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文档简介
考点25 圆锥曲线的综合问题一、填空题1.(2012重庆高考理科14)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则 .【解题指南】设出两点的坐标,根据焦点弦的性质进行求解.【解析】由题意可设,直线的方程为联立,消去整理得所以,又由焦点弦的性质可知联立解得,所以.【答案】2.(2012重庆高考文科14)设为直线与双曲线左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 .【解析】由题意可知点的横坐标为,代入双曲线的方程可得解得,由条件可知,因为点在直线上所以,解得,所以,【答案】二、解答题3.(2012大纲版全国卷高考文科22)与(2012大纲版全国卷高考理科21)相同已知抛物线与圆有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线.()求;()设、是异于且与c及m都相切的两条直线,m、n的交点为d,求d到的距离.【解题指南】解决本题要抓住公共点这个关键,设出切点坐标,对进行求导,写出切线方程,利用圆的切线垂直经过切点的半径这一性质列出等量关系.【解析】()设, ,则直线l的斜率,又圆,则,则直线am的斜率,即,整理得,解得或而方程无解,即切点.()设为上一点,则在该点处的切线方程为:,整理得.若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简得,. 解得或或.抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为 -得.将代入得,故,所以d到的距离为.4.(2012重庆高考理科20)如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过作直线交椭圆于两点,使,求直线的方程.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解直线的方程.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为 ,右焦点.因为是直角三角形,且,为直角,从而,即,结合得,故,,所以离心率.在中,故由题设条件,得,从而因此所求椭圆的标准方程为.(2)由(1)知.由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:代入椭圆的方程得.设,则是上面方程的两根,因此,又,所以,由,知,即,解得.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为和.5.(2012重庆高考文科21)如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过作直线交椭圆于两点,使,求的面积.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解的面积.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为,右焦点.因为是直角三角形,且,为直角,从而,即,结合得,故,,所以离心率.在中,故由题设条件,得,从而因此所求椭圆的标准方程为.(2)由(1)知.由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:代入椭圆的方程得设,则是上面方程的两根,因此,又,所以,由,知,即,解得.当时,方程(*)化为,故,的面积.当时,同理可得(或由对称性可得) 的面积综上所述, 的面积为.6.(2012四川高考文科21)如图,动点与两定点、构成,且直线ma,mb的斜率之积为4,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线(m0)与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.【解析】()设m的坐标为(x,y),当x=-1时,直线ma的斜率不存在;当x=1时,直线mb的斜率不存在.于是x1且x-1.此时,ma的斜率为,mb的斜率为.由题意,有=4化简可得,4x2-y2-4=0故动点m的轨迹c的方程为4x2-y2-4=0(x1且x-1)()由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ()对于方程(),其判别式=(-2m)243(-m2-4)=16m2+480而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m1设q、r的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),则xq, xr为方程(*)的两根.因为,所以,xqxr=所以此时所以所以综上所述,.7.(2012四川高考理科21)如图,动点与两定点、构成,且,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线与轴相交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.【解题指南】()设出点的坐标,由,知,用去表示,即可求得轨迹的方程,注意不存在的情况;()由()可知轨迹为双曲线的右支,联立直线方程、曲线方程消去,由题意知,关于的一元二次方程有两个不同的大于1的正实根,由一元二次方程根的分布知识可求出的取值范围,再用去表示,转化为以为函数值,以为自变量的函数求最值问题求解.【解析】()设m的坐标为(x,y),显然有x0,.当mba=90时,点m的坐标为(2,3)当mba90时,x2.由mba=2mab,有tanmba=,即化简得:3x2-y2-3=0,而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹
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