高考数学一轮复习 高考大题增分专项1 高考中的函数与导数课件 文 北师大版.ppt

高考大题增分专项一高考中的函数与导数 2 从近五年的高考试题来看 高考对函数与导数的考查 已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间 或利用函数单调性求函数的极值 最值问题 转变成利用求导的方法证明不等式 探求参数的取值范围 解决函数的零点 方程根的问题 以及在某不等式成立的条件下 求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值 3 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略一差函数法证明函数不等式f x g x 可证f x g x 0 令h x f x g x 或令h x 为f x g x 表达式的某一部分 利用导数证明h x min 0 如果h x 没有最小值 那么可利用导数确定出h x 的单调性 例如h x 0 则h x 在 a b 上是增函数 同时若h a 0 则当x a b 时 有h x 0 即f x g x 4 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 例1 2016全国丙卷 文21 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 3 设c 1 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解 1 导数与函数的单调性 令f x 0解得x 1 当00 f x 是增加的 当x 1时 f x 0 f x 是减少的 5 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 对点训练1已知函数f x ax lnx 函数g x 的导函数g x ex 且g 0 g 1 e 其中e为自然对数的底数 1 若存在x 0 使得不等式成立 试求实数m的取值范围 2 当a 0时 对于任意x 0 求证 f x g x 2 6 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 7 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 8 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 9 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略二求最值法求最值法证明函数不等式 一般依据表达式的组成及结构有两种不同的证明方法 1 要证f x h x 可令 x f x h x 只需证明 x min 0 这是证函数不等式的常用方法 2 要证f x h x 可证f x min h x max 要证f x m 可将该不等式转化为g x h x 的形式 然后再证明g x min h x max 这一方法不常用 只是用 1 的方法难求最值时才用 10 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 11 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 12 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 的切线方程为y e x 1 2 1 求a b 2 证明 f x 1 13 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 14 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0时 g x h x 即f x 1 15 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略二求最值法求最值法证明函数不等式 一般依据表达式的组成及结构有两种不同的证明方法 1 要证f x h x 可令 x f x h x 只需证明 x min 0 这是证函数不等式的常用方法 2 要证f x h x 可证f x min h x max 要证f x m 可将该不等式转化为g x h x 的形式 然后再证明g x min h x max 这一方法不常用 只是用 1 的方法难求最值时才用 16 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 17 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 2 证明由 1 可设f x 在 0 的唯一零点为x0 当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 内单调递减 在 x0 内单调递增 所以当x x0时 f x 取得最小值 最小值为f x0 18 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 对点训练3设函数f x ax 2 lnx a r 1 若f x 在点 e f e 处的切线为x ey b 0 求a b的值 2 求f x 的单调区间 3 若g x ax ex 求证 当x 0时 f x g x 19 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 20 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 21 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 22 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略一分离参数法已知不等式在某一区间上恒成立 求参数的取值范围 一般先分离参数 再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解 即f x g k f x min g k f x g k f x max g k 23 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 24 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 对点训练4已知函数f x alnx bx a b r 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 2 0 1 求a b的值 25 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 26 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 27 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略二分类讨论法当不等式中的参数无法分离 或含参不等式中左 右两边的函数具有某些不确定因素时 应用分类讨论的方法来处理 分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素 为问题的解决提供新的条件 因此 求参数的范围转换成了讨论参数在哪些范围能使不等式成立 28 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 例5 2016全国甲卷 文20 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 2 当x 1 时 29 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 内单调递增 因此g x 0 当a 2时 令g x 0得由x2 1和x1x2 1得x1 1 故当x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 内单调递减 因此g x 0 综上 a的取值范围是 2 30 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 对点训练5 2016陕西西安八校联考 已知函数f x m x 1 ex x2 m r 1 若m 1 求函数f x 的单调区间 2 若对任意的xf x 恒成立 求m的取值范围 解 1 当m 1时 f x 1 x ex x2 则f x x 2 ex 由f x 0得0ln2 故函数f x 的单调递增区间为 0 ln2 单调递减区间为 0 ln2 31 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 因为x0 令h x mex x m 则h x mex 1 当m 1时 h x ex 1h 0 0 符合题意 当m 1时 h x 在 lnm 内单调递减 在 lnm 0 内单调递增 所以h x min h lnm h 0 0 不符合题意 综上所述 m的取值范围为 1 32 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 突破策略三分别求函数最值法若两边变量不同的函数不等式恒成立 求不等式中的参数范围 常用分别求函数最值求解 即若对 x1 i1 x2 i2 f x1 g x2 恒成立 则f x min g x max 若对 x1 i1 x2 i2 使得f x1 g x2 则f x min g x min 若对 x1 i1 x2 i2 使得f x1 g x2 则f x max g x max 33 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 34 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 35 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 36 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 37 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 38 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 当m 0时 f x 0时 由f x 0 解得x 2m 令f x 0 解得0 x 2m 此时函数f x 单调递增 令f x 0 解得2m x 此时函数f x 单调递减 此时函数f x 的单调递增区间为 0 2m 单调递减区间为 2m 39 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 40 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 策略三 41 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 突破策略一求导与数形结合法研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图像判断函数零点或方程根的情况 其基本的思路为 1 构造函数 并求其定义域 2 求导数 得单调区间和极值点 3 通过数形结合 挖掘隐含条件 确定函数图像与x轴的交点情况进而求解 42 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 例7 2016贵州七校联考 函数f x ax2 x ex 其中e是自然对数的底数 a r 1 当a 0时 解不等式f x 0 2 当a 0时 求整数t的所有值 使方程f x x 2在 t t 1 上有解 解 1 因为ex 0 所以不等式f x 0等价于ax2 x 0 43 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 44 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 对点训练7已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 2 证明由 1 知f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10 所以g x 0在 0 有唯一实根 当x 0时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x 45 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 内单调递减 在 2 内单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 内没有实根 综上 g x 0在r有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 46 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 突破策略二分类讨论法1 如果函数中没有参数 那么可以直接求导得出函数的极值点 判断极值点大于0和小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 那么一阶导数的正负往往不好判断 这时要对参数进行分类讨论 在参数小的范围内判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对导函数进行再次求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 3 分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素 为问题的解决提供新的条件 47 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 48 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 49 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 由于x 0 从右侧趋近0 时 f x x 时 f x 所以f x 有两个零点 当00 f x 为增函数 x a 1 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x 在x a处取到极大值 f x 在x 1处取到极小值 当0 a 1时 f a 0 即当x 0 1 时 f x 0 而f x 在x 1 时为增函数 且x 时 f x 所以此时f x 有一个零点 50 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 51 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 52 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 53 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 54 题型一 题型二 题型三 策略一 策略二 55 1 不等式的恒成立问题常常转化为函数的最值问题求解 证明不等式问题常常转化为函数的单调性与最值问题进行证明 方程解的问题常常转化为函数的零点问题 两个函数图像的交点问题求解 2 关于二次求导问题 1 在讨论函数单调性时 如果导函数值的符号不容易确定 那么一般是对导函数再次求导判断出导函数的单调性 通过导函数的零点来确定导函数值的符号