【全程复习方略】（福建专用）高考数学 分类题库考点25 圆锥曲线的综合问题（）理 人教版(1).doc

考点25 圆锥曲线的综合问题一、填空题1.（2012重庆高考理科14）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则 .【解题指南】设出两点的坐标,根据焦点弦的性质进行求解.【解析】由题意可设,直线的方程为联立,消去整理得所以,又由焦点弦的性质可知联立解得,所以.【答案】2.（2012重庆高考文科14）设为直线与双曲线左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 .【解析】由题意可知点的横坐标为,代入双曲线的方程可得解得,由条件可知,因为点在直线上所以,解得,所以,【答案】二、解答题3.（2012大纲版全国卷高考文科22）与（2012大纲版全国卷高考理科21）相同已知抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线.（）求；（）设、是异于且与c及m都相切的两条直线，m、n的交点为d，求d到的距离.【解题指南】解决本题要抓住公共点这个关键，设出切点坐标，对进行求导，写出切线方程，利用圆的切线垂直经过切点的半径这一性质列出等量关系.【解析】（）设， ，则直线l的斜率，又圆，则,则直线am的斜率，即，整理得，解得或而方程无解，即切点.（）设为上一点，则在该点处的切线方程为：，整理得.若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简得，. 解得或或.抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 -得.将代入得，故,所以d到的距离为.4.（2012重庆高考理科20）如图，设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过作直线交椭圆于两点,使,求直线的方程.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解直线的方程.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为 ，右焦点.因为是直角三角形,且，为直角，从而，即，结合得，故,，所以离心率.在中,故由题设条件,得,从而因此所求椭圆的标准方程为.(2)由(1)知.由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:代入椭圆的方程得.设,则是上面方程的两根,因此,又,所以,由,知,即,解得.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为和.5.（2012重庆高考文科21）如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过作直线交椭圆于两点,使,求的面积.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解的面积.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为,右焦点.因为是直角三角形,且，为直角，从而，即，结合得，故,，所以离心率.在中,故由题设条件,得,从而因此所求椭圆的标准方程为.(2)由(1)知.由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:代入椭圆的方程得设,则是上面方程的两根,因此,又,所以,由,知,即,解得.当时,方程(*)化为,故,的面积.当时,同理可得(或由对称性可得) 的面积综上所述, 的面积为.6.（2012四川高考文科21）如图，动点与两定点、构成，且直线ma,mb的斜率之积为4，设动点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）设直线（m0）与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.【解析】（）设m的坐标为（x,y），当x=-1时，直线ma的斜率不存在；当x=1时，直线mb的斜率不存在.于是x1且x-1.此时，ma的斜率为，mb的斜率为.由题意，有=4化简可得，4x2-y2-4=0故动点m的轨迹c的方程为4x2-y2-4=0（x1且x-1）（）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. ()对于方程()，其判别式=（-2m)243（-m2-4）=16m2+480而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.结合题设（m0）可知，m0，且m1设q、r的坐标分别为（xq,yq）,(xr,yr),则xq, xr为方程（*）的两根.因为,所以，xqxr=所以此时所以所以综上所述，.7.（2012四川高考理科21）如图，动点与两定点、构成，且，设动点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.【解题指南】（）设出点的坐标，由，知，用去表示，即可求得轨迹的方程，注意不存在的情况；（）由（）可知轨迹为双曲线的右支，联立直线方程、曲线方程消去，由题意知，关于的一元二次方程有两个不同的大于1的正实根，由一元二次方程根的分布知识可求出的取值范围，再用去表示，转化为以为函数值，以为自变量的函数求最值问题求解.【解析】（）设m的坐标为（x,y），显然有x0,.当mba=90时，点m的坐标为（2，3）当mba90时，x2.由mba=2mab,有tanmba=,即化简得：3x2-y2-3=0,而点（2，3）在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知，轨迹