最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第八章立体几何 (7).pdf

第八章第八章立体几何 8 2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 专题 1 空间几何体的表面 积 2015河南省洛阳市高考数学二模 空间几何体的表面积 选择题 理 12 已知点 A B C D 均在球 O 上 AB BC AC 3 若三棱锥 D ABC 体积的最大值为 则球 O 的表面积为 A 36 B 16 C 12 D 解析 设 ABC 的外接圆的半径为 r AB BC AC 3 CBA 120 S ABC 2r 2 r 三棱锥 D ABC的体积的最大值为 D到平面 ABC 的最大距离为 3 设球的半径为 R 则 R2 2 3 R 2 R 2 球 O的表面积为 4 R2 16 故选 B 答案 B 2015河南省洛阳市高考数学二模 空间几何体的表面积 选择题 理 11 如图 网格纸上小正方形的边 长为 1 粗线画出的是某多面体的三视图 则该几何体的各个面中最大面的面积为 A 1B C D 2 解析 由题意 几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥 有 3 个面是全等的等腰直角三角形 面积为 2 2 2 另一侧面是等边三角形 边长为 2 面积为 2 2 2 所以该几何体的各个面中最大面的面积为 2 故选 D 答案 D 2015甘肃省河西五地市高三第一次联考 空间几何体的表面积 填空题 理 14 正四棱锥 P ABCD 的 五个顶点在同一球面上 若该正四棱锥的底面边长为 4 侧棱长为 2 则这个球的表面积为 解析 正四棱锥 P ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上 记为 O PO AO R PO1 4 OO1 R 4 或 OO1 4 R 此时 O在 PO1的延长线上 在 Rt AO1O 中 R2 8 R 4 2 得 R 3 球的表面积 S 36 故答案为 36 答案 36 2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模 空间几何体的表面积 选择题 理 11 四面体 ABCD 的四个顶 点都在球 O的表面上 AB 平面 BCD BCD 是边长为 3的等边三角形 若 AB 2 则球 O 的表面积为 A 4 B 12 C 16 D 32 解析 在四面体 ABCD 中 AB 平面 BCD BCD是边长为 3 的等边三角形 Rt ABC Rt ABD ACD 是等腰三角形 BCD 的中心为 G 作 OG AB 交 AB 的中垂线 HO 于 O O 为外接球的中心 BE BG R 2 四面体 ABCD 外接球的表面积为 4 R2 16 故选 C 答案 C 专题 2 空间几何体的体 积 2015河南省六市高考数学二模 空间几何体的体积 填空题 理 16 三棱锥 P ABC 内接于球 O 球 O 的表面积是 24 BAC BC 4 则三棱锥 P ABC的最大体积是 解析 设球的半径为 R 球心为 O 如图所示 球 O的表面积是 24 4 R2 24 解得 R 设 ABC 的外心为 O1 外接圆的半径为 r 则 O1B r OO1 O1P 在 ABC 中 由余弦定理可得 42 b2 c2 2bccos 化为 b2 c2 bc 16 2bc bc 16 当且仅当 b c 4 时取等号 三棱锥 P ABC的体积 V S ABC O1P bcsin 16 故答案为 答案 2015河南省六市高考数学二模 空间几何体的体积 选择题 理 5 若某几何体的三视图 单位 cm 如 图所示 其中侧视图是一个边长为 2 的正三角形 则这个几何体的体积是 A 2 cm3B cm3C 3 cm3D 3 cm3 解析 由几何体的三视图可知 该几何体为底面是直角梯形 高为的四棱锥 其中直角梯形两底长分别为 1 和 2 高是 2 故这个几何体的体积是 cm3 故选 B 答案 B 2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟 空间几何体的体积 选择题 理 4 如图是一个四棱锥在空间 直角坐标系 xOz xOy yOz三个平面上的正投影 则此四棱锥的体积为 A 94B 32C 64D 16 解析 由已知的三视图可得 其底面面积 S 6 2 2 16 高 h 8 2 6 故四棱锥的体积 V Sh 32 故选 B 答案 B 2015甘肃省河西五地市高三第一次联考 空间几何体的体积 选择题 5 若一个底面为正三角形 侧 棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示 则这个棱柱的体积为 A 12B 36C 27D 6 解析 此几何体为一个三棱柱 棱柱的高是 4 底面正三角形的高是 3 设底面边长为 a 则 a 3 所以 a 6 故三棱柱体积 V 6 3 4 36 故选 B 答案 B 2015甘肃省兰州一中三模 空间几何体的体积 选择题 理 8 某几何体的三视图如图所示 当 a b 取 最大值时 这个几何体的体积为 A B C D 解析 如图所示 可知 AC BD 1 BC b AB a 设 CD x AD y 则 x2 y2 6 x2 1 b2 y2 1 a2 消去 x2 y2得 a2 b2 8 所以 a b 4 当且仅当 a b 2时等号成立 此时 x y 所以 V 1 故选 D 答案 D 2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模 空间几何体的体积 选择题 理 7 设某几何体的三视图如图 单位 m 则它的体积是 A 4 m3B 8 m3C 4 m3D 8 m3 解析 由已知的三视图可得 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥 底面的底边长为 3 1 4m 底面的高 即为三视图的宽 3m 故底面面积 S 3 4 6m2 棱锥的高即为三视图的高 故 h 2m 故棱锥的体积 V Sh 4m3 故选 A 答案 A 专题 3组合体的 接 切 综合问题 2015甘肃省兰州一中三模 组合体的 接 切 综合问题 选择题 理 12 两球 O1和 O2在棱长为 1 的 正方体 ABCD A1B1C1D1的内部 且互相外切 若球 O1与过点 A 的正方体的三个面相切 球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切 则球 O1和 O2的表面积之和的最小值为 A 3 2 B 4 2 C 3 2 D 4 2 解析 AO1 R1 C1O2 R2 O1O2 R1 R2 1 R1 R2 R1 R2 球 O1和 O2的表面积之和为 4 4 2 2 R1 R2 2 3 2 故选 A 答案 A 8 4 直线 平面平行的判定与性质直线 平面平行的判定与性质 专题 2 直线与平面平行的判定与性质 2015河南省洛阳市高考数学二模 直线与平面平行的判定与性质 解答题 理 19 如图 四边形 ABCD 中 AB AD AD BC AD 6 BC 2AB 4 E F 分别在 BC AD 上 EF AB 现将四边形 ABCD 沿 EF 折起 使平面 ABEF 平面 EFDC 1 若 BE 1 是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P 且 使得 CP 平面 ABEF 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 2 求三棱锥 A CDF 的体积的最大值 并求出此时二面角 E AC F 的余弦值 解 1 EF AB AB AD EF AF EF FD 折起后平面 ABEF 平面 EFDC 平面 ABEF 平面 EFDC EF AF 平面 EFDC 假设线段 AD 上存在一点 P 且 使得 CP 平面 ABEF BE 1 可得 F 0 0 0 A 0 0 1 D 0 5 0 C 2 3 0 可得平面 ABEF的法向量为 0 5 0 0 0 1 0 5 0 P 则 0 解得 线段 AD 上存在一点 P 且 使得 CP 平面 ABEF 2 设 BE a AF a 0 a 4 FD 6 a V三棱锥 A CFD a 2 6 a a 6 a 3 当且仅当 a 3 时取等号 当 a 3 时 三棱锥 A CDF 的体积有最大值 3 可得 A 0 0 3 D 0 3 0 C 2 1 0 E 2 0 0 2 0 3 2 1 3 0 0 3 2 1 0 设平面 ACE 的法向量为 m x1 y1 z1 则 令 x1 3 解得 y1 0 z1 2 m 3 0 2 设平面 ACF 的法向量为 n x2 y2 z2 则 同理可得 n 1 2 0 cos 二面角 E AC F的余弦值为 8 5 直线 平面垂直的判定与性质直线 平面垂直的判定与性质 专题 2 直线与平面垂直的判定与性质 2015河南省六市高考数学二模 直线与平面垂直的判定与性质 解答题 理 19 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD ABC 60 AB 2CB 2 在梯形 ACEF 中 EF AC 且 AC 2EF EC 平面 ABCD 1 求证 BC AF 2 若二面角 D AF C 为 45 求 CE 的长 1 证明 在 ABC中 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos60 3 所以 AB2 AC2 BC2 由勾股定理知 ACB 90 所以 BC AC 又因为 EC 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 BC EC 又因为 AC EC C 所以 BC 平面 ACEF 又 AF 平面 ACEF 所以 BC AF 2 解 因为 EC 平面 ABCD 又由 1 知 BC AC 以 C为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz 设 CE h 则 C 0 0 0 A 0 0 F D 所以 设平面 DAF的法向量为 n1 x y z 则 令 x 所以 n1 又平面 AFC 的法向量 n2 0 1 0 所以 cos45 解得 h 所以 CE的长为 专题 3 平面与平面垂直的判定与性质 2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟 平面与平面垂直的判定与性质 选择题 理 6 已知直线 l 平面 直线 m 平面 给出下列命题 1 l m 2 l m 3 l m 4 l m 其中正确的是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 2 4 D 1 3 解析 对于 1 直线 l 平面 直线 m 平面 可得 l l m 所以 1 正确 对于 2 直线 l 平面 直线 m 平面 可得 l与 m 可能异面也可能 l m 所以 2 不正确 对于 3 直线 l 平面 直线 m 平面 l m 满足平面与平面垂直的判断 所以 3 正确 对于 4 直线 l 平面 直线 m 平面 l m 如图 也可能平行 相交 所以 4 不正确 故选 D 答案 D 2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模 平面与平面垂直的判定与性质 选择题 理 5 设 a b 为两条直 线 为两个平面 则下列结论成立的是 A 若 a b 且 a b 则 B 若 a b 且 a b 则 C 若 a b 则 a b D 若 a b 则 a b 解析 A 选项不正确 两个平面中的两条直线平行不能得出两平面平行 B选项不正确 两个平面中的两条直线垂直不能得出两平面垂直 C选项不正确 一个直线与一个平面平行 则与这个平面中的直线的位置关系是平行或异面 D选项正确 垂直于同一平面的两条直线平行 故选 D 答案 D 专题 4 空间中的距离问 题 2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模 空间中的距离问题 解答题 理 19 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都是 2 又 AA1 平面 ABC D E 分别是 AC CC1的中点 1 求证 AE 平面 A1BD 2 求二面角 D BA1 A的余弦值 3 求点 B1到平面 A1BD 的距离 1 证明 以 DA 所在直线为 x 轴 过 D 作 AC 的垂线为 y轴 DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 C 1 0 0 E 1 1 0 A1 1 2 0 C1 1 2 0 B 0 0 2 1 0 1 2 0 0 0 0 0 又 A1D 与 BD 相交 AE 面 A1BD 2 解 设面 DA1B的法向量为 n1 x1 y1 z1 则取 n1 2 1 0 设面 AA1B 的法向量为 n2 x2 y2 z2 则取 n2 3 0 cos 故二面角 D BA1 A的余弦值为 3 解 0 2 0 平面 A1BD 的法向量取 n1 2 1 0 则 B1到平面 A1BD 的距离为 d 8 7 空间几何中的向量方法空间几何中的向量方法 专题 3 利用空间向量求空间 角 2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟 利用空间向量求空间角 解答题 理 18 在三棱柱 ABC A1B1C1中 底面 ABC 为正三角形 且 A1B1 A1A 点 A 在下底面的射影是 A1B1C1的中 心 O 1 求证 AA1 B1C1 2 求二面角 B1 AA1 C1的平面角的余弦值 1 证明 连接 AO 连接 A1O 并延长交 B1C1于点 D 根据题意 易得 AO B1C1 A1D B1C1 B1C1 平面 A1AO AA1 B1C1 2 解 如图 以 D 为原点建立坐标系 D xyz 设 A1A 2 则 A1B1 A1A 点 O为正 ABC 的中心 OD A1D A1B1sin60 A1D A1O 1 AO 则 A A1 B1 C1 1 0 设平面 AA1B1的法向量为 m x1 y1 z1 平面 AA1C1的法向量为 n x2 y2 z2 由 可得 取 x1 z2 1 得平面 AA1B1的一个法向量为 m 3 1 平面 AA1C1的一个法向量为 n 3 1 cos 二面角 B1 AA1 C1的平面角的余弦值为 2015甘肃省河西五地市高三第一次联考 利用空间向量求空间角 解答题 理 19 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形 侧面 A1ACC1为菱形 A1AC 60 平面 A1ACC1 平面 ABC N 是 CC1的中点 1 求证 A1C BN 2 求二面角 B A1N C 的余弦值 1 证明 取 AC 的中点 O 连接 BO A1O 由题意知 BO AC A1O AC 又因为平面 A1ACC1 平面 ABC 所以 A1O 平面 ABC 以 O为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz 则 O 0 0 0 B 0 0 A1 0 0 N C 0 1 0 0 1 因为 0 0 所以 A1C BN 2 解 取 AC的中点 O 连接 BO A1O 由题意知 BO AC A1O AC 又因为平面 A1ACC1 平面 ABC 所以 A1O 平面 ABC 以 O为原点 建立如图所示的空