩阵 A = 1121243613 ，求 1A 解 因为 (A I )= 1001120101240013613100112210100701411 1302710210100701411172010210100141011 210100172010031001 210100172010031001 所以 A-1 = 210172031 4 设矩阵 A = 012411210 ，求逆矩阵 1A 因为 (A I ) = 120001010830210411100010001012411210 123124112200010001123001011200210201 21123124112100010001 所以 A-1=21123124112 5 设矩阵 A = 021 201， B =142136 ，计算 (AB)-1 解 因为 AB = 021 201142136 = 14 12(AB I ) = 1210 01121014 0112 1210 2121011210 1102所以 (AB)-1= 12 2121 2 7 解矩阵方程 2143 32 X 解 因为 1043 0132 1043 1111 2310 1111 2310 3401即 23 3443 32 1所以， X = 2123 34=128 解矩阵方程 02 1153 21X解 ： 因 为 1053 0121 1310 0121 1310 2501即 13 2553 21 1所以， X =153 2102 11 = 13 2502 11= 410 3810 设线性方程组 052231232132131xxxxxxxx ，求其系数矩阵和增广矩阵的并 . 解 因为211011101201051223111201A 300011101201 所以 r(A) = 2， r( A ) = 3. 又因为 r(A) r( A )，所以方程组无解 . 11 求下列线性方程组的一般解：03520230243214321431xxxxxxxxxxx 解 因 为 系 数 矩111011101201351223111201A 000011101201 所以一般解为 432 431 2 xxx xxx（其中3x， 4x 是自由未知量） 12求下列线性方程组的一般解：126142323252321321321xxxxxxxxx 解 因为增广矩阵 1881809490312112614231213252A 00001941019101 所以一般解为 1941913231xxxx （其中 3x 是自由未知量） 13 设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx问 取何值时方程组有非零解，并求一般解 . 13 解 因 为 系 数 矩 阵 A =61011023183352231 500110101所以当 = 5 时，方程组有非零解 . 且 一般解为 32 31 xx xx（其中3x是自由未知量） 14 当 取何值时，线 性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一 解 因为增广矩阵 26102610111115014121111A 0026101501 所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 26 15 32 31 xx xx(x3是自由未知量 经济数学基础形成性考核册 及参考答案 一 单项选择题 1. 函数212 xx xy的连续区间是（ ）答案： D ),2()2,( 或),1()1,( 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案： B.1lim0 xxx3. 设 y x lg2 ，则 d y （ ）答案： B 1 dx xln104. 若函数 f (x)在点 x0 处可导，则 ( )是错误的答案： B Axfxx )(lim 0，但)( 0xfA 5.当 0x 时，下列变量是无穷小量的是（ ） . 答案： C )1ln( x 6. 下列函数中， （ ）是 xsinx2的原函数 D -21cosx2 答案： 7. 下列等式成立的是（ ） C)d(22ln1d2 xx x 8. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） C xxx d2sin 9. 下列定积分计算正确的是 （ ） D 0dsin xx10. 下列无穷积分中收敛的是 （ ） B 1 2 d1 xx11. 以下结论或等式正确的是（ ） C 对角矩阵是对称矩阵 12. 设 A 为 43 矩阵， B 为 25 矩阵，且乘积矩阵 TACB 有意义，则 TC 为 3 （ ）矩阵 A 42 13. 设 BA, 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） C BAAB 14. 下列矩阵可逆的是 （ ） A300320321 15. 矩阵444 333222A的秩是（ ） B 1 16. 下列函数在指定 区间 ( , ) 上单调增加的是 （ ） B e x 17. 已知需求函数ppq 4.02100)( ，当 10 时，需求弹性为（ ） C 2ln4- 18. 下列积分计算正确的是（ ） A 11 0d2ee xxx B 11 0d2ee xxx C 0dsin11 xxx-D 0)d(311 2 xxx-答案： A 19. 设线性方程组 bXAnm 有无穷多解的充分必要条件是（ ） D nArAr )()( 20. 设线性方程组33212321212 axxxaxxaxx ，则方程组有解的充分必要条件是 （ ） C 0321 aaa填空题 1._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _s inlim 0 x xxx.答案： 0 2.设 0, 0,1)( 2 xk xxxf，在 0x处连续，则 _k .答案： 1 3.曲线 xy 在 )1,1( 的切线方程是 .答案：2121 xy4.设函数 52)1( 2 xxxf ，则_ _ _ _)( xf .答案： x2 5.设 xxxf sin)( ，则_)2( f.答案：26.若 cxxxfx 22d)(，则_)( xf .答案：22ln2 x 7. xx d)sin( _ .答案：cxsin 8. 若 cxFxxf )(d)( ，则 xxxf d)1( 2 .答案：cxF )1(21 29.设 函数 _d)1ln (dd e1 2 xxx.答案： 0 10. 若ttxP x d1 1)( 0 2 ，则_ _ _ _ _)( xP .答案：211 x 11.设矩阵1612 23235401A，则 A 的元素_23 a .答案： 3 12 设 BA, 均为 3 阶矩阵，且3 BA ，则TAB2= _ . 答案： 72 13. 设 BA, 均为 n 阶矩阵，则等式222 2)( BABABA 成立的充分必要条件是 .答案：BAAB 14. 设 BA, 均为 n 阶矩阵， )( BI 可逆，则矩阵 XBXA 的解_ _ _ _ _ _ _ _ _X . 答案： ABI 1)( 15. 设矩阵 300 020001A，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 A .答案：31000210001A16.函数xxxf 1)( 在区间_ 内是单调减少的 .答案： )1,0()0,1( 17. 函数 2)1(3 xy 的驻点是_ ，极值点是 ，它是极 值点 .答案： 1,1 xx ，小 18.设某商品的需求函数为2e10)( ppq ，则需求弹性pE .答案： p2 19.行列式_111 111 111 D.答案： 4 20. 设线性方程组 bAX ，且 0100 23106111tA，则_t 时，方程组有唯一解 .答案： 1 微积分计算题 （一） 导数计算题 （ 1） 222 2lo g2 xxy x ，求 y 答案：2ln12ln22 xxy x （ 2）dcx baxy ，求 y 答案：22 )()( )()( dcx bcaddcx baxcdcxay （ 3）53 1 xy，求 y 4 答案：3)53(2 3 xy（ 4） xxxy e ，求 y 答案：)(2 1 xx xeexy =xx xeex 21（ 5） nxxy n s ins in ，求 y 答案：)c o sc o s(s in 1 nxxxny n （ 6） )1ln( 2xxy ，求 y 答案： )1(11 22 xxxxy=)11(11 22 xxxx =222 1111 x xxxx =211x （ 7）x xxy x 212 3 21c o t ，求 y 。 答 ：531c o s261211c o s61211s in2ln21)2()1(c o s2ln2xxxxxxxyxx （ 8） xeyx xy 4)s in ( ，求 y 答案：)co s(e )co s(e4 yxx yxyy xy xy （二） 不定积分计算题 （ 1） xxx de3 答案： 原式 = dxe x)3(=ceceexxx )13(ln33ln)3( （ 2） xxx d)1( 2答案： 原式 = dxxxx )2( 2321 = cxxx 252321 52342（ 3） xxx d242答案： 原式 = cxxdxx 221)2( 2（ 4） xx d21 1答案： cxx xd 21ln2121 )21(21（ 5） xxx d22答案： 原式= )2(221 22 xdx= cx 232 )2(31（ 6） xx x dsin答案： 原式= cxxdx c o s2s in2 （ 7） xxx d2sin答案： cxxx 2s in42c o s2（ 8） xx 1)dln( 原式 = dxx xxx 1)1ln(= dxxxx )111()1ln(= cxxxx )1ln ()1ln ( （三） 定积分计算题 （ 1）xxd121 原式 = 2111 )1()1( dxxdxx=29252)21(2 212 xx（ 2） xxx de21 21 原式 = 21221 1)( xdxxe x =21211 eee x （ 3）xxx dln1 13e1 原式 =31 )ln1(ln1e xdxx x=21ln12 3 ex（ 4） xxx d2cos20 原式 =20)2c os412s in21( xxx =214141 （ 5） xxx dlne1原式 = ee xdxxx 112 21ln21= )1(41412 2122 exe e （ 6） xx x d)e1(40 原式 = 404 dxxe x 40 40)( xxx exedxxe= 15 4 e 故：原式 = 455 e （四） 代数计算题 1 计算 （ 1） 01 1035 12= 53 21（ 2） 00 1130 20 00 00（ 3） 21034521=0 2 计算 723 016542132 341421231 221321 解 72301654274001277197723016542132341421231221321 = 1423 01112155 3 设矩阵 5 110 211321B110 111132 ，A，求 AB 。 解 因为 BAAB 221 22)1()1(01021123211011113232 A0110 1-1-0 321110 211 321B 所以 002 BAAB 4 设矩阵011 12421 A ，确定 的值，使 )(Ar 最小。 解：740412141074210124)1(2），（ 4900410421)4(所以当49时，秩 )(Ar 最小为 2。 5 求矩阵32114 0247134585 12352A的秩。 解： )4(25)(3214135248507132140475851A ，361527036152701259002471361527012590361527002471 ），（001254所以秩 )(Ar =2 6求下列矩阵的逆矩阵： （ 1）111 103231A解： 1013407923110110323)1(3I 19431910071303101340093972)4(3)9( 4310721943197073所以9437323111A（ 2） A = 112 1243613 解： 1011224 74110112243613 7IA 1302710 15128107014111302710 28141520701411)2( 4 210100 172010031001210100 1512810811401 )8( 4)1( 所以2101720311A。 7 设矩阵 32 21,53 21 BA，求解矩阵方程 BXA 1310 01211310 01211053 0121 )1()3( IA 1310 2501)2( 13 251A 11 0113 2532 211BAX8.求解下列线性方程组的一般解： （ 1）0352230243214321431xxxxxxxxxxx 0000 111012011110 111012013512 23111201A 所以，方程的一般解为 432 431 2 xxx xxx（其中 21,xx 是自由未知量） （ 2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx 51147111112241215114712412111112),( A 00000 373502412137350 3735024121)1( )2( 00000 53575310 5456510100000 53575310 24121 )2()51( 由于秩 (A )=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： 432431575353 565154xxxxxx （其中43 xx，为自由未知量）。 9.当 为何值时，线性方程组 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。 解：原方程的增广矩阵变形过程为： 141826203913103913102451110957332231131224511)7()3()2(A 800000000039131015801)2()1(所以当 8 时，秩 (A )=2n=4，原方程 有无穷多解，其一般解为： 432431 9133 581 xxx xxx10 ba, 为何值时，方程组 baxxx xxxxxx3213213213 221有唯一解、无穷多解或无解 。 解：原方程的增广矩阵变形过程为： 3300 112011111140 1120111131 22111111 )2()1( )1(bababaA 讨 论 ：（ 1 ）当 ba ，3 为实数时 ， 秩(A )=3=n=3，方程组有唯一解； （ 2 ）当 33 ba ， 时，秩(A )=2n=3，方程组有无穷多解； 6 （ 3 ）当 33 ba ， 时，秩 ( A )=3 秩( A )=2，方程组无解； 应用题 （ 1） 设 生产某种产品 q 个单位时的成本函数为： qqqC 625.01 0 0)( 2 （万元） , 求： 当 10q 时的总成本、平均 成本和边际成本； 当产量 q 为多少时，平均成本最小？ 答案： 平 均 成 本 函 数 为 ：625.01 0 0)()( qqq qCqC（万元 /单位） 边际成本为： 65.0)( qqC 当 10q 时的总成本、平均成本和边际成本分别为： )(1851061025.0100)10( 2 元C5.1861025.010100)10( C（万元 /单位） 116105.0)10( C （万元 /单位） 由 平均成本函数求导得：25.0100)( 2 qqC令 0)( qC 得唯 一驻 点 201 q （个），201 q （舍去） 由实际问题可知，当产量 q 为 20 个时，平均成本最小。 （ 2） .某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 201.0420)( q