高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法（二）求空间角学案 理 北师大版.doc

8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离最新考纲考情考向分析1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，求法cos cos 2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)知识拓展利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点a(x1，y1，z1)，点b(x2，y2，z2)，则|ab|. (2)点到平面的距离如图所示，已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离为|.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()(5)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()题组二教材改编2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()a45 b135c45或135 d90答案a解析cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45.3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为_答案解析以a为原点，以，(aeab)，所在直线分别为x轴，y轴，z轴(如图)建立空间直角坐标系，设d为a1b1的中点，则a(0,0,0)，c1(1，2)，d(1,0,2)，(1，2)，(1,0,2)c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角，cosc1ad，又c1ad，c1ad.题组三易错自纠4在直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案c解析以点c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设直三棱柱的棱长为2，则可得a(2,0,0)，b(0,2,0)，m(1,1,2)，n(1,0,2)，(1，1,2)，(1,0,2)cos，.5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_答案30解析设l与所成角为，cosm，n，sin |cosm，n|，090，30.6(2018马鞍山月考)过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp所成的角为_答案45解析如图，以点a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设abpa1，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)，由题意，知ad平面pab，设e为pd的中点，连接ae，则aepd，又cd平面pad，cdae，从而ae平面pcd.(0,1,0)，分别是平面pab，平面pcd的法向量，且，45.故平面pab与平面pcd所成的角为45.题型一求异面直线所成的角典例 如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值(1)证明如图所示，连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc2，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef，从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，ac，fg平面afc，所以eg平面afc.因为eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)解如图，以g为坐标原点，分别以gb，gc所在直线为x轴，y轴，|为单位长度，建立空间直角坐标系，由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f，c(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值跟踪训练 (2017广东五校诊断)如图所示，菱形abcd中，abc60，ac与bd相交于点o，ae平面abcd，cfae，abae2.(1)求证：bd平面acfe；(2)当直线fo与平面bed所成的角为45时，求异面直线of与be所成角的余弦值的大小(1)证明四边形abcd是菱形，bdac.ae平面abcd，bd平面abcd，bdae.又acaea，ac，ae平面acfe，bd平面acfe.(2)解以o为原点，oa，ob所在直线分别为x轴，y轴，过o且平行于cf的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则b(0，0)，d(0，0)，e(1,0,2)，f(1,0，a)(a0)，(1,0，a)设平面ebd的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，则n(2,0,1)，由题意得sin 45|cos，n|，解得a3或a(舍去)(1,0,3)，(1，2)，cos，故异面直线of与be所成角的余弦值为.题型二求直线与平面所成的角典例 (2016全国)如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点(1)证明：mn平面pab；(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值(1)证明由已知得amad2.取bp的中点t，连接at，tn，由n为pc的中点知tnbc，tnbc2.又adbc，故tn綊am，四边形amnt为平行四边形，于是mnat.因为at平面pab，mn平面pab，所以mn平面pab.(2)解取bc的中点e，连接ae.由abac得aebc，从而aead，ae .以a为坐标原点，ae，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，p(0,0,4)，m(0,2,0)，c(，2,0)，n，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面pmn的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.设an与平面pmn所成的角为，则sin ，即直线an与平面pmn所成角的正弦值为.思维升华 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角跟踪训练 如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值(1)证明易知ab，ad，aa1两两垂直，如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为acbd，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，a(，1,0)，因为3300，所以，即acb1d.(2)解由(1)知，(0,3,3)，a(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成的角为，则sin |cosn，|，即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为.题型三求二面角典例 (2017全国)如图，四棱锥p-abcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求平面mab与平面abd夹角的余弦值(1)证明取pa的中点f，连接ef，bf.因为e是pd的中点，所以efad，efad.由badabc90，得bcad，又bcad，所以ef綊bc，四边形bcef是平行四边形，cebf，又bf平面pab，ce平面pab，故ce平面pab.(2)解由已知得baad，以a为坐标原点，ab，ad所在直线分别为x轴，y轴，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为bm与底面abcd所成的角为45，而n(0,0,1)是底面abcd的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20.又m在棱pc上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)或所以m，从而.设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则即所以可取m(0，2)于是|cosm，n|.由图可知平面mab与平面abd的夹角是锐角，所以平面mab与平面abd夹角的余弦值为.思维升华 利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小跟踪训练 (2017天津)如图，在三棱锥p-abc中，pa底面abc，bac90.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2.(1)求证：mn平面bde；(2)求平面cem与平面emn夹角的正弦值；(3)已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长(1)证明如图，以a为原点，分别以ab，ac，ap所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系由题意，可得a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,4,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0,2,2)，m(0,0,1)，n(1,2,0)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面bde的一个法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为mn平面bde，所以mn平面bde.(2)解易知n1(1,0,0)为平面cem的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面emn的一个法向量，则因为(0，2，1)，(1,2，1)，所以不妨设y11，可得n2(4,1，2)因此|cosn1，n2|，于是sinn1，n2.所以平面cem与平面emn夹角的正弦值为.(3)解由题意，设ahh(0h4)，则h(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段ah的长为或.题型四求空间距离(供选用)典例 (2018株洲模拟)如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2，求点a到平面mbc的距离解如图，取cd的中点o，连接ob，om，因为bcd与mcd均为正三角形，所以obcd，omcd，又平面mcd平面bcd，平面mcd平面bcdcd，om平面mcd，所以mo平面bcd.以o为坐标原点，直线oc，bo，om分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系因为bcd与mcd都是边长为2的正三角形，所以obom，则o(0,0,0)，c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)，所以(1，0)，(0，)设平面mbc的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面mbc的一个法向量为n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距离为d.思维升华 求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)等体积法(3)向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便跟踪训练 (2018武昌质检)如图所示，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd，papd，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，abbc1，o为ad的中点(1)求直线pb与平面poc所成角的余弦值；(2)求b点到平面pcd的距离；(3)线段pd上是否存在一点q，使得平面qac与平面acd夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)在pad中，papd，o为ad的中点，poad.又侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，po平面abcd.在pad中，papd，papd，ad2.在直角梯形abcd中，o为ad的中点，oabc1，ocad.以o为坐标原点，oc所在直线为x轴，od所在直线为y轴，op所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则p(0,0,1)，a(0，1,0)，b(1，1,0)，c(1,0,0)，d(0,1,0)，(1，1，1)oaop，oaoc，opoco，oa平面poc.(0，1,0)为平面poc的法向量，cos，pb与平面poc所成角的余弦值为.(2)(1，1，1)，设平面pcd的法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1)则b点到平面pcd的距离d.(3)假设存在，且设(01)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，q(0，1)设平面caq的法向量为m(x1，y1，z1)，则取z11，得m(1，1，1)平面cad的一个法向量为n(0,0,1)，平面qac与平面acd夹角的余弦值为，|cosm，n|，整理化简，得321030.解得或3(舍去)，线段pd上存在满足题意的点q，且.利用空间向量求解空间角典例 (12分)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求平面fab与平面abp夹角的余弦值规范解答(1)证明由题意，以点a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)1分由e为棱pc的中点，得e(1,1,1)(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以bedc.3分(2)解(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面pbd的一个法向量，则即不妨令y1，5分可得n(2,1,1)于是有cosn，所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.7分(3)解(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点f在棱pc上，设(01)，故(12，22，2)由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即.9分设n1(x1，y1，z1)为平面fab的一个法向量，则即不妨令z11，可得n1(0，3,1)取平面abp的法向量n2(0,1,0)，则|cosn1，n2|，所以其余弦值为.12分利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范1(2018抚顺调研)在正方体a1b1c1d1abcd中，ac与b1d所成角的大小为()a. b. c. d.答案d解析以a点为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b1(1,0,1)，d(0,1,0)(1,1,0)，(1,1，1)，1(1)110(1)0，ac与b1d所成的角为.2.如图所示，三棱柱abca1b1c1的侧棱长为3，底面边长a1c1b1c11，且a1c1b190，d点在棱aa1上且ad2da1，p点在棱c1c上，则的最小值为()a. b c. d答案b解析以c点为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则d(1,0,2)，b1(0,1,3)，设p(0,0，z)，其中0z3，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故当z时，取得最小值.3在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为()a. b. c. d.答案b解析以a为原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则有即n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，|cosn1，n2|，即平面a1ed与平面abcd夹角的余弦值为.4.(2017西安调研)已知六面体abca1b1c1是各棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点，则直线cc1与平面ab1d所成的角为()a45 b60c90 d30答案a解析如图所示，取ac的中点n，连接nb，以n为坐标原点，nb，nc所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系则a，c，b1，d，c1，(0,0，a)设平面ab1d的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，可取n(，1，2)cos，n，直线与平面所成角的范围是0，90，直线cc1与平面ab1d所成的角为45.5(2018大同模拟)设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a. b. c. d.答案d解析如图，以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，则d(0,0,0)，d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)，设平面a1bd的一个法向量n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)d1到平面a1bd的距离d.6二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45c60 d120答案c解析如图所示，二面角的大小就是，22222()2222，(2)262428224.因此24，cos，又，b0，90，60，故二面角为60.7.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_答案60解析以b点为坐标原点，以bc所在直线为x轴，ba所在直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，异面直线所成角的范围是(0,90，ef和bc1所成的角为60.8在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则直线cd与平面bdc1所成角的正弦值为_答案解析以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面bdc1的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.9已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc夹角的正切值为_答案解析方法一延长fe，cb相交于点g，连接ag，如图所示设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于点h，连接eh，则ehb即为所求两平面的夹角bh，eb1，tanehb.方法二如图，以点d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e，f，设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abc的夹角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)，取平面abc的法向量为m(0,0，1)，则cos |cosn，m|，tan .10(2017河北石家庄二模)设二面角cd的大小为45，a点在平面内，b点在cd上，且abc45，则ab与平面所成角的大小为_答案30解析如图，作ae平面于点e，在平面内过e作efcd于点f，连接af，因为aecd，aeefe，所以cd平面aef，所以afcd，所以afe为二面角cd的平面角，所以afe45，因为abc45，所以baf45.连接be，则abe为ab与平面所成的角设aem，则efm，afm，bfm，ab2m，所以sinabe，又因为abe为锐角，所以abe30.11(2017洛阳二模)已知三棱锥abcd，ad平面bcd，bdcd，adbd2，cd2，e，f分别是ac，bc的中点，p为线段bc上一点，且cp2pb.(1)求证：apde；(2)求直线ac与平面def所成角的正弦值(1)证明作pgbd交cd于g，连接ag.2，gdcd.ad平面bcd，addc，在rtadg中，tangad，dag30，在rtadc中，ac2ad2cd241216，ac4，又e为ac的中点，deae2，又ad2，ade60，agde.ad平面bcd，adbd，又bdcd，adcdd，ad，cd平面adc，bd平面adc，pg平面adc，pgde.又agpgg，ag，pg平面agp，de平面agp，又ap平面agp，apde.(2)解以d为坐标原点,db，dc,da所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)设平面def的法向量为n(x，y，z)，则即令x3，则n(3，3)设直线ac与平面def所成的角为，则sin |cos，n|，ac与平面def所成角的正弦值为.12(2017河南质检)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，底面abcd是直角梯形，adc90，adbc，abac，abac，点e在ad上，且ae2ed.(1)已知点f在bc上，且cf2fb，求证：平面pef平面pac；(2)平面apb与平面pbe夹角的余弦值为多少时，直线pc与平面pab所成的角为45？(1)证明abac，abac，acb45，底面abcd是直角梯形，adc90，adbc，acd45，即adcd，acad，又abac，bcac2ad，ae2ed，cf2fb，aebfad，又aebf，四边形abfe是平行四边形，abef，acef，pa底面abcd，paef，paaca，pa，ac平面pac，ef平面pac，又ef平面pef，平面pef平面pac.(2)解paac，acab，paaba，pa，ab平面pab，ac平面pab，则apc为pc与平面pab所成的角，若pc与平面pab所成的角为45，则tanapc1，即paac，取bc的中点g，连接ag，则agbc，以a为坐标原点，ag，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1，1,0)，c(1,1,0)，e，p(0,0，)，设平面pbe的法向量为n(x，y，z)，则即令y3，则x5，z，n(5,3，)(1,1,0)是平面pab的一个法向量，cosn，即当平面apb与平面pbe夹角的余弦值为时，直线pc与平面pab所成的角为45.13(2017全国)已知直三棱柱abc-a1b1c1中，abc120，ab2，bccc11，则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案c解析方法一将直三棱柱abca1b1c1补形为直四棱柱abcda1b1c1d1，如图所示，连接ad1，b1d1，bd.图由题意