河北省中考数学复习 第3章 函数 第12讲 二次函数的图象和性质课件.ppt

第三章函数第12讲二次函数的图象和性质 考点梳理过关 考点1二次函数的概念及表示方法 提示 1 二次项系数a 0 2 ax2 bx c必须是整式 3 一次项系数可以为零 常数项也可以为零 一次项系数和常数项可以同时为零 4 自变量x的取值范围是全体实数 考点2二次函数的图象及性质6年4考 1 二次函数的图象及性质 2 抛物线y ax2 bx c a 0 的位置与a b c的关系 1 当已知抛物线上任意三点时 通常设函数的表达式为y ax2 bx c a 0 然后列三元一次方程组求解 2 当已知抛物线的顶点坐标 对称轴 最值时 通常设表达式为y a x h 2 k a 0 然后求解 3 当已知抛物线与x轴的交点坐标时 通常设表达式为y a x x1 x x2 a 0 然后求解 考点3二次函数表达式的确定6年1考 考点4二次函数图象的平移 抛物线y ax2与y a x h 2 y ax2 k y a x h 2 k中a相同 则图象的形状和大小都相同 只是位置不同 它们之间的平移关系如图 考点5二次函数与一元二次方程 1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的解也就是二次函数y ax2 bx c a 0 图象与x轴 即y 0 交点的横坐标 2 二次函数图象和一元二次方程的关系 典型例题运用 类型1抛物线的位置与系数的关系 例1 2016 枣庄中考 如图 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下四个结论 abc 0 a b c 0 a b 4ac b2 0 其中正确的结论有 a 1个b 2个c 3个d 4个 失分警示 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号是二次函数中一类典型的数形结合问题 具有较强的推理性 解题时应注意开口方向与a的关系 抛物线与y轴的交点与c的关系 对称轴与a b的关系 抛物线与x轴交点数目与b2 4ac的符号的关系 c c 二次函数y ax2 bx c图象经过原点 c 0 abc 0 正确 x 1时 y 0 a b c 0 不正确 抛物线开口向下 a 0 抛物线的对称轴是x b 0 b 3a 又 a 0 b 0 a b 正确 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有两个交点 0 b2 4ac 0 即4ac b2 0 正确 综上 可得正确结论有3个 即 类型2二次函数的性质 例2 2017 泰安中考 已知二次函数y ax2 bx c的y与x的部分对应值如下表 下列结论 抛物线的开口向下 其图象的对称轴为x 1 当x 1时 函数值y随x的增大而增大 方程ax2 bx c 0有一个根大于4 其中正确的结论有 a 1个b 2个c 3个d 4个 技法点拨 1 求二次函数图象顶点坐标一般用配方法得顶点式 直接得出顶点坐标 或代入顶点坐标公式 已知对称轴x m时 顶点横坐标就是m 将其代入解析式 即可求得顶点纵坐标 2 抛物线的顶点坐标 对称性 增减性是考查抛物线及其图象性质的重点 应用数形结合思想使解题更加直观 比如当x 1时 判断a b c的符号 当x 1时 判断a b c的符号 b b根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据 可以得到对称轴为x 再由图象中的数据可以得到当x 时取得最大值 从而可以得到函数的开口向下以及当x 时 y随x的增大而增大 当x 时 y随x的增大而减小 然后根据x 0时 y 1 x 1时 y 3 可以得到方程ax2 bx c 0的两个根所在的大体位置 从而可以判断 正确 错误 正确 错误 故选b 类型3二次函数图象的平移 例3 2017 丽水中考 将函数y x2的图象用下列方法平移后 所得的图象不经过点a 1 4 的方法是 a 向左平移1个单位b 向右平移3个单位c 向上平移3个单位d 向下平移1个单位 思路分析 a 平移后 得y x 1 2 图象经过a点 故a不符合题意 b 平移后 得y x 3 2 图象经过a点 故b不符合题意 c 平移后 得y x2 3 图象经过a点 故c不符合题意 d 平移后 得y x2 1 图象不经过a点 故d符合题意 d 技法点拨 抛物线的平移就是将抛物线表达式转化为顶点式y a x h 2 k 确定其顶点坐标 保持抛物线的形状不变 即a值不变 平移顶点坐标 h k 类型4确定二次函数的解析式 例3 2017 齐齐哈尔中考 如图 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于点a 1 0 和点b 3 0 与y轴交于点c 连接bc交抛物线的对称轴于点e d是抛物线的顶点 1 求此抛物线的解析式 2 直接写出点c和点d的坐标 3 若点p在第一象限内的抛物线上 且s abp 4s coe 求p点坐标 注 二次函数y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为 思路分析 1 将a b的坐标代入抛物线的解析式中 即可求出待定系数b c的值 进而可得到抛物线的解析式 2 令x 0 可得c点坐标 将函数解析式配方即得抛物线的顶点d的坐标 3 设p x y x 0 y 0 根据题意列出方程即可求得y 即得d点坐标 解 1 将点a 1 0 和点b 3 0 代入y x2 bx c 抛物线的解析式为y x2 2x 3 2 令x 0 则y 3 c 0 3 y x2 2x 3 x 1 2 4 d 1 4 3 设p x y x 0 y 0 由题意 得oc 3 ab 4 y 3 x2 2x 3 3 解得x1 0 不合题意 舍去 x2 2 p 2 3 技法点拨 1 当条件中a b c其中一个系数为已知时 一般选择一般式求解 如果已知对称轴 顶点 最值时 选择顶点式 如果已知抛物线与x轴交点时 选择交点式 2 求函数图象构成的几何图形面积 通常利用平行于坐标轴的直线将几何图形分割成规则的三角形或者梯形求解 六年真题全练 命题点二次函数的图象与性质 1 2012 河北 12 3分 如图 抛物线y1 a x 2 2 3与y2 x 3 2 1交于点a 1 3 过点a作x轴的平行线 分别交两条抛物线于点b c 则以下结论 无论x取何值 y2的值总是正数 a 1 当x 0时 y2 y1 4 2ab 3ac 其中正确结论是 a b c d 抛物线y2 x 3 2 1开口向上 顶点坐标在x轴的上方 无论x取何值 y2的值总是正数 故 正确 把a 1 3 代入抛物线y1 a x 2 2 3 得3 a 1 2 2 3 解得a 故 错误 由 知a 当x 0时 y1 0 2 2 3 y2 0 3 2 1 故y2 y1 故 错误 抛物线y1 x 2 2 3与y2 x 3 2 1交于点a 1 3 y1的对称轴为x 2 y2的对称轴为x 3 b 5 3 c 5 3 ab 6 ac 4 2ab 3ac 故 正确 2 2013 河北 20 3 如图 一段抛物线y x x 3 0 x 3 记为c1 它与x轴交于点o a1 将c1绕点a1旋转180 得c2 交x轴于点a2 将c2绕点a2旋转180 得c3 交x轴于点a3 如此进行下去 直至得c13 若p 37 m 在第13段抛物线c13上 则m 2 一段抛物线y x x 3 0 x 3 图象与x轴交点坐标为 0 0 3 0 将c1绕点a1旋转180 得c2 交x轴于点a2 将c2绕点a2旋转180 得c3 交x轴于点a3 如此进行下去 直至得c13 c13的解析式与x轴的交点坐标为 36 0 39 0 且图象在x轴上方 c13的解析式为y13 x 36 x 39 当x 37时 y 37 36 37 39 2 即m 2 3 2015 河北 25 11分 如图 已知点o 0 0 a 5 0 b 2 1 抛物线l y x h 2 1 h为常数 与y轴的交点为c 1 l经过点b 求它的解析式 并写出此时l的对称轴及顶点坐标 2 设点c的纵坐标为yc 求yc的最大值 此时l上有两点 x1 y1 x2 y2 其中x1 x2 0 比较y1与y2的大小 3 当线段oa被l只分为两部分 且这两部分的比是1 4时 求h的值 解 1 把点b的坐标 2 1 代入y x h 2 1 得1 2 h 2 1 解得h 2 则该函数解析式为y x 2 2 1 或y x2 4x 3 故抛物线l的对称轴为直线x 2 顶点坐标是 2 1 2 点c的横坐标为0 则yc h2 1 当h 0时 yc有最大值1 此时 抛物线l为y x2 1 对称轴为y轴 开口方向向下 所以 当x 0时 y随x的增大而减小 所以 当x1 x2 0时 y1 y2 3 线段oa分为两部分 且这两部分的比是1 4 且o 0 0 或a 5 0 把线段oa分为两部分的点的坐标分别是 1 0 或 4 0 把x 1 y 0代入y x h 2 1 得0 1 h 2 1 解得h1 0或h2 2 但是当h 2时 线段oa被抛物线l分为三部分 不合题意 舍去 同样 把x 4 y 0代入y x h 2 1 得h 5或h 3 舍去 综上所述 h的值是0或 5 4 2014 河北 24 11分 如图 2 2网格 每个小正方形的边长为1 中有a b c d e f g h o九个格点 抛物线l的解析式为y 1 nx2 bx c n为整数 1 n为奇数 且l经过点h 0 1 和c 2 1 求b c的值 并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点 2 n为偶数 且l经过点a 1 0 和b 2 0 通过计算说明点f 0 2 和h 0 1 是否在该抛物线上 3 若l经过这九个格点中的三个 直接写出所有满足这样条件的抛物线条数 解 1 n为奇数时 y x2 bx c l经过点h 0 1 和c 2 1 抛物线解析式为y x2 2x 1 即y x 1 2 2 格点e 1 2 为该抛物线的顶点 2 n为偶数时 y x2 bx c l经过点a 1 0 和b 2 0 抛物线解析式为y x2 3x 2 当x 0时 y 2 1 点f