【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 8.6椭圆精品试题 (2)(1).doc

【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 8.6椭圆精品试题(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014台州模拟)已知椭圆c的短轴长为6,离心率为45,则椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为()a.9b.1c.1或9d.以上都不对【解析】选c.依题设知:b=3,ca=45,a2=b2+c2,解得a=5,b=3,c=4.所以椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1.2.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为()a.14b.55c.12d.5-2【解析】选b.因为a,b为左、右顶点,f1,f2为左、右焦点,所以|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c,又因为|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=55.3.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=12,右焦点为f(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点p(x1,x2)()a.必在圆x2+y2=2内b.必在圆x2+y2=2上c.必在圆x2+y2=2外d.以上三种情形都有可能【解析】选a.因为e=12,所以ca=12.因为a2=b2+c2,所以b2=34a2.因为x1+x2=-ba,x1x2=-ca,所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+1=74a2a2=74b0)的右焦点f(3,0),过点f的直线交e于a,b两点,若ab的中点坐标为(1,-1),则e的方程为()a.x245+y236=1b.x236+y227=1c.x227+y218=1d.x218+y29=1【解析】选d.由椭圆x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点f的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于a,b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=-1,则b2x12+a2y12=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2,由-得b2(x12-x22)+a2(y12-y22)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2,又直线的斜率为k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.因为b2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为x218+y29=1.5.设p是椭圆x225+y29=1上一点,m,n分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|pm|+|pn|的最小值、最大值分别为()a.9,12b.8,11c.8,12d.10,12【思路点拨】可先求点p到两圆圆心的距离之和,注意两圆圆心与椭圆焦点的关系.【解析】选c.可先求点p到两圆圆心的距离,然后再加两圆半径和或再减两圆半径和,因为两圆圆心分别为椭圆的左、右焦点,所以点p到两圆圆心的距离的和为2a=10,因此所求最大值为2a+2,最小值为2a-2,故最大值是12、最小值是8.6.(2013新课标全国卷)设椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,p是c上的点,pf2f1f2,pf1f2=30,则c的离心率为()a.36b.13c.12d.33【解析】选d.因为pf2f1f2,pf1f2=30,所以|pf2|=2ctan 30=233c,|pf1|=433c.又|pf1|+|pf2|=633c=2a,所以ca=33,即椭圆的离心率为33,选d.7.已知椭圆x24+y23=1,若此椭圆上存在不同的两点a,b关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是()a.-21313,2213b.-21313,21313c.-213,21313d.-2313,2313【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点m(x,y),kab=y2-y1x2-x1=-14,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而m(x,y)在椭圆的内部,则m24+9m231,即-21313m2c.t2d.t与2的大小关系不确定【思路点拨】先画出图形,注意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.【解析】选a.如图,p,q分别是圆c与f1a的延长线、线段af2相切的切点,则|mf2|=|f2q|=2a-(|f1a|+|aq|)=2a-|f1p|=2a-|f1m|,即|f1m|+|mf2|=2a.所以t=a=2.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014嘉兴模拟)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是f1,f2,p是椭圆上一点,若连接f1,f2,p三点恰好能构成直角三角形,则点p到y轴的距离是.【解析】依题意:f1(0,-3),f2(0,3).又因为3b0)的左、右焦点f1,f2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是.【思路点拨】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.【解析】由已知得交点p在以f1f2为直径的圆x2+y2=c2上.又点p在椭圆内部,所以有c2b2,又b2=a2-c2,所以有c2a2-c2,即2c2a2,亦即:c2a212,所以0cab0)的两个焦点,若椭圆上存在点p使得f1pf2=3,则椭圆的离心率e的取值范围为.【解析】设椭圆的短轴的一个端点为b,则f1bf23,在bf1f2中,sinobf2=ca=esin6=12,故12e1.答案:12,111.(2014镇江模拟)已知点a(0,2)及椭圆x24+y2=1上任意一点p,则|pa|的最大值为.【解析】设p(x0,y0),则-2x02,-1y01,所以|pa|2=x02+(y0-2)2.因为x024+y02=1,所以|pa|2=4(1-y02)+(y0-2)2=-3y02-4y0+8=-3y0+232+283.因为-1y01,而-1-23b0)的左、右焦点,a是椭圆c的顶点,b是直线af2与椭圆c的另一个交点,f1af2=60.(1)求椭圆c的离心率.(2)已知af1b的面积为403,求a,b的值.【解析】(1)f1af2=60a=2ce=ca=12.(2)设|bf2|=m(m0),则|bf1|=2a-m,在bf1f2中,|bf1|2=|bf2|2+|f1f2|2-2|bf2|f1f2|cos120,即(2a-m)2=m2+a2+am,所以m=35a.af1b的面积s=12|af1|ab|sin60=12aa+35a32=403,所以a=10,c=5,b=53.【一题多解】本题第(2)问还可以用如下的方法解决:设|ab|=t.因为|af2|=a,所以|bf2|=t-a.由椭圆定义|bf1|+|bf2|=2a可知,|bf1|=3a-t,再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos60可得,t=85a.由saf1b=12a85a32=235a2=403知,a=10,b=53.14.(2013南宁模拟)设椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22,点a是椭圆上的一点,且点a到椭圆c两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆c的方程.(2)椭圆c上一动点p(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为p1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.因为e=ca=22,所以c=2,b=a2-c2=2.所以所求椭圆c的方程为x24+y22=1.(2)因为点p(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为p1(x1,y1),所以y0-y1x0-x12=-1,y0+y12=2x0+x12.解得x1=4y0-3x05,y1=3y0+4x05.所以3x1-4y1=-5x0.因为点p(x0,y0)在椭圆c:x24+y22=1上,所以-2x02,则-10-5x010.所以3x1-4y1的取值范围为-10,10.【加固训练】设a,b分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点,1,32为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距.(1)求椭圆的方程.(2)设p(4,x)(x0),若直线ap,bp分别与椭圆相交异于a,b的点m,n,求证:mbn为钝角.【解析】(1)依题意,得a=2c,b2=a2-c2=3c2.则椭圆方程为x24c2+y23c2=1,将1,32代入,得c2=1.故椭圆方程为x24+y23=1.(2)由(1)知,a(-2,0),b(2,0),设m(x0,y0),则-2x00,即mbp为锐角,则mbn为钝角.15.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于a,a两点,|aa|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点p,p,过p,p作圆心为q的圆,使椭圆上的其余点均在圆q外.求ppq的面积s的最大值,并写出对应的圆q的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知点a(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1,从而e2+4b2=1.由e=22,得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16,故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.(2)由椭圆的对称性,可设q(x0,0),又设m(x,y)是椭圆上任意一点,则|qm|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x +x02+8(1-x216)=12(x-2x0)2-x02+8(x-4,4).设p(x1,y1),由题意,p是椭圆上到q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1-4,4,所以上式当x=2x0时取