（基础数学专业论文）几类非自治系统解的存在性及多解性.pdf

吐阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类非自治系统解的存在性及多解 性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工 作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者繇枷易啉沙f 。( ) f d 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类非自治系统解的存在性及多解性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印 件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印 或其他复制手段保存论文。可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名t 导师签名 日期。砂f 。易口 日期：加h6 7i f 。 曲阜师范大学硕士学位论文 几类非自治系统解的存在性及多解性 摘要 临界点理论主要应用变分和拓扑方法，涉及非线性分析中众多领域，是核心 数学的前沿和非线性分析最具活力的热点之一临界点理论及其应用的发展，解 决了许多非线性分析领域的重要前沿问题 作为数学的个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在性， 解的个数及求近似解的方法约翰伯努利( j o h a n nb e r n o u l l i ，1 6 6 7 1 7 4 8 ) 常被认 为是变分法的发明者1 6 9 6 年约翰伯努利向全欧洲数学家挑战，提出了著名的“最 速降线”问题，罗比塔( g u i l l a u m ef r a n c o i sa n t o n i ed el h o s p i t a l1 6 6 1 1 7 0 4 ) ，雅可 比伯努利( j a c o bb e r n o u u i1 6 5 4 - 1 7 0 5 ) ，莱布尼茨( g o t t f r i e dw i l h e l ml e i b n i z ，1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) 和牛顿( i s a a cn e w t o n l 6 4 2 1 7 2 7 ) 都得到了解答欧拉( e u l e rl o n h a r d ， 1 7 0 7 1 7 8 3 ) 和拉格朗日( l a g r a n g e ，j o s e p hl o u i s ，1 7 3 6 - 1 8 1 3 ) 发明了这一类问题 的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支一一变分法 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值及极值点在一定的条件下，微分 方程边值问题可以化为变分问题来研究因此，变分方法就成为研究微分方程边 值问题的一种基本方法 2 0 世纪5 0 年代以后，由于电子计算机的发展，基于变分方法发展起来的有 限元素法，在物理，力学及工程技术中得到了广泛的应用，已经成为计算数学的 个重要分支学科 近2 0 多年来，近代变分方法( 又称为大范围变分法) 得到了重大发展，在对 微分方程和偏微分方程的研究中取得了许多有重要意义的新结果 本文利用变分方法中的极小作用原理，鞍点定理，下降流不变集和n 连环定 理研究了两类非自治系统的解的存在性及多解性 本文共分为两章： 在第一章中。我们讨论了p l a p l a c i a n 系统一 。 杀( 1 a ( t ) l v - 2 也( t ) ) = v f ( t ，t ( z ) ) 口e t r ( 1 1 ) 此处p 1 ，f ：r r _ r ，满足下列假设： ( a ) f ( t ，z ) 对所有的z r 是t 的可测函数，对a e t 【0 ，t 】是z 的连续可微函 曲阜师范大学硕士学位论文 数，且存在a c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r 十) 使得 f ( t ，z ) i a ( x d b ( t ) ，l v f ( t ，z ) isa ( i x ) b ( t ) 对所有的z r 和a e 【0 ：t 】成立我们利用极小作用原理和鞍点定理，得到 ( 1 1 ) 在一定条件下的的周期解的存在性，本章推广了文【1 】中的定理( p = 2 ) 到 p 1 的情况，并给出更一般的形式，最后对文献【2 】2 中的结果进行了补充 在第二章中。我们讨论了二阶非自治系统 t i + v 乱v ( t ：u ) = 0 ( 2 1 ) 的2 ，r 周期解的多解性，这里v ：r r 一r 是光滑函数，且对是2 丌周期的。 v 。y 是y 对第二变元t | 的梯度文【1 4 】利用下降流不变集得到( 2 1 ) 至少存在四 个解，本章应用n 连环定理得到( 2 1 ) 至少存在七个解 关键词：p l a p l a c i a n 系统；周期解；次线性；临界点；下降流不变集； p s 条件 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h cc r i t i c a lp o i n tt h e o r ym a i n l yu s ev a r i a t i o n a la n dt o p o l o g i c a lm e t h o d s in v o l v i n gm a n yf i e l d si nn o n l i n e a ra n a l y s i s i ti st h em o s tv i b r a n tf r o n t i e ri nt h e c o r eo fm a t h e m a t i c sa n do n eo ft h eh o t s p o t si nn o n l i n e a ra n a l y s i s c r i t i c a lp o i n t t h e o r ya u dt h ed e v e l o p m e n to fi t sa p p l i c a t i o n sh a v er e s o l v e dag r e a tn u m b e ro f i m p o r t a n tf r o n t i e ri s s u e si nt h ea r e a so fn o n l i n e a ra n a l y s i s a sab r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，t h eb i r t ho ft h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n si st h er e - s u l to fc o n t i n u o u s l ye x p l o r i n gm a n yp h e n o m e n e n si nt h er e a lw o r l d t h ec a l c u l u s o fv a r i a t i o n si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sc o n s i d e r i n gav a r i a t i o n a lp r o b l e mi n s t e a d o ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi no r d e rt op r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，t h e n u m b e ro fs o l u t i o n sa n dt h em e t h o do fo b t a i n i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s j o - h a n nb e r n o u u i ( j o h a n nb e r n o u l l i ，1 6 6 7 - 1 7 4 8 ) i so f t e nc o n s i d e r e da st h ei n v e n t o r t j fc a l c u l u so fv a r i a t i o n s i n1 6 9 6j o h a n nb e r n o u l l ic h a l l e n g e dt ot h ee u r o p e a n m a t h e m a t i c i a n s ，a n dh em a d et h ef a m o u s b r a c h i s t o c h r o n c ”p r o b l e m l h o s p i t a l ( g u i l l a n m ef r a n c o i sa n t o n i ed el h o s p i t a l1 6 6 1 - 1 7 0 4 ) ，j a c o bb i b o n u l i ( j a c o b b e r n o u l l i1 6 5 4 - 1 7 0 5 ) ，l e i b n i z ( g 0 t t f r i e dw i l h e l ml e i b n i z ，1 6 4 6 1 7 1 6 ) a n dn e w - t o n ( i s a a cn e w t o n l 6 4 2 17 2 7 ) h a v ea n s w e r e dt h i sq u e s t i o n e u l e r ( e u l e rl o n h a r d ， 1 7 0 71 7 8 3 ) a n dl a g r a n g e ( l a g r a n g e ，j o s e p hl o u i s ，1 7 3 6 - 1 8 1 3 ) i n v e n t e da g e n e r a l m e t h o do ft h i sk i n do fp r o b l e m ，t h u se s t a b l i s h i n gan e wb r a n c ho fm a t h e m a t i c s c a l c u l u so fv a r i a t i o n s t h em a i ni d e ao fc l a s s i c a lv a r i a t i o n a lm e t h o di st oa s c e r t a i nt h ee x t r e m e v a l u ea n de x t r e m ep o i n t s u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m c a nb ec h a n g e di n t oav a r i a t i o n a lp r o b l e mt ob es t u d i e d t h e r e f o r e ，v a r i a t i o n a l m e t h o d si sab a s i ca p p r o a c hf o rs t u d y i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a f t e rt h e1 9 5 0 s ，d u et ot h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r ，t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o db a s e do nv a r i a t i o n a lm e t h o dh a v eb e e n w i d e l yu s e di np h y s i c s ，m e c h a n i c s a n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y i th a sb e c o m ea ni m p o r t a n tb r a n c ho fc o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s t h ep a s t2 0y e a r s ，m o d e r nv a r i a t i o n a lm e t h o d s ( a l s oc a l l e da sl a r g e - s c a l e v a r i a t i o n a lm e t h o d ) h a sb e e ns i g n i f i c a n t l yd e v e l o p e da n do b t a i n e dm a n yi m p o r - t a n tn e wr e s u l t si nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ec x i s t a n c h n dt h em u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s o ft w ok i n d so fn o n a u t o n o m o u ss y s t e m sb yu s i n gt h el e a s ta c t i o np r i n c i p l e ，t h e s a d d l et h e o r e m ，t h ei n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o wa n dt h ec h a i no fr i n g s t h e o r e m t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc ha p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s st h ep - l a p l a c i a ns y s t e m s 云( p 也( t ) ) = v f ( t ，让( t ) ) n e t 冗 ( 1 1 ) w h e r ep l ，f ：r r 一r ，s a t i s f i e st h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n ( a ) f ( t ，z ) i sm c a s u r a b l ci ntf o re a c h 茁r ，c o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei nz f o r a e t 【0 ，卅，a n dt h e r ec x i s ta c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，丁；r + ) s u c ht h a t f ( t ，z ) i a ( i x l ) b c t ) ，i v g ( t ，z ) i n ( i z i ) 6 ( ) o ra l lz r a n do e t f o ，卅 w ec a ng e tt h et h ee x i s t a n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so f ( 1 1 ) b yu s i n gt h el e a s ta c t i o n p r i n c i p l ea n dt h es a d d l et h e o r e m i nt h i sc h a p t e r ，w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so f 【l 】( p = 2 ) t ot h ec a s eo f p 1 ，a n ds h o wt h e m o r eg e n e r a lf o r m a tt h ee n do f c h a p t e r1 ，w es u p p l e m e n tt h er e s u l t so f 【2 1 i nc h a p t e r2 ，w et a l ka b o u tt h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e rn o n 一| j u t o n o m o u s s y s t e m s 乱+ v u v ( t ，让) = 0 ( 2 1 ) h e r ev ：r r _ ri sas m o o t hf u n c t i o na n di sp e r i o d i ci ntw i t hp e r i o d 2 7 r ，v “vi st h eg r a d i e n to fv w i t hr e s p e c tt ou i n 【1 4 ，t h ea u t h o r sg e ta tl e a s t f o u rp e r i o d i cs o l u t i o n so f ( 2 1 ) b yu s i n gt h em e t h o do fi n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n g f l o w i nt h i sc h a p t e r ，w eg e ta tl e a s ts e v e np e r i o d i cs o l u t i o n so f ( 2 1 ) b yu s i n g c h a i no fr i n g st h e o r e m k e y w o r d s p - l a p l a c i a n ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；s u b l i n e a r ；c r i t i c a lp o i n t ； i n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w ；( p s ) c o n d i t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章一类p l a p l a c i a n 系统的周期解1 1 1 引言和主要结果l 1 2 预备知识和引理6 1 3 定理的证明9 1 4 例子1 7 第二章一类非自治二阶系统的多解1 8 2 1 引言和主要结果1 8 2 2 预备知识和引理2 0 2 3 定理的证明2 4 参考文献3 0 在校期间完成的论文3 3 致谢3 4 第一章一类p l a p l a c i a n 系统的周期解 1 1 引言和主要结果 考虑p l a p l a c i a n 系统： d ( i 也( ) l p 一2 也( ) ) = v f ( t ，u ( t ) ) n e 月 ( 1 1 ) 此处p 1 ，f ：r r 一r ，满足下列假设。 ( a ) f ( t ，z ) 对所有的z r 是的可测函数，对a e t 【0 ，t 1 是z 的连续可 微函数，且存在a c ( r + ，矿) ，b l 1 ( o ，丁；舻) 使得 i f ( t ，：) i n ( 1 z i ) 6 ) ，i v f ( t ，z ) i n ( i z i ) 6 ( t ) 对所有的z r 和a e t 【0 ，卅成立 当p = 2 时，问题( 1 1 ) 即变为二阶哈密顿系统 f i ( t ) = v f ( t ，札( z ) ) n e t r ( 1 2 ) 问题( 1 2 ) 的周期解和次调和解的许多存在性结果可以通过使用变分法的基 本原理得到( 参见【1 , 3 ，5 ，7 ，8 ，9 】及其参考文献) 在次二次条件和f 强制的条件下， 文献【5 】的作者得到了问题( 1 2 ) 的周期解的存在性，其中，次二次条件即：存在 0 p 0 ，使得对所有的r 和a e t 【0 ，卅有 ( v f ( t ：z ) ，z ) i l f ( t ，z ) ， 强制条件即：当_ + o o 时，对a e t 【0 ，卅一致有 f ( t ，z ) _ + 文献【8 】进步推广了上述次二次条件，在下述条件下证明了问题( 1 2 ) 的周 期解和次调和解的存在性。对a e t 【0 ，卅一致有 毕mf ( v f ( t ，z ) ，x ) 一2 f ( t ，z ) 】_ 一 l 王l _ 1 第一章一类p - l a p l a c i a n 系统的周期解 及对a e 【0 ，卅一致有 i 慧掣- o 文献【6 】在对问题( 1 1 ) 的研究中。将文献【5 】的条件推广为：存在0 1 的情况下，推广定 理a 及定理b 的结论，见定理1 3 和定理1 4 ：并给出更般的形式，即定理1 5 和定理1 6 由于文献【2 , 3 】分别给出了问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 在f 反强制的条件下 解的存在性，故在本章的最后，我们用定理1 7 和定理1 8 补充了f 在般强制 条件下的结论本章的主要结果有： 定理1 1 令f ：r ，_ r 使得f ( t ，z ) 满足条件( a ) 设下列条件成立t ( f 1 ) 存在夕l 1 ( o ，t ；舻) 对所有的z r ，是t 的t 一周期函数，使得对 所有的z r 和a e t 【0 ，t l 有 l v f ( t ，z ) i 夕( ) ， ( f 2 ) 当_ o o 时，有 f o r f ( t ，z ) 出一+ 。o 则问题( 1 1 ) 在衅p 上至少存在一个解 定理1 2 令f ：r r _ r ，使得f ( t ，z ) 满足条件( a ) 假设( f 1 ) 和下列 条件成立t ( f 3 ) 当_ 时，有 ，t f ( t ，x ) d t _ 一o o ，o 则问题( 1 1 ) 在啡p 上至少存在个解 定理1 3 令f ：r r _ r 使得f ( t ，z ) 满足条件( a ) 假设下列条件成 立。 3 第一章 一类p l a p l a c i m l 系统的周期解 ( f 4 ) 存在f ，夕l 1 ( 0 ，t ；r + ) 对所有的z r ，是t 的丁一周期函数，存在 q 【o ，p 一1 ) ，使得对所有的z r 和a e t 【0 ，t 】有 i v f ( t ，z ) l 厂( ) i z i a + 夕( ) ， ( f 5 ) 当_ o o 时，有 h 一驴z tf ( t ，z ) 出_ + o 。，口= 歹马， 则问题( 1 1 ) 在坼p 上至少存在个解 定理1 4 令f ：r r _ r 使得f ( ，z ) 满足条件( a ) 假设( f 4 ) 和下列 条件成立： ( f 6 ) 当h _ 时，有 一驴r f ( 缸) 班_ 一o o ，口= 寿， 则问题( 1 1 ) 在w p 上至少存在个解 定理1 5 令f ：r r _ r 使得f ( t ，z ) 满足条件( a ) ，且f ( t ，z ) = g ( z ) + h ( t ，z ) 假设条件( f 5 ) 和下列条件成立- ( f 7 ) 存在，：夕l 1 ( o ，t ；冗+ ) 对所有的z r n ，是t 的t 一周期函数，存在 口【o ，p 一1 ) ，使得对所有的z r 和a e t 【o ，t 】有 i v h ( t ，z ) lsf ( t ) x l 口+ g ( 0 ， ( f 8 ) 对上述a ，存在常数g 0 ，使得对所有的z r 有 l v g ( x ) 一v g ( y ) i c o i z 一! ，i a ， 则问题( 1 1 ) 在噼p 上至少存在个解 定理1 6 令f ：r r _ r 使得f ( t ，z ) 满足条件( a ) ，且f ( t ，z ) = c ( x ) + h ( t ，z ) 假设条件( f 6 ) ( f 7 ) ( f 8 ) 成立，则问题( 1 1 ) 在噼p 上至少存在个解 注1 定理3 ，4 可由定理5 ，6 直接得到且当口= 0 时，定理3 ，4 即变为定理1 ，2 4 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 7 假设f 满足条件( a ) ，且下列条件成立： ( f 9 ) 存在p ( t ) l 1 ( 0 ，7 1 ) ，使得对所有的z r n 和a i e t 【0 ，t 】有 p ( t ，z ) p ( t ) ， ( f 1 0 ) 设存在ec 【0 丁】，m e a s ( e ) 0 ，使得，当_ 0 0 时，对a e t e 有 f ( t ，z ) _ + o o ， 则问题( 1 1 ) 在噼，p 上至少存在个解 定理1 8 假设f = g x + 马，r 和f 2 满足条件( a ) ，且下列条件成立： ( f 1 1 ) 存在卢( t ) l 1 ( o ，t ) 使得对所有的z r n 和a e t 【0 ，卅有 有 f 1 ( t ，z ) f l ( t ) ， ( f 1 2 ) 设存在ec 【0 ，7 1 ，m e a s ( e ) 0 ，使得，当h 0 0 时，对a e t e r ( t ，z ) _ + o o ， ( f 1 3 ) 存在h ( t ) l 1 ( o ，t ) ，使得对所有的z r n 和a e t 【0 ，卅有 i v f 2 ( t ，z ) i ( ) ， ( f 1 4 ) 存在口r 使得对所有的zer 有 z r 晰脞c ， 则问题( 1 1 ) 在w p 上至少存在一个解 注2 容易看出定理7 可由定理8 直接得到 5 第一章一类p l a p l a c i a n 系统的周期解 1 2 预备知识和引理 令t 是正实数且1 p o 。我们用来表示由“驴( 0 ，t ；r ) 构成 的s o b o l e v 空间噼，r ，其中u 有弱导数也上尸( o ，丁；r ) ，且w 是个自反的 b a n a c h 空间 w 上的范数定义为 l i 让i i 伽= ( z tl u ( t ) l p d + o t i 也( ) l p d ) ； 另外，我们知道 i l u l p ：( f t ；， 且 删一t 【0 m a 州x 让( 。) i t l l j l 任意的让w ，有u ( t ) = 西+ 五( ) 其中 面= ；厶岫 且 f o r 菘( t ) 出= 。 我们有s o b o l e v 不等式 i i u i a i l u l i p ，v u w 和w i r t i n g e r s 不等式 i l u l l p 6 i i 石i i p ，v u 彬 易知 亩：吐 相应的泛函妒在w 上的定义为 出) = o t 【扣驯p + 即，u ) m 6 曲阜师范大学硕士学位论文 我们将在定理1 3 的证明中说明，泛函妒是弱下半连续的( 伽f 8 c ) 并且是g 1 的 引理1 - l ( 【9 】，定理1 1 ) 若泛函9 在自反的b a n a c h 空间w 是伽j 8 c 的，且 有一有界的极小化序列，则泛函妒在w 上存在极小值 引理1 2 ( 【9 】，定理1 4 ) 令l ：【0 ，t i r 冗_ r ，( t ，z ，可) 一l ( t ，z ，y ) 对所有的ky 】r r 是t 的可测函数，对a e t 【0 ，t 】是陋，y 】得连续可 微函数若存在a c ( r + ；r + ) ，b l 1 c o ，t ；r + ) 和c l q ( o ，t ；r + ) ，1 q o o ， 使得，对a e t 【0 ，t 】和所有的k ，y 】r r ，有 i l ( t ，z ，y ) i a ( i x l ) ( b ( t ) + i y i p ) 1 1 - ) = l ( lz ，可j isa l i x l ) ( o ( t ) + i 可rj i d l ( t ，z ，譬) isa c l ：c 1 ) ( c ( t ) + l 可i p 一1 ) 此处；1 + i 1 = 1 ，则泛函妒是w = 嵋p 的连续可微函数，这里妒定义为 咖) = ：r 脚州啪出 且有 t t ( ( u ) ， ) = 【( d 2 l ( ，u ( t ) ，也( t ) ) ， ( t ) ) + ( d v l ( t ，札( t ) ，吐( t ) ) ，i j ( t ) ) d t ，0 引理1 3 ( 【6 】，引理3 1 ) 在s o b o l e v 空间睇p 中，对u 噼p ，i i u l l 叶 当且仅当 ( 即+ o 丁眦) ；- - , c o 引理1 4 ( 9 1 ，命题1 2 ) 若序列( u 七) 在w p 中弱收敛，则( 札七) 在【0 ，t i 上 一致收敛 7 第一章一类p l a p l a c i a n 系统的周期解 引理1 5 ( 2 1 ，定理8 ) 令x 是一个实的b a n a c h 空间，令妒是定义在义的局 部l i p s c h i t z 泛函，妒满足【l s ) 条件假设x = x lox 2 ，其中x l 是x 的有 限维子空间，且存在常数b l 0 存在e 的子集b ，l l l e a $ ( 助) 6 ，使得当吲_ 0 0 时，对t e 6 一 致有 f ( t ，z ) _ + 。o 引理1 7 ( 1 2 1 ：引理3 ) 设f 满足条件( a ) ，且e 是【0 ，t i 的可测子集假 设当h _ o o 时，对t e 一致有 f ( t ，z ) 叶+ o o 则存在实函数，y l 1 ( e ) 和p c ( r ，冗) ，满足p ( x ) 是次可加的，即，对所有 的z ，y r n 有 p ( x + y ) p ( x ) + p ( ) ； 且p ( x ) 是强制的，即，当_ 0 0 时，有 p ( z ) _ + o o ， 并对所有的z 冗有 p ( x ) i x i + 4 ； 使得对所有的z r 和a e t e 有 f ( x ，t ) p ( x ) + 1 ( t ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3 定理的证明 定理1 3 的证明 令 k p _ 1 i ! ，i p + 盹z ) ， 此处 i f ( t ，z ) i n ( i z i ) 6 ( t ) ，i v f ( t ，z ) i a ( 1 z d b ( t ) 令，j 】( ) = a ( i x l ) 4 - 1 ，存在c l q ( o ，t ；肘) ，1 0 ，s u p s 妒 0 1 5 第一章一类p l a p l a c i a n 系统的周期解 根据条件( f 1 1 ) 和引理1 7 有 ， r ( t ，u ( ) ) 出 。 r ( 亡，u ( t ) ) d t + p ( t ) d t j e 6 ，【o ，明e 6 厶跏) 出+ 厶7 丘烈助雕) 出 厶( 跑) - p ( 面) ) 出+ 厶7 名外岛雕) 出 p ( f i ) m e a s e 6 一( 1l 石ii + 4 ) m e a s e 6 + y ( t ) d t + p ( ) d ! t ，j 珏 ， o ，刀z 6 根据条件( f 1 4 ) 有 ， b ( ，u ( t ) ) d t j 0 = o tr l ，面) 出+ z t 0 1 ( v b ( ，面+ s 在( t ) ) ，冠( 啪d s 砒 z t b ( ，色) d 一i i 苞i i t g ( ) 出 由s o b o l e v 不等式易知 妒( t 上) ；1 旧+ p ( 面) s 岛一( 悔+ 4 ) m e 口s 昂+ 厶，y ( ) 出+ 名孙岛p ( ) 出 + r ( t ，云t ) d t l i 石i i h ( t ) d t p ( 冠) m e 口s 邑+ g + 扣训；一( m e 助+ r h ( t ) 出) 口i l p + 厶7 ( ) 出 + p ( t ) d 一4 m e a s e s 与定理1 3 的证明类似，妒( u ) 强制定理1 8 结论成立 1 6 1 4 例子 本节我们将给出几个例子 定理1 3 的例子：令 f ( t ，z ) = ，7 ( ) i z l 口+ 1 这里( ，z ) r r ，0 f 【o ：p 一1 ) ；且t 7