2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限解答题1(数学)[1].doc

2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设函数 （）求函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； （）证明：解：（1），当 上无极值点当p0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0极大值从上表可以看出：当p0 时，有唯一的极大值点 （）当p0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需， p的取值范围为1，+ （）令p=1，由（）知， 结论成立2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知上是减函数，且。（1）求的值，并求出和的取值范围。（2）求证。（3）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。解：（1） （2） （3） 3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行，(1)求常数a、b的值；(2)求函数f(x)在区间0,t上的最小值和最大值。（t0）解：（1）a=3，b=2；（2）当23时，f(x)的最大值为f(t)=t33t2+2；当x=2时，f(x)的最小值为f(2)=2。5、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知（m为常数，且m0）有极大值，（）求m的值；（）求曲线的斜率为2的切线方程解：（） 则， 由列表得：x-m+0-0+极大值极小值， （）由（）知，则 或 由， 所以切线方程为：即； 或即4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知函数且是的两个极值点，（）求的取值范围；（）若，对恒成立。求实数的取值范围；解：（1），由题知：；（2）由（1）知：，对恒成立，所以：5、(江西省五校2008届高三开学联考)已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减.上的极大值 （II）由得， 设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于6、(安徽省蚌埠二中2008届高三8月月考)求下列各式的的极限值 ）答： 7、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设f（x）=（a0）为奇函数，且|f（x）|min=，数列an与bn满足如下关系：a1=2，（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当nN*时， 有bn解：（1）由f（x）是奇函数，得 b=c=0，由|f（x）min|=，得a=2，故f（x）= （2） =，而b1=，=当n=1时， b1=，命题成立，当n2时，21（11）111+=n，即 bn 8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)设 f (x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e为自然对数的底数）（1）求 p 与 q 的关系；（2）若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；解：(I) 由题意得 f (e) = pe2ln e = qe2 (pq) (e + ) = 0而 e + 0p = q 4分(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立 当 p = 0时， h(x) = 2x， x 0， h(x) 0， f(x) = 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1适合题意 当 p 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = (0,+)只需 h(0)0，即 p0时 h(x)0在 (0,+) 恒成立故 p 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1 9分由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min，x 0而 0 且 x 0 时， 0，故 p0 11分综上可得，p1或 p09、(四川省成都市一诊)已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（）是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I），由，在上单调递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。（II），恒成立当时，取得最大值。，（III）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，则当x变化时，、的变化情况如下表：x的符号的单调性由表格知：，画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。10、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知函数若函数在处取得极值2，试求的值；若时，函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；设的图象与的图象交于P，Q两点，过线段PQ的中点作平行于y轴的直线，分别与交于M、N两点，试判断在M的切线与在N的切线是否平行？答：；略，在M的切线与在N的切线不可能平行。11、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)设函数，其中|t|1，将f(x)的最小值记为g(t)(1)求g(t)的表达式；(2)对于区间1，1中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(t)成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由解析：(1) 由(sinxt)20，|t|1，故当sinxt时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)4t33t3 (2)我们有列表如下：t(1，)(，)(，1)g(t)00G(t)极大值g()极小值g()由此可见，g(t)在区间(1，)和(，1)单调增加，在区间(，)单调减小，极小值为g()2，又g(1)4(3)32故g(t)在1，1上的最小值为2注意到：对任意的实数a，2，2当且仅当a1时，2，对应的t1或，故当t1或时，这样的a存在，且a1，使得g(t)成立.而当t(1，1且t时，这样的a不存在.12、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知函数f (x)=ln(2+3x)x2 .（1）求f (x)在0, 1上的极值；（2）若对任意x，不等式|alnx|ln f (x)+3x0成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f (x)= 2x+b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（1），令（舍去）单调递增；当单调递减. 函数在上有极大值 6分（2）由得， 设，依题意知上恒成立，上单增，要使不等式成立，当且仅当 10分 （3）由令，当上递增；当上递减 而，恰有两个不同实根等价于所以,.13、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)设函数.（）求的单调区间；（）若当时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围；()若关于的方程在区间0,2上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。解：()函数的定义域为(，1)(1,) 2分由得，由得.所以函数的递增区间是(-2,-1),(0,+ ),递减区间是(,-2)，(-1,0)4分（）令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知， 故 9分()方程,即记， 则.由得，由得在0,1上递减，在1,2递增. 11分为使在0,2上恰好有两个相异的实根，只须在0,1)和(1,2上各有一个实根，于是有 解得 . 14、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)设函数.（）若x时，取得极值，求的值；（）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；（）设，当=1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）.解： ，（）因为时，取得极值，所以， 即 故 3分（）的定义域为.方程的判别式,(1) 当, 即时，,在内恒成立, 此时为增函数. (2) 当, 即或时，要使在定义域内为增函数, 只需在内有即可,设，由 得 , 所以. 由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是.9分（）证明：，当=1时，其定义域是，令，得.则在处取得极大值，也是最大值.而.所以在上恒成立.因此.因为，所以.则.所以=0时，对任意符合题意；当a2，求函数的单调区间.（1）解：由可得，所以7分 （2）解：当a2时，令可知函数的单调增区间为（，0），（a2，+），单调减区间为（0，a2）.18、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)设函数.（）求f (x)的单调区间；（）若当时，不等式f (x)0；由，得. 3分 f (x)的递增区间是，递减区间是（-1, 0）. 4分（） 由，得x=0,x=-2（舍去）由（）知f (x)在上递减，在上递增. 高三数学（理科）答案第3页（共6页）又 ， , 且. 当时，f (x)的最大值为.故当时，不等式f (x)1或x0） 7分 （1）当时，最小值为；10分 （2）当时，最小值为。26、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知函数 （）若在上是减函数，求的取值范围； （）函数是否既有极大值又有极小值？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）= 1分 在上为减函数，时恒成立 3分即恒成立设，则=时4，在上递减， 5分g() g()=3，3 6分（）若既有极大值又有极小值，则首先必须=0有两个不同正根，即 有两个不同正根。 7分令当2时，=0有两个不等的正根 10分不妨设，由=（）=知：时0，时0，时0，当a2时既有极大值又有极小值27、设函数，其中。（）求的单调区间；（）当时，证明不等式：；（）设的最小值为，证明不等式：；解：（）由已知得函数的定义域为，且，解得2分当变化时，的变化情况如下表：0+极小值由上表可知,当时，函数在内单调递减，3分当时，函数在内单调递增，4分所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。5分（）设。对求导，得：。7分当时，所以在内是增函数。所以在上是增函数。当时，即。8分同理可证x。9分（）由（）知，11分将代入， 得: 即:1(a+1)，13分，即。28、(福建省莆田一中20072008学年上学期期末考试卷)已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即29、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)设函数（1）求函数的极值点（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围（3）证明：解：在上无极值点当时，令,随x的变化情况如下表：x0递增极大值递减从上表可以看出，当时，有唯一的极大值点（2）解：当时，在处取得极大值此极大值也是最大值。要使恒成立，只需的取值范围是（3）证明：令p=1，由（2）知: 30、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为若方程有两个相等的实数根，求的解析式；若函数无极值，求实数的取值范围解：设，不等式的解集为 又有两等根， 由解得 （5分）又，故. （7分）由得，（9分）无极值，方程 ，解得31、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知函数. （）若、，求证：； .（）若，其中，求证：； （）对于任意的、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.解：（）要证：，只需证：，则，只需证：，即，成立，成立.（4分）又,由得：，且，上述两式相加得：.（6分） （）时显然成立，时，由（）得：，.各式相加得：（10分）说明：直接用比较法证明的同样给分. （）（11分）由得或，在上为增函数，恒成立，以的值为长的三条线段一定能构成三角形32、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线 平行，导函数的最小值为 （）求，的值；（）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值 解：（）为奇函数，即2分的最小值为又直线的斜率为因此， 5分（）由（）知 ，列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和8分，在上的最大值是，最小值是33、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)设曲线处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t）. （）求切线l的方程； （）求S（t）的最大值. 解：（）因为，所以切线l的斜率为 2分故切线l的方程为 5分（）令y=0得 7分所以 9分从而 10分当 11分所以的最大值为 34、(广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）若测得该物体在早上8:00的温度为8，中午12:00的温度为60，下午13:00的温度为58，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？解：(1) 因为, 2分而, 故, 3分 . 6分 . 7分 (2) , 由 9分 当在上变化时，的变化情况如下表:-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2+00+ 58增函数极大值62减函数极小值58增函数62 12分由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62.35、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”（）已知函数求证：为曲线的“上夹线” （）观察下图： 根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明解 （）由得， -1分当时，此时， -2分，所以是直线与曲线的一个切点； -3分当时，此时， -4分，所以是直线与曲线的一个切点； -5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR，所以 -6分因此直线是曲线的“上夹线” -7分（）推测：的“上夹线”的方程为 -9分先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设： ，令，得：（kZ） -10分当时,故：过曲线上的点(，)的切线方程为：y= ()，化简得：即直线与曲线相切且有无数个切点 -12分不妨设下面检验g(x)F(x)g(x)F(x)= 直线是曲线的“上夹线”36、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知函数的两条切线PM、PN，切点分别为M、N. （I）当时，求函数的单调递增区间； （II）设|MN|=，试求函数的表达式； （III）在（II）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m1个数使得不等式成立，求m的最大值.解：（I）当 1分.则函数有单调递增区间为2分 （II）设M、N两点的横坐标分别为、，4分同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）由（1）、（2），可得的两根，6分把（*）式代入，得因此，函数8分 （III）易知上为增函数，10分由于m为正整数，.13分又当因此，m的最大值为6. 37、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)已知函数 （）求的极值； （）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。解：（）令2分当是增函数当是减函数4分6分（）（i）当时，由（）知上是增函数，在上是减函数7分又当时，所以的图象在上有公共点，等价于8分解得9分（ii）当时，上是增函数，所以原问题等价于又无解11分38、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知函数f(x)=(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。解：（1）由已知，得h(x)= 且x0, 则h(x)=ax+2-=, （2分） 函数h(x)存在单调递增区间, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x0的解. （3分） 当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需=4+4a0, 即a-1. 即-1a0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-10 一定有x0的解. （6分） 综上, a的取值范围是(-1, 0)(0, +) （7分） （2）方程即为 等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0 . （8分） 设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题. （9分） H(x)=2ax+(1-2a)-= （10分） 当x(0, 1)时, H(x)0, H(x)是增函数； 若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须 （13分）解得, 所以a的取值范围是(1, ) （14分）39、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知函数(其中) ,点从左到右依次是函数图象上三点,且.() 证明: 函数在上是减函数；() 求证：是钝角三角形;() 试问,能否是等腰三角形?若能,求面积的最大值;若不能,请说明理由解：() 所以函数在上是单调减函数. 4分 () 证明:据题意且x1x2f (x2)f (x3), x2=6分8分即是钝角三角形.9分() 假设为等腰三角形，则只能是即 .12分而事实上, 由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以不可能为等腰三角形.14分40、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1（）求直线的方程及的值；（）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（）当时，求证：解：（）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；（）因为（），所以当时，；当时，因此，在上单调递增，在上单调递减因此，当时，取得最大值；（）当时，由（）知：当时，即因此，有41、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)设是函数的两个极值点，且 （）求的取值范围； （）求证：.解证：（I）易得1分的两个极值点，的两个实根，又03分， 7分（）设则由 10分在上单调递增；在上单调递减12 分时，取得极大值也是最大值，14分42、(广东实验中学2008届高三第三次段考)已知函数f(x)=ax3+x2-x (aR且a0)（1）若函数f(x)在（2，+）上存在单调递增区间，求a的取值范围.（2）证明：当a0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点略解、（1）因为f(x)=3ax2+2x-1，依题意存在（2，+）的非空子区间使3ax2+2x-10成立，即 在x（2，+）某子区间上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值为，故（2）由已知a0令f(x)=3ax2+2x-10得故f(x)在区间（）上是减函数， 即f(x)在区间（）上恒大于零。故当a0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点43、(广东省四校联合体第一次联考)设关于的方程的两根分别为、，函数（1）证明在区间上是增函数；（2）当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小(1)证明：，由方程的两根分别为、知时，所以此时，所以在区间上是增函数(2)解：由（）知在上，最小值为，最大值为，可求得，所以当时，在区间上的最大值与最小值之差最小，最小值为444、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知函数（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；（III）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对x（0,+）恒成立，2分4分 （II）设当t=1时，ym I n=b+1；6分当t=2时，ym I n=4+2b8分当的最小值为9分 （III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为10分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则 11分设 12分这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.14分45、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知函数，常数（1）当时，解不等式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由（3）（理做文不做）若在是增函数，求实数的范围解： （1）， 原不等式的解为理4分（文6分）（2）当时，对任意，为偶函数当时，取，得 ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数 理8分（文12分）（3）解法一：设，要使函数在上为增函数，必须恒成立，即恒成立又，a的取值范围是 理12分解法二：f(x)0 在上恒成立，a的取值范围是 理12分46、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知函数的定义域为。（1）求证：直线（其中）不是函数图像的切线；（2）判断在上单调性，并证明；（3）已知常数满足，求关于的不等式的解集解：（1）2分当时，；当时，而在连续，在上是减函数，又函数图像上任意点处切线斜率存在并满足4分当时，直线斜率不存在，直线不是函数图像的切线；当时，直线斜率，则，直线不是函数图像的切线6分已知函数的定义域为。（