博弈类游戏初探.doc

博弈类游戏初探柯希湖 鄂尔多斯市一中1047190618本文内容是我为我校数学建模社团设计的一节课程内容，以井字棋游戏为主要载体，附讲扑克牌游戏和九宫图游戏，旨在引导学生关注日常生活中隐藏的数学知识，并应用数学的思想和知识建立解决问题的模型，从而更深刻地认识数学，更主动地应用数学。如有需要改进和提升的环节，敬请斧正！兴趣课堂引入数学源于生活，又服务于生活。在我们的日常生活中，就有很多类似井字棋、扑克牌等数学性质明显的游戏，这些游戏的出现和推广，既可以锻炼我们的动手能力和应变能力，也可以作为我们发展知识和开拓思维的载体。此外，也给我们呈现了一种全新的认识数学这门学科的角度，其中精彩纷呈的游戏过程，令人恍然大悟的数学解答，无时不刻不在展现着数学的魔力。今天我们先来看一类游戏井字棋(Tic-Tac-Toe)。井字棋游戏是一种简单的连珠游戏，不论童叟，蹲在地上就可以开始画和进行游戏。这种游戏起源于公元前1世纪的古罗马，据传是人们利用在斗兽场看比赛的间隙用来消磨的小游戏，也有说法是人们在斗兽场看到角斗失败者被送入狮口或虎口时被残忍暴力的场面惊吓而忍不住脚趾重复敲击地面而得名。ABC123其游戏规则极为简单：甲乙两位选手轮流在井字形棋盘上放入棋子，无论在横竖斜方向上，谁先得到三个棋子连成直线谁就赢。如图甲走2B位，乙走2A位；甲走1A位，乙走3C位；甲走2B位，乙走1C位；甲走3B位，甲赢； 学生合作探究同学们可以与同桌在上图的空白棋盘上下一下，看谁能赢？通过我们同桌对战，我们可能会感觉到先走的选手占优势，那么这种感觉对不对呢？可以验证一下，在甲乙两人的对战中，如果先走的选手占优势，那就意味着先手可能会有某种必胜的策略，究竟有没有这种“锦囊妙计”呢？同学们相互探究一下吧！典型情况探究我们将棋盘中的位置分为三类：第一类：2B这个处于棋盘正中心的位置，称为“中位”第二类：1B、2A、3B、2C这四个处于中心前后左右的旁边位置，称为“旁位”第三类：1A、3A、1C、3C这四个处于棋盘角落的位置，称为“角位”下面我们主要探讨一下两种走法：走法一：甲走2B位，乙走2A位(旁位)；甲走1A位，乙走3C位；甲走2B位，乙走1C位；甲走3B位，甲赢； 走法二：甲走2B位，乙走1A位(角位)；甲走3A位，乙走1C位；甲走1B位，乙走3B位；甲走2C位，乙走2A位；和棋； ABC123 ABC123教师点拨小结下棋可以看做两军对垒，以上两种走法就分别体现了战略上的不同。甲：两种走法中甲都首先占据了中心的有利位置，再放一个子到角位，从而展开攻势；乙：乙在后手的情况下，首先需要考虑防守，在保证不失败的基础上展开攻势，只不过两种走法中乙的占据的“制高点”不同方法一中乙占据了旁位，方法二中已占据了角位。从最后的结果来看，乙占据旁位后完全丧失进攻能力，而占据角位后仍有进攻能力，可见“一着棋错，满盘皆输”，我们每一步都得走好。综合上述分析，实战中确实先手占优势，后手占劣势。那么占优势的一方其目标是“求胜”，占劣势的一方目标是至少“不败”。其策略如下：先手策略先占“中心”，再放“角位”，抓住对手失误，可以达到取胜或求和的棋局；后手策略先选“角位”，确定不败，伺机进攻，这样就可以取胜或求和的棋局；师生拓展提醒为什么会出现上述策略呢？其实井字棋游戏和以下两个游戏的原理是一致的，只是以不同的规则和不同的形式呈现出来。分析清楚下面的两个游戏，对上述游戏你也就能“百战不殆”了。游戏二：现有上面标有数字1到9的9张扑克牌，甲乙二人轮流从中选出自己想要的牌，谁的手中先有3张扑克牌上的数字加起来等于15谁就赢。比如：甲选6，乙选3；甲选7，乙选4；甲选2，甲赢；试试看，你能不能赢了你的同桌？游戏三：将1到9这9个数字填入下列方格中，使得方格中横竖斜方向上的3个数字之和均为15.ABC123师生研讨探究因为1到9这9个数字呈首项为1,且公差为1的等差数列，所以最中间的数字5是一个“四通八达”的数，能够构成如下等式：因此，在填数字时正中间填5，相当于占据了最有利的位置。再将2468按和为15的要求填入“角位”；最后将1357填入“边位”即可。164825973ABC123由此可以看出，无论是井字棋、扑克牌还是九宫图游戏，其本质是利用1至9这个等差数列的一些特殊项的和的性质。井字棋的策略实际上是先选5这个特殊数字，再尽量选2、4、6、8这四个比较特殊的数字，最后选1,3,5,7这四个数字。此外，一个有趣的现象是，如果综合两个选手各自的目标和策略，且不出现某一方的策略“泄露”，那么可能出现的最佳结果并不是某一方输或赢，而是和棋；但如果出现策略泄露，例如在人与计算机玩井字棋游戏时，由于计算机设计者事先了解到大部分“明智”的人会选择先填中位5，再填角位(2,4,6,8)，最后填边位(1,3,5,7)，于是便设计了如下“陷阱”，将计就计：电脑(白棋)先走电脑走1A位，乙走2B位；电脑走3C位，乙走1C位；电脑走1C位，乙走3A位；电脑赢； ABC123 由此我们可以看到：再好的