数学提高班之 ———《高等数学》 第五章 思考题解答 【思考题1】求函数.doc

数学提高班之高等数学第五章 思考题解答【思考题1】求函数的定义域。解：故所求定义域为【思考题2】（1）设，求（2）设，求（3）设，当时，求函数和 解（1）（2） （3）【思考题3】讨论下列极限的存在性（1）（2）（3）证明极限不存在解: (1) 沿，原式=沿，原式=故原式的极限不存在（2）当时，故从而（3）沿，则值随而变，故原式的极限不存在【思考题4】（1）设求（2）设，求（3）设为任意一个的可微函数，为为任意一个的可微函数，若已知，则是（A） （B）（C） （D）解:（1），则（2）同理（3）若，则可知（A）不入选，同理可验证（B）（C）也不入选，故（D）入选【思考题5】（1）求函数在点处沿的内法线方向上的方向导数和梯度。（2）求函数在非原点处梯度的大小和方向。解:（1）上点处内法线方向余弦又（2）其中【思考题6】求下列函数的二阶偏导数（A） （B）（C） 解: （A）（B）（C）例32 （2001数一）【思考题7】（1）设，求和（2）设，其中可导，求证（3）设，求.（4）（1995数一、二）设其中具有连续的一阶偏导数，且，求（5）（2007数一）设为二元可微函数，则（6）（1988，数一、二）设，其中具有二阶连续偏导数，求（7）（1987数二）设其中具有二阶连续偏导数，求（8）设求（9）设，其中二阶可导，具有连续的二阶偏导数，求（10）（1996数一、二）设变换，可把方程简化为，求常数。解:（1）， （2）设，则u= （3）（4）（5）（6）故（7）（8）（9）（10）【思考题8】（1）求的全微分（2）求下列方程确定函数的全微分求 求解:（1）（2）【思考题9】（1）设是由方程所确定的二元函数，求及（2）设函数由方程所确定，证明：（3）设函数，证明：当时，有（4）设，求（提示：）解：（1）令，则从而为求需再将对求偏导，由于的表达式中仍含有，要用到复合函数的求导法则，于是将代入，得（2）令两式相加即得（3）同理因此（4）由条件可得于是，【思考题10】设在平面上，各点的温度与点的位置间的关系为，点，求：（1）；（2）在点处沿极角为的方向的温度变化率；（3）在什么方向上在点处的温度变化率取得：最大值；最小值；零，并求此最大、小值；解：（1）按梯度定义（2）求点处沿方向的温度变化率即求，利用方向导数的计算公式（3）温度点梯度方向就是点处温度变化率取最大值方向，且最大值为，温度点负梯度方向，即就是点处温度变化率取最小值方向，且最小值。与梯度垂直的方向即就是点处温度变化率为零的方向。【思考题11】（1）（1992数一、二）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（A） 只有一条 （B）只有两条 （C）至少有三条 （D）不存在（2）求曲线在点M（1，1，3）的切线和法平面方程解：（1）曲线在点的切线方程为，切线与平面平行的充要条件是，切线的方向向量与平面的法向量垂直，即，且不在该平面上，故选（B）（2）曲面在M（1，1，3）的法向量分别为。切线的方向向量与它们均垂直，即有可取方向向量为，因此切线方程为法平面方程为【思考题12】（1）求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程（2）试证：曲面上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数（3）证明曲面上任一点的切平面都通过坐标原点解：（1）令故，切平面方程为法线方程为（2）令，则故，曲面上任一点处切平面方程为上式中令得切平面在轴上的截距为由曲面的对称性，可知切平面在轴上的截距分别为故（3）令曲面上任一点处的切平面方程为常数项为切平面过原点。【思考题13】求由方程确定的函数的极值解：法一：将方程的两边分别对求偏导，得由函数取极值的必要条件：将代入，解得为驻点将的两个方程分别对求偏导，得将代入原方程，得，把代入，故为极小值把代入，故为极小值【思考题14】求函数在附加条件下的极值解：作拉格朗日函数解得即点为在附加条件下唯一可能的极值点。把条件确定的隐函数记作，将目标函数看作，再应用二元函数极值的充分条件判断，可知点为在条件下的极小值点，因此在条件下在点处取得极小值【思考题15】（1）已知三角形周长为，试求此三角形绕自己的一边旋转所构成的旋转体体积的最大值（2）抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离？（同济 P61 习题8-8 10）（3）在平面与三坐标面所围成的四面体内，作一个以该平面为顶面，在坐标面上的投影为长方形（与AB相接）的六面体中体积之最大者（其中）解： （1）设三角形的三边分别为，不妨设它绕AC边旋转，AC边上的高为，面积为，于是，而旋转体体积为其中为简便求在条件之下的驻点。令解方程组解之得故的最大值为（2）设椭圆上的点为，则原点到椭圆上的点的距离平方为作拉格朗日函数令（1）-（2）得，故由，不合题意，故舍去。将代入（4）和（5）得解得于是得到两个驻点：（3）六面体体积为直线AB：令解方程得此时即所求最大体积为。【思考题16】（1）（1991 数三、四）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为，销售量分别为，需求函数分别为，总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？（答案：，最大利润为605）（2）设生产某种产品必须投入两种要素，分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数，其中为正常数，且，假设两种要素的价格分别为，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使投入总费用最小。解：（1）总收入函数为总利润函数为由极值的必要条件，得方程组解此方程组得由问题的实际意义可知，当时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为（2）需要在产出量的条件下，求总费用的最小值，为此作拉格朗日函数令由（1）和（2）得将代入（3）得因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故说明时，投入总费用最小。八、多元函数微分学一、 填空题1. 若函数其中是由方程确定的的函数，则 2. 若则.3. 函数由方程所确定，则.4. 设函数由方程所给出，其中任意可微，则 1 .5. 则 -2 .6.已知且其中可微，连续且连续，则 0 .7.设和具有二阶连续导数，则.8.设（为可微函数），且当时，则.9.设二阶偏导数连续，则.10.设则.11.设其中是由确定的隐函数，则 1 .12.由方程所确定的函数在点处的全微分一：填空题题解1.解：方程两边同时对求导得从而，由题意又有方程，当，故2.解：所以3. 解：两边同时对求导得，从而注意：对求导得4. 解：令则故5. 解：两边同时取对数得两边同时对求导，注意：，得：6. 解：两边同时对求导得：两边同时对求导得：故7. 解：两边同时对求导得：8. 解：当时，代入得9. 解：由得10. 解：11. 解：由于是由确定的隐函数，方程两边同时对求导得：由两边同时对求导得：二、 选择题1.二元函数在点处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的 （ A）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.以上都不是解：可微的充分条件：偏导数连续则函数可微可微的必要条件：函数可微则偏导数存在故选(A)2.设方程（其中可微）确定了，则 （ A ）A. B.C. D.解：方程两边同时对求导得：代入得 故选(A)3.设则它在点处 （ C ）A.取得极大值 B.不取得极值C. 取得极小值 D.不能确定是否取得极值解：，在（1,0）点故（1,0）为极小值点故选（C）4.函数满足条件的条件极值为（ D ）A.1 B. 0 C. D.解：构造拉格朗日函数令解得此时故选（D）5.设，则（ B ）A.0 B.1 C.2 D.不存在解： 故选（B）6.由方程组确定（可微），则 （ B ）A. B. C. D.解：两边同时对求导得：两边同时对求导得：代入得 故选（B）7.已知则 （ D ）A. B. C.1 D.0解：两边同时对求导得：两边同时对求导得：两边同时对求导得：从而 故选（D）8. 二元函数在点处（ C ） 连续，偏导数存在 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数存在 不连续，偏导数不存在9设有二阶连续偏导数，则（ C ） 解：由得故选（C）10考虑二元函数的下面4条性质： 在点处连续； 在点处的两个偏导数连续； 在点处可微； 在点处的两个偏导数存在。若用表示可由性质推出性质，则有（ A ） 11若函数满足，且，则（ A ） 提示：逐个带入验证12函数在点（ B ） 连续，但偏导数不存在 偏导数存在，但不可微 可微 偏导数存在且连续解：从而偏导数存在极限与有关，即在（0,0）点不可微。故选（B）13设，其中有连续导数，则函数z满足（C ） A B C D 解：由得故选（C）14. 可微函数f(x,y)在点取得极小值，下列结论正确的是（A ） A f(x,y)在处的导数等于零 B f(x,y)在处的导数大于零C f(x,y)在处的导数小于零 D f(x,y)在处的导数不存在提示：f(x,y)在点取得极小值的必要条件：故选（A）15已知函数f(x,y)在（0，0）点的某个邻域内连续，且，则（A ）A 点（0，0）不是f(x,y)的极值点 B 点（0，0）是f(x,y)的极大值点C 点（0，0）是f(x,y)的极小值点 D 以上都不对16设，其中具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（B ）A