第01章 习题 函数与极限.pdf

四川大学大学数学习题册 1 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 21 2 1 3 1 3 数列数列和函数和函数的极限的极限 一 根据数列或函数极限的定义证明下列极限 1 0 1 lim 2 n n n 2 5 2 15 32 lim n n n 3 2 2 4 lim4 2 x x x 4 0 cos lim x x x 5 证明1 1 lim x x x 并求正数X 使得当xX 时 就有01 0 1 1 x x X 二 设 n x为一数列 1 证明 若axn n lim 则 limaxn n 2 问 1 的逆命题 若 limaxn n 则axn n lim 是否成立 若成立 证明之 若不成立 举出反例 逆命题不成立 反例 1 n n x 三 判断下列命题的正误 1 若数列 n x和 n y都收敛 则数列 nn yx 必收敛 正确 2 若数列 n x和 n y都发散 则数列 nn yx 必发散 错误 3 若数列 n x收敛 而数列 n y发散 则数列 nn yx 必发散 正确 四 证明 对任一数列 n x 若ax k k 12 lim且ax k k 2 lim 则axn n lim 五 证明 Axf x lim的充分必要条件是Axf x lim且Axf x lim 六 根据函数的图形写出下列极限 如果极限存在 1 lim arctan x x lim arctan x x 和 limarctan x x 不存在 2 lim sgn1 x x 1lim sgn x x 和 limsgn x x 不存在 四川大学大学数学习题册 2 3 0lim x x e lim x x e 和lim x x e 不存在 七 证明 若 lim 0 xf xx 存在 则函数 xf在 0 x的某个去心邻域内有界 八 证明 函数 xf当 0 xx 时的极限存在的充分必要条件是左极限 右极限均存在并且 相等 即 lim lim lim 00 0 xfAxfAxf xxxx xx 九 设 xxf 求 0 lim 0 x f x 0 lim 0 x f x 和 0 im 0l x f x 十 设xxfsgn 求 0 lim 1 x f x 0 lim 1 x f x 和 0 lim x f x 不存在 1 4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一 填空题 1 当x 时 1 1 x 是无穷小 当1x 时 1 1 x 是无穷大 2 当0 x 时 x e 1 是无穷小 当0 x 时 x e 1 是无穷大 3 当1x 时 xln是无穷小 当0 x 时 xln是负无穷大 当x 时 xln是 正无穷大 二 选择题 当0 x时 函数 xx 1 cos 1 是 D A 无穷小 B 无穷大 C 有界的 但不是无穷小 D 无界的 但不是无穷大 三 证明函数xxxfsin 在 0 内无界 但当 x时 xf不是无穷大 四 判断下列命题的正确性 1 两个无穷小的和也是无穷小 正确 2 两个无穷大的和也是无穷大 错误 3 无穷小与无穷大的和一定是无穷大 正确 4 无穷小与无穷大的积一定是无穷大 错误 5 无穷小与无穷大的积一定是无穷大 错误 6 无穷大与无穷大的积也是无穷大 正确 四川大学大学数学习题册 3 五 举例说明 1 两个无穷小的商不一定是无穷小 2 无限个无穷小的和不一定是无穷小 六 根据定义证明 1 当0 x时 x xxf 1 sin 为无穷小 2 当 0 x时 x exf 1 为无穷大 3 当 x时 x exf 为无穷小 1 5 极限运算法则极限运算法则 一 计算下列极限 1 2 2 lim 31224 x xx 2 2 2 1 31 im 2 1l x xx x 3 2 2 4 im4l 2 x x x 4 1 1 lim 1 n x x n x n是正整数 5 3 1 31 lim 1 1 1 x xx 6 0 2 33 lim3 h xhx x h 二 计算下列极限 1 2 11 lim 3 6 2 x xx 2 2 2 31 lim 41 3 4 x x xx 3 2 32 1 lim 51 0 x xx xx 四川大学大学数学习题册 4 4 2 35 lim 101 x xx x 5 222 1211 lim 2 n n nnn 6 2 2 1 lim 1 1 1 1 1 n n n aaa ab b b bba 7 11 23 lim 23 1 3 nn nn n 三 若0 1 lim 2 bax x x x 求ba 的值 1 1ab 四 若 2 3 11 lim 2 1 x x x a x 求a的值 2a 五 计算下列极限 1 2 2 1 1 lim 2 x xx xx 2 2 lim 543 x xx 3 32 2 51 lim 465 x xx xx 六 计算下列极限 1 2 1 1 lim 1 cos 1 0 x x x 2 3 0 1 lims n0i x x x 3 2 1 arcta 0 n lim x xx x 七 设 2 1 5 1 xx f x xx 分别求函数 xf在1 x与1 x的左极限 右极限和极 限 4 1 不存在 八 设 1 1 lim 2 2 n n n x x xf 试求 xf的表达式 1 1 0 1 1 1 x f xx x 四川大学大学数学习题册 5 1 6 极限存在的两个准则极限存在的两个准则 两个重要极限两个重要极限 一 利用夹逼定理求下列极限 1 222 111 lim 12 0 n nnnn 2 222 111 lim 12 0 n nnnnnnn 3 2 1 lim arctan 0 x x x 二 证明 332lim nnn n 三 设 12 max m aaaa 01 2 k akm 证明 12 lim nnn n m n aaaa 四 设1 a 证明0lim n n a n 五 利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛 并求出极限 1 121 2 22 2 nn xxxx lim2 n n x 2 11 12 11 111 11 n n n xx xxx xx 15 lim 2 n n x 六 设 11 xayb 0 ab nnn yxx 1 2 1 nn n yx y 1 证明数列 n x单调增加 数列 n y单调减少且满足 1 2 nn xy n 2 证明数列 n x和 n y都收敛 并且有相同的极限 七 计算下列极限 1 0 sin33 lim 44 x x x 2 0 sin lim 0 sin x x x 3 lim sin x x x 4 sin m1li x x x 5 0 1 cos lim arctan 1 2 x x xx 6 0 lim 1 cos 2 x x x 四川大学大学数学习题册 6 7 1 lim2 s n 3 0i n n n 八 计算下列极限 1 1 lim 1 1 n n n e 2 52 2 lim 1 x x x e 3 0 lim 1 1 x x e x 4 21 lim 21 1 x x x ex 5 2cot2 0 lim 1tan x x xe 6 2 1 lim 11 n n n 九 已知2 1 lim 1 0 x x ax 求a的值 ln2a 十 设 0 cos1 0 2sin 2 x x x x x x xf 求 0 0 ff 和 lim 0 xf x 2 2 2 十一 设 0 0 tan 2 xxx x x ax xf 已知 lim 0 xf x 存在 求a的值 0a 1 7 无穷小的比较无穷小的比较 一 比较下列各对无穷小 1 22 1 1 1 xxx 后者高阶 2 32 1 1 1 xxx 同阶 3 2 1 cos 0 xxx 同阶 4 2 tansin 0 xxxx 前者高阶 二 证明 当0 x时 有以下等价无穷小成立 1 arcsin xx 四川大学大学数学习题册 7 2 3 tansin 2 x xx 三 利用等价无穷小代换计算下列极限 1 2 0 arctan lim sin 1 x x xx 2 2 1 lim s n0i x x x 3 0 1cos lim 1 cos 1 2 x x xx 四 当0 x 时 下列四个无穷小中 哪一个是比其他三个更高阶的无穷小 A 2 x B 1 cosx C 2 11x D tanxx D 五 证明 若 是 的高阶无穷小 则 六 证明无穷小的等价关系具有下列性质 1 自反性 2 若 则 对称性 3 若 则 传递性 1 8 1 9 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 一 求函数 2 31yxx 当1 0 1xx 时的增量 二 下列函数的间断点 并指出其类型 1 sin x f x x 0 x 为可去间断点 1 2 xkk 为无穷间断点 2 1 1 22 22 x x f x 0 x 为跳跃断点 1x 为无穷间断点 3 1 arctanf x x 0 x 为跳跃断点 三 求函数 2 2 1 32 x f x xx 的连续区间 1 1 2 2 四川大学大学数学习题册 8 四 求函数 3 1 25 1 xx f x xx 的间断点和连续区间 并指出间断点的类型 连续区间 1 1 1x 为跳跃间断点 五 设函数 2 16 4 4 4 x x f x x ax 在 内连续 求a的值 8a 六 利用初等函数的连续性计算极限 1 sin 0 lim x x x ee 2 3 0 11 lim 1 3 12 x x x 3 22 lim011 x xx 七 判断下列命题的正确性 设 f x和 g x在 内有定义 1 若 f x和 g x为连续函数 则 f g x也为连续函数 正确 2 若 f x为连续函数 g x有间断点 则 f g x必有间断点 错误 3 若 f x有间断点 g x为连续函数 则 f g x必有间断点 错误 八 讨论函数 ln 1 0 1 0 11 0 x x x f xx x x x 在点0 x 处的连续性 在0 x 处间断 九 1 设lim 0 x f x 且lim x f x g x 存在 证明 lim lim 1 x f x g x g x x f xe 2 利 用以上公式计算极限 2 lim 1 sin x x x 2 e 十 设 f x在点 0 x连续 且 0 0f x 试证明 存在 使得 00 0 f xxxx 十 一 设 f x和 g x是 连 续 函 数 试 证 明 max xf x g x 和 min xf x g x 也是连续函数 四川大学大学数学习题册 9 十二 1 在点 0 x处 f x连续 g x不连续 则 f xg x 和 f x g x在点 0 x是否连续 f xg x 一定不连续 f x g x可能连续 2 在点 0 x处 f x和 g x不连续 则 f xg x 和 f x g x在点 0 x是否不连续 f xg x 和 f x g x都可能连续 1 10 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一 举例说明在开区间上连续的函数在该区间上不一定有最大值和最小值 不一定是有界函 数 也不一定满足介值定理 二 证明方程2sin2xx 至少有一个小于 3 2 的正根 三 证明方程sinxaxb 00 ab 至少有一个不超过ba 的正根 四