在行程问题的学习中渗透数学建模的思想[文档资料]

在行程问题的学习中渗透数学建模的思想 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 生活是数学的发源地，我们都能在生活中找到数学踪迹 . 数学课程标准指出： “ 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具 . ” 既然数学来源于生活，那么我们的数学学习就不应该只是单纯的知识领悟，而应遵循源于生活、寓于生活的理念，通过题目体会到数学就在我们身边，感受到数学的趣味和作用 . 例 1 某旅游团从宾馆出发去风景点 A 参观游览，在 A景点停留 1 小时后，又绕道去风景点 B， 再停留半小时后返回宾馆 . 去时的速度是 5 千米 /时，回来的速度是 4 千米 /时，来回（包括停留时间在内）共用去 6.5 小时，如果回来时因为绕道关系路程比去时多 2 千米，求去时的路程 . 【分析】这个题目看起来比较麻烦，但是仔细观察就会发现题目里要求的也只是一个未知数，即去时的路程，而题目的等量关系是：去的时间 +回来的时间 +停留的时间 =共用的时间 . 在这里 “ 去的时间 ” 是未知的，如果直接设去时的路程为 x 千米，那么回来时的路程就是（ x+2）千米，去时路上所需时间是 小时，回来时路上所需时间是 小时 . 根据题意，得 +1+=6.5. 解方程，得 x=10. 例 2 有两个矩形，第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽之比顺次为 5432 ，第一个矩形的周长比第二个矩形的周长长 72厘米，求这两个矩形的面积 . 【分析】很明显，如果采用直接设立未知数的方法，把这两个矩形的面积设作未知数，那么方程是不容易列出来的 . 注意到矩形的面积等于它的长乘宽，而长与宽的关系可以从题目中给出的条件找到，那么可以采用间接设立未知数的方法，先求出它的长与宽，然后再求它们的面积 . 解法 1：设第一个矩形的长为 5x厘米 ，宽为 4x厘米，第二个矩形的长为 3x厘米，宽为 2x厘米 . 根据题意，得 2（ 5x+4x） -2（ 3x+2x） =72. 解法 2：设第一个矩形的长为 x 厘米，它的宽为 厘米，第二矩形的长为 厘米，宽为 厘米，根据题意，得2x+ -2+=72. 解法 3：设第一个矩形的长为 x 厘米，它的宽为 y 厘米，第二个矩形的长为 z 厘米，宽为 w 厘米 . 根据题意，得xyzw=5432 ， 2（ x+y） -2（ z+w） =72. 例 3 某校举行数学竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的 ，已知选拔分数线 （选拔最低分数）比总人数的平均分少 2分，比被选中学生的平均分数少 11分，并且等于被淘汰学生的平均分数的 2 倍，求选拔分数线为多少？ 【分析】从题目中分析，此题的等量关系是：所有学生的总分数 =被选拔学生的分数 +被淘汰学生的分数，而要求各类分数，必须知道各类学生数 . 因此在设选拔最低分数为 x分的同时，设被淘汰的人数为 m 人，那么总人数为 4m人，选中的学生数为 3m人 . 这里的 m 是一个辅助未知数，不必求出它的结果，一般在解题过程当中可消掉 . 解：根据题意，得 4m（ x+2） =3m（ x+11） +m ，解 方程，得 x=50. 答：选拔最低分数为 50分 . 例 4 某商店有甲、乙两种钢笔共 143 支，甲种钢笔每支 6 元，乙种钢笔每支 3.78 元，某学校购了该商店的全部乙种钢笔和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？ 【分析】在 “ 买甲种钢笔付款 +买乙种钢笔付款 =总付款数 ” 的等量关系中，涉及甲种钢笔总数和付款总数，因此可以选择它们作为辅助未知数 . 解：设购买甲种钢笔占甲种钢笔总数的百分比为 x，甲种钢笔总数为 m 支， 付款总数为 T 元，根据题意，得T=6xm+3.78（ 143-m） =（ 6x-3.78） m+3.78143. 因为 T 与 m无关，所以 6x-3.78=0. 即 x=0.63=63%. 答：购买的甲种钢笔是该店甲种钢笔总数的 63%. 例 5 张先生买了一只旅行水瓶，用去了身边所带钱数的一半加 1 元；接下来买了一大包食品，用去了剩余钱数的一半加 2 元；然后再买了一大瓶饮料，用去了剩余钱数的一半加 3 元；最后只剩 1 元钱 . 请问张先生买的几样东西的价钱各是多少呢？ 【分析】张先生买东西的过程都是和钱数有 关系的，所以可以设张先生身边所带的钱数为 x，则他第一次花的钱数是 x+1 元，剩余钱数是 x -1 元；第二次花的钱数是 x+元，剩余钱数是 x - 元；第三次花的钱数是 x+ 元，剩余的钱数是 1 元 . 等量关系为 “ 全部的钱数减去三次所花钱数就等于 1 元 ”. 解：设张先生身边所带钱数为 x 元，则根据题意得 x-x+1 -x+ -x+=1 ， x-x -1-x - -x -=1 ， x= ， x=42. x+1=22 （元）， x+=12 （元）， x+ =7 （元） . 答：张先生买的旅行水瓶的价格是 22元，食品的价格是 12元，饮料的价格是 7 元 . 【点评】方程是解决问题的重要工具 .在实际问