【导与练】高考数学二轮复习 高校信息化课堂 高考中档题训练（二）文.doc

高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列an的前n项和为sn,4sn=an2+2an-3,且a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,当n11时,an0.(1)求证:当n11时,an成等差数列;(2)求an的前n项和sn.(1)证明:由4sn=an2+2an-3,4sn+1=an+12+2an+1-3,得4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n11时,an0,所以an+1-an=2,所以当n11时,an成等差数列.(2)解:由4a1=a12+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n10),q=-1,而a110,所以a10,从而a1=3.当1n10时,sn=31-(-1)n1-(-1)=321-(-1)n,当n11时,a11,a12,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是sn=s10+a11+an=(n-10)3+3+2(n-11)2=n2-18n+80.所以sn=321-(-1)n(1n10),n2-18n+80(n11).2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径.一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从a乘缆车到b,在b处停留1 min后,再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路ac长为1260 m,经测量,cos a=1213,cos c=35.(1)求索道ab的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在abc中,因为cos a=1213,cos c=35,所以sin a=513,sin c=45.从而sin b=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=51335+121345=6365.由正弦定理absinc=acsinb,得ab=acsinbsin c=1260636545=1040(m).所以索道ab的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离a处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)1213=200(37t2-70t+50).由于0t1040130,即0t8,故当t=3537(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理bcsina=acsinb,得bc=acsinbsin a=12606365513=500(m).乙从b出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3500v-710503,解得125043v62514,所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在125043,62514(单位:m/min)范围内.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在正三棱柱abca1b1c1中,ab=4,aa1=7,点d是bc的中点,点e在ac上,且dea1e.(1)求证:平面a1de平面acc1a1;(2)求直线ad与平面a1de所成角的正弦值.(1)证明:由正三棱柱abca1b1c1的性质知aa1平面abc.又de平面abc,所以deaa1.而dea1e,aa1a1e=a1,所以de平面acc1a1.又de平面a1de,故平面a1de平面acc1a1. (2)解:过点a作afa1e于点f,连接df.由(1)知,平面a1de平面acc1a1,平面a1de平面acc1a1=a1e,所以af平面a1de,则adf即为直线ad与平面a1de所成的角.因为de平面acc1a1,所以deac.而abc是边长为4的正三角形,点d是bc的中点,则ad=23,ae=4-ce=4-1