（基础数学专业论文）一阶heisenberg群h1上的变分及其bernstein问题.pdf

懒黻 t h ev a r i a t i o no nt h ef i r s th e i s e n b e r gg r o u p 1a n di t s b e r n s t e i np r o b l e m at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ： z e n gl i n g z h o n g s u p e r v i s o r ：p r o f l ig u a n g h a n h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名： 刍伸 石， u 签名日期：加i 。年月握日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名 指导教师 耋恳 工 巧姒 ， 日期：加浑厂月韬e 1 日期：细口年占月瑶日 巾文摘要 摘要 在阶h e i s e n b e r g 群1 意义下，本文解决了下面四个问题： ( 1 ) 根据某些曲面上的日局部极小和日整体极小之间的密切关系，我们 证明日极小曲面是否就是静止曲面与曲面上是否存在特征轨迹无关 ( 2 ) 根据极小曲面上的曲面局部稳定性和整体稳定性之间的密切关系我们 可以得到整个曲面的稳定性与在它上面的子区域的稳定性之间的内在联系对于 特征轨迹非空的曲面情形，我们获得一些重要的结果 ( 3 ) 利用上述的结论，我们可以部分地解决d d a n i e u i ，n g a r o f a l oa n d d m n h i e u 给出这么一个猜想：在一阶h e i s e n b e r g 群1 中，垂直平面是唯一 的c 2 ，稳定的，完全日极小图( 在某些平面上) 比如，我们考虑了可展曲面， 柱面等 ( 4 ) 作为本文的另外一个应用，我们还证明了负严格图带和一般严格图带 都是1 上的不稳定的日极小图 关键词：h e i s e n b e r g 群；h 极小；稳定的；不稳定；特征轨迹；截断函数；变 分；h 周长；图带 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt e r mo ft h ef i r s th e i s e n b e r gg r o u p 1 t h i sp a p e rh a ss o l v e dt h ef o l l o w i n gf o u r p r o b l e m s ： ( 1 ) a c c o r d i n g t ot h ed e e pr e l a t i o nb e t w e e nt h el o c a lh - m i n i m u ma n dt h eg l o b a l h m i n i m u mo n 俨s u r f a c e s ，w eh a v ep 剐c dt h a tt h e r ei sn oa n yr e l a t i o nb e t w e e n w h e t h e rt h e r ee x i s t ss o m ec h a r a c t e r i s t i cl o c u so nt h es u r f a c ea n dw h e t h e rt h eh m i n i m a ls u r f a c ei sj u s tt h es t a t i o n a r ys u r f a c eo rn o t ( 2 ) a c c o r d i n gt ot h ed e e pr e l a t i o nb e t w e e n t h el o c a ls t a b i l i t ya n dt h e g l o b a ls t a - b i l i t yo ft h es u r f a c e ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h ei n h e r e n tr e l a t i o nb e t w e e nt h es t a b i l i t yo f t h ew h o l es u r f a c ea n dt h es t a b i l i t yo fi t ss u b r e g i o n f o rt h ec a s et h a tt h ec h a r a c t e r i s t i c l o c u si sn o n - e m p t y , w eo b t a i ns o m ei m p o r t a n tr e s u l t s ( 3 ) b yu s i n gt h ec o n c l u s i o n sg i v e na b o v e ，w eh a v ep a r t l ys o l v e dac o n j e c t u r e 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t ( 英文摘要) l 绪论1 1 1 历史背景l 1 2 主要结果1 1 3 一些猜想7 2 预备知识8 2 1 h e i s e n b e r g 群皿1 的基本概念8 2 2 曲面上的h 锄s d 0 硪测度及甜) 曲面1 2 2 3 图带1 3 3 日极小曲面和日周长的变分公式1 5 3 1 h e i s e n b e r g 群h 1 上的日一周长1 5 3 2h e i s e n b e r g 群1 上的一阶变分公式以及日一极小曲面1 8 3 3h e i s e n b e r g 群皿1 上的二阶变分公式2 7 4 特征轨迹非空的日极小曲面及其稳定性3 7 4 1 h e i s e n b e r g 群1 上的奇异积分3 7 4 2 特征轨迹非空的日极小曲面3 8 4 3 特征轨迹非空的日极小曲面的稳定性4 4 5 局部变分与整体变分方法的应用5 2 5 1 变分公式的推导5 2 5 2 一些重要的例子5 7 5 3 图带的不稳定性6 7 参考文献7 5 致谢8 l i i i 1绪论 1 1 历史背景 1绪论 次黎曼几何是一类赋予了路径度量特殊的空间，它在次椭圆方程、切触 几何、最优控制论、经典力学、神经生物学及其它领域中起到了重要的作用 对于这方面的发展和应用，读者可参见下列文献：【l ，3 ，4 ，7 ，9 ，1 0 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ， 2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 9 ，5 0 ，5 3 ，5 4 ，5 6 ，5 7 ， 5 8 ，5 9 ，6 6 ，6 0 ，6 l ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 4 ，7 5 ，7 l ，7 2 ，7 3 ，7 6 ，7 7 ，8 3 ，8 4 】等等正如我们 所熟知的，在微分几何和变分计算研究和发展过程中，b e m s t e i n 问题是其中最 重要的问题之一b e m s t e i n 问题是指r 3 中的一个c 2 极小图一定是一个仿射超平 面注意：这里我们是根据习惯的约定：极小曲面即为平均曲率为零的曲面这 个命题于1 9 1 5 年b e m s t e i n 【9 】提出的近乎5 0 年后，由于【2 ，8 ，2 7 ，2 4 ，8 l 】出色的工 作，最后f l e m i n g 4 2 】以一个新的观点导致几何测度论的重要发展，从而致使下面 的b e m s t e i n 问题予以告终 定理1 1 ：设s = ( z ，u ( z ) ) 础+ 1 i z r n ，z n + 1 = u c x ) 是舯+ 1 上的一个极小 图，即：设u 俨( r n ) 是极小曲面方程( 欧拉一拉格朗日方程) 在整个空间上的一个解如果扎7 ，则存在a 舯，p r 使得u ( x ) = + p ，即：s 是一个仿射超平面反之，如果t t 8 ，那么在r 3 上存在一个非仿 射( 实解析的) 函数满足上面的极小曲面方程( 1 1 1 ) 1 2 主要结果 本文的主要目的是要阐释一个赋予t c a r n o t c a r a t h d o d o r y ( c c ) 度量 的3 维h e i s e n b e r g 群1 上的一个新的且又是非常有趣的b e m s t e i n 型问题从几 何的观点来看，研究这种具有群乘法运算律 ( z ，y ，) 。( x i , y l , t 1 ) = ( z + z ，+ 矽7 ，亡+ t + 三( z 一z 7 秒) ) 湖北大学硕士学位论文 的h e i s e n b e r g 群1 是富有意义的，这是因为这种l i e 群构造了一类分步幂零l i e 群最简单的模型这种l i e 群可以看着是r i e m a n n i a n 空间在g r o m o v h a u s d o r f f 极 限意义下的“切空间”，参见【9 ，5 3 ，5 4 ，7 0 ，1 4 1 而且n 还是一个有趣的具有非 平凡几何意义的度量空间模型 假若sc 皿1 ( 其中( s ) 历) ，并上t s = s e ( s ) ，我将在第二节中定义s 在 点g o s 处的胁平均曲率为( 2 1 1 6 ) 式同时，在第3 2 节中，我们将引入h e i s e n b e r g 群h i 上的极小曲面的定义，见定义3 1 我们回顾一下b e k k a r 【9 】在1 9 9 1 年得到的 曲面为函数图z = ，( z ，秒) 情形下的极小曲面方程： 厶【1 + ( 厶一却一2 f 甜( a 一三) ( 厶+ 兰) + 【l + ( 厶+ 翔- 0 ( 1 2 2 ) 事实上，利用( 3 1 1 2 ) 式我们就可以很容易得至l j ( 1 2 2 ) 式 最近，1 中的b e r n s t e i n 问题已经备受众多数学家的关注，但是据我们所了 解，很多文献却都是从整个曲面的整体角度去考虑1 中的变分问题，可以参 见【5 ，1 2 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 9 ，5 0 ，5 l ，5 5 ，7 6 ，7 7 】然而，在我们的文章中将从曲面的局部 和整体特性相结合的角度去考虑其一阶变分和二阶变分事实上，从这篇文章中 的一些定理和它们的证明过程中将可以看出局部变分和整体变分二者之间的紧 密联系，因此首先我们来看下面这个定理 定理1 2 ：设sc 1 是一个特征轨迹为空集的可定向的c 哆曲面如果s 是非静止 的，则存在s 上的一个子区域岛使得岛也是非静止的 根据定理1 2 ，我们知道假若一个特征轨迹为空集的可定向的俨曲面是非静 止的，则从局部上看，在该曲面上必有一个闭的子区域并且该子区域也是非静止 的换而言之，曲面的整体的非静止是由曲面局部的非静止导致的，好比整体“不 好”的静止性态是由曲面上的某一“不好”的局部小块所“破坏”了反过来 曲面上的局部非静止性态可以导致整个曲面是非静止的，即：如果曲面上有一 个子区域是非静止的，那么整个曲面一定是非静止的这就是定理1 3 的所要叙 述的内容 定理1 3 ：设sc 1 是一个特征轨迹为空集的可定向的俨曲面如果在s 上存在 一个子区域岛使得岛是非静止的，则曲面s 也是非静止的 2 i 绪论 在1 ，我们假定qc 1 是一个开子集并且 邢) = 卜2 ( k c 3 ( f l , h h i 怕= s u p ( 2 ii = l 鲥1 ) 、 = 1 7 任取，l k ( q ) ，我们定义，关于q 的日一变分如下： v a r 日( ，q ) = s u p f d i v 日c d g c ，q 如果v a r h ( f ；f 1 ) 0 0 ，我们则称函数f l 1 ( q ) 是属于b 1 膏( q ) q 上的所有 有界日变分组成的函数空间b ( q ) 赋予范数 f l l s v a ) = i i f l l l , ( n ) + v a r h ( f ，q ) 之后是一个b a n a c h 空间，看【3 6 ，4 8 ，5 2 次黎曼几何中的变分理论是一个有 趣的研究对象现在，我们引入来自【3 6 中的一些有关的定义给定一个可测 集甜c 1 ，则关于开集0c 皿1 “的日- 周长定义为p 日似，0 ) = v a r h ( x u ；d ) 当“ 是一个c 1 区域时，我们有 ( 甜，0 ) = c o s ( n h 删如，( 1 2 3 ) - ，拟n o 其中d 口表示界定于s = 拟上的标准曲面测度根据( 3 1 4 ) 和( 1 2 3 ) ，对任意满 足( e ) 0 ( 2 1 1 ) 看1 7 8 这种伸缩规定了一种- 与h e i s e n b e r g 代数b = 0 k 的分步有关的自 然的标度，其中= 畦，可x o ) t ，k = o 列xr t 在( 2 1 1 ) 意义下的齐性维数 为q = 4 接下来，我们将使用字母夕= ( z ，y ，t ) ，矿= ( ，矿，) 等等，来表示1 中 的点在夕点处的左变换是一个微分同胚岛( 夕，) = go 矿假设( 岛) 。是左变换算 子厶：缸1 _ 1 对应的微分，我们很容易验证 ( 址( 嘉) 全x 。= 岳一互y 瓦o ( 2 1 2 ) ( 岛) ( 南) 垒恐= 南+ 考晏 ( 2 3 ) ( 劬( 晏) 全t = 妄 满足非平凡的l i e 括号关系 i x , ，局】= z 阢，卅= 0 ，阢，列= 0 ， ( 2 1 4 ) 的一个正交标架场这样向量场 x 1 ，恐，t ) 就生成了一个l i e 代数b 因此，这 个h e i s e n b e r g 群是一个赋予了分层ok 的l i e 代数r 3 的“e 群，其中m 的维数 8 2预蔷知识 为2 ，和= 【，】的维数为l ，而其中的k = s p a n x , ，恐) ，并且= 跚n r ， 参见【2 9 ，3 0 ，8 2 我们随后假定1 指定了一个关于正交标架场【墨，恐，t ) 的左不变黎曼度 量除了我们用 伽表示的欧氏内积以外，在这篇文章中没有其它的内积，因此 我们用 表示内积的时候就不用担心有任何的混淆我们定义h e i s e n b e r g 群皿1 上的水平丛为日1 = u 。h - 凰1 ，其中 玛1 = s p a n x 1 ( 夕) ，恐( 夕) 】 下面，我们来给出水平l e v i c i v i t a 联络的定义，读者可以参见文献【3 6 】或 者参见文献 3 0 】 定义2 1 ：设v 是研1 上关于上述内积 对应的l e v i c i v i t a 联络任取x r ( t h l ) ，y r ( h h l ) ，我们定义h h l 上的( l e v i c i v i t a ) 水平联络为v 殳y = x 1 + x 2 注意到v 是无挠且度量保持的，即：v 9 = 0 。假如我们定义s 上的水平挠率 为t 日( x ，y ) = v 殳y v 多x 一，y 】日，则对任意的x r ( t r n l ) ，y r ( 删1 ) ， t ( x ，y ) = 0 ，其中，y 】日= 五+ 恐给定一个 函数，c 1 ( 1 ) ，它的黎曼梯度则为 v f = x 1 f x l + x 2 l x 2 + t l t ，q 1 渤 因此它的水平梯度就是v ，水平子丛h i 1 上的投影从而， v 日f - - x l + x 2 = 五，五+ x 2 f x 2 ( 2 1 6 ) 考虑一个光滑黎曼n 流形( m ，g ) ，这个流形存在一个七平面的光滑分布0 这样的一个分布e 指定了每一点p m 一个切空间瓦m 的七维的子空间如 果m 上的一条绝对连续曲线o l 几乎处处切于这个分布e ，则我们就称它是水 平的下面我们来给出c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 距离的定义，这个定义可以参见文 献1 6 7 同时我们将用屯来表示1 上的c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 距离 定义2 2 ：p ，口m 两点之间的c a r n o t - c a r a t h 6 0 d o r y 距离定义为 如( p ，q ) = i n l o 。 l e n g t h ( w ) ， 9 湖北大学硕士学位论文 其中q ，q 为连接p 、g 两点的全部水平曲线组成的集合 约定：假如上面给定的集合是空集，即：q ，口= 0 ，则我们规定d = + o o 们用 设s 是研1 上的一个可定向的曲面，并且是指向s 的黎曼( 非单位) 法向量我 ( s ) = d s l t , s = 玛皿1 ) ， ( 2 1 7 ) 表示s 的特征轨迹我们很容易证明： g ( s ) 骨 = 0 ，i = 1 ，2 定义2 3 ：设s 是伊的曲面，我们利用下面这个恒等式 j 、_ 日= 墨+ ) 6 2( 2 1 8 ) 来定义关于在子丛h h l 的基地墨，魁下的法向量胪：s h h z 水平g a u s s 映照 为 儿篙， 其中对任意的p s ，i n u i 0 ，见【3 6 】或者【3 0 】 ( 2 1 9 ) 显然，对任意的9 s ，我们有日0 号g 垡( s ) 因此，假定夕( s ) ， 则s 在夕处的切空间可以定义为 h t g s = l ，日g 研1 i = o ) ( 2 1 1 0 ) 定义2 4 ：倘若sc 1 是一个俨的超曲面，且( s ) = 刀，我们来定义超曲面s 上的水平l e v i c i v i t a 联络如下：设v 日表示皿1 上的水平l e v i c i v i t a 联络对每 个x ，y c 1 ( s ；h t s ) ，我们假设 v 晏s y = v 晏矿一 l ，日， ( 2 1 1 1 ) l o 2 预祷知识 其中叉，一y c 1 ( 1 ，h h ) 且- x l s = x ，y i s = y 定义2 5 ：k sc 皿1 是一个伊超曲面，且( s ) = f 2 i ，那么，对每一个x ，y c 1 ( s ；h t s ) 我们定义一个s 上的( o ，2 ) 型张量场如下 i i h , s ( x ，y ) = ( 2 i 1 2 ) 我们称j ，日，s ( ，) 为s 的水平第二基本形式我们通过如下方式定义映射，s ： h t s 叶h t s ：对每一个g6s 以及口， ，h t g s ， = 一 = 一 ， ( 2 i 1 3 ) 其中x ，y c 1 ( s ，h t s ) 满足玛= 口，匕= - ，并且叉，驴如上所述我们称线性映 射a 日 s ：h t s _ h t s 为水平形状算子如果用e 1 ，e 2 n 一1 表示h t s 的一个局 部正交标架场，则水平形状算子在基底口l ，e 2 n - i 下的矩阵为( 2 n 一1 ) x ( 2 n - - 1 ) 型矩阵一【 k ：l ，2 n 一1 上面的定义2 4 和定义2 5 已经在文献【2 9 1 中给出，或者也可以参考文献【3 0 出于在文章中讨论的需要，我们下面回顾了在文献【2 9 中阐述的一些事实 我们不难明8 s 上的水平联络赡s y 是不依赖于丈，y 的选取函数，6 c 1 ( s ) 的切水平梯度我们定义如下 v h , s f = v 日7 一 ，日， ( 2 i 1 4 ) 其中7 表示，的任一在整个_ h h l 的延拓由于v 皿s ，不依赖于厂在s 上的取值， 所以我们可以证明v 甄s ，是定义合理的既然在s ( s ) 上成立l 卢i 暑1 ，显然 有 = 0 ，从而有 l v , s 1 2 = i v h 7 1 2 一 2 ( 2 1 1 5 ) 设sc 皿1 ，9h e ( s ) f 2 i ，我们定义s 在点g o 趴( s ) 处的弘平均曲率 湖北大学硕士学位论文 如下 2 n - 1 冗= - t r a c e a h , s = 一 i = z 设夕0 s ，我们令 咒( 跏) _ 9 邶，l g i m ( s ) u c g ) ， ( 2 l 1 7 ) 如果这个极限存在( 有限或者无限) ，我们称该极限为s 在夕0 处的肌平均曲率 否则，如果该极限不存在我们将不在点夕0 ( s ) 处定义h - 平均曲率，参见文 献【5 0 2 2 曲面上的h a u s d o 墒测度及甜) 曲面 定义2 6 ：设s 是1 上的一个可定向的c 七曲面我们用a s 表示s 的边界当o s j 2 i 时，如果a s 每一曲线段都是c 七类的，我们称s 是一个甜) 曲面，其中扎表示构 成曲面s 的边界的分段c 七曲线段段数，并且7 l n + ；当o s = 1 2 i 时，我们称s 是一 个匹曲面 根据定义2 6 ，我们知道当n = l 时，o s 是一条完整的c 知曲线，即：s 是一 i f f o i k ) 曲面特别地，设k = 0 且a s 是一条单一的曲线，则s 是一个硝曲面，这 就是说，a s 是一条分段连续曲线；设七= + 0 0 且a s 是一条单一的曲线，则s 是一 个a 圹测曲面，这就是说，o s 是一条分段光滑曲线但是我们想在此强调的是：在 这篇文章中我们总是假定正整数n 是有限的类似的，对于子区域的情形我们有 同样的如下定义 定义2 7 ：设s 是皿1 上的一个可定向的g 七曲面，并且岛是s 的一个子区域我们 用a 岛表示& 的边界当a 岛g 时，如果a 岛每一曲线段都是c 知类的，我们称岛 是s 上的一个错) 子区域，其中n 表示构成子区域岛的边界的分段c 七曲线段段 数，并且n n + ；当a s o = a 时，我们称岛是s 上的一个笆子区域 由定义2 7 ，我们知道当n = 1 时，a 岛是一条完整的c 七曲线，即：岛是s 上 的一个磷鼬子区域特别地，设七= 0 且a s 是一条单一的曲线，则岛是s 上的一 个钾) 一曲面，这就是说，o s o 是一条分段连续曲线；设七= + o o 且a 岛是一条单一 1 2 2 预备知识 的曲线，则s o 是s 上的一个0 i + o o ) _ 曲面，这就是说，a & 是一条分段光滑曲线在我 们的文章中会看出这种合适的子区域的构造是比较重要的，而且幸运的是c 2 曲 面上的这种子区域总是存在的但是我们想在此强调的是：在这篇文章中我们总 是假定正整数t t 是有限的 接下来，我们来考察一下错) 曲面上的边界f i 【q h a u s d o r f f 测度首先，我们需要 下面的一个引理【4 8 引理2 8 ：设acr 竹且0 8 t s 有日t ( a ) = 0 ，且对所有的t 0 ，则我们称s 为正严格图带；如果存在jci 使 得在，上有g ， 0 ，则我们称s 为负严格图带；如果存在，ci 使得在，上有g ，o ， 则我们称s 为一般严格图带 在此，我们有必要提醒读者我们这里定义的正严格图带和文献【3 l ，3 6 】，以 及【3 7 中定义的严格图带的定义是一致的 1 4 3h 极小曲叫和日周长的变分公式 3h 极小曲面和日周长的变分公式 在本文的这部分里，我们将给出文献【3 0 1 q b 关于极小曲面、静止曲面、稳 定曲面等等的定义另外，我们还将回顾一下第一变分公式和第二变分公式，这 些变分公式在1 3 0 1 中已经得到了，这个公式是非常重要的，并且在我们的文章 中将反复用到 3 1h e i s e n b e r g 群1 上的日一周长 设sch 1 是一个俨曲面，并且是一个指向s 的黎曼( 非单位) 法向量，我们 建立恒等式 p = ，q = ，u = ，w = v 歹+ q 2 。， ( 3 1 1 ) 并且，在每一点处w 0 ，我们假定 因此，我们有 矽= 谚p ，虿= 万q ，虿= 茜 ( 3 1 2 ) n n = p x l + g 恐， l ，日= 曩x 1 + 虿硷， = w 2 ( 3 1 3 ) 根据( 3 1 3 ) ，我们容易证明 c o s ( n h _ n ) = 丽w ( 3 1 4 ) 定义3 1 ：设sc 噩1 是一个俨的曲面如果作为s 上的一个连续函数咒三0 ，则 称曲面s 是日极小的；如果作为s 上的一个连续函数咒兰常数，则称曲面s 是常 曲率曲面 下面的命题3 2 ( 参见【2 9 】或【3 0 】) 在计算限平均曲率是有用的 1 5 湖北大学硕士学位论文 命题3 2 ：sc 1 的皿的平均曲率就是s 上的函数 2 7 - = v y = v ，勺+ v 笋s 虿= 五多+ 虿， ( 3 1 5 ) i - - - - 1 这里的，虿如( 3 1 2 ) 所述 若e = e 1 x 1 + 2 x 2 c 1 ( 皿，h h ) ，则( 的水平散度为 d i v 日( = x 1 + 恐 = x 1 6 + x 2 ( 2 ( 3 1 6 ) 3 h 极小曲曲和日周长的变分公式 是一个c 1 区域时，我们有 似，p ) = c o s ( n h z n ) d a ， ，砌n 0 其中打表示界定于s = 础上的标准曲面测度根据( 3 1 4 ) 和( 1 2 3 ) ，对任意满 足( e ) 0 然而，对于垆( s ；) 0 否则，假如对每一点( z ，t ) s 有 f ( z ，y ，t ) 0 ， 从而必有垆( s ；x o ) 0 ，矛盾由于函数z ( z ，y ，亡) 的连续性，则存在s 上的一个闭 = f 区域b o 使得当( z ，y ，亡) s o 时l ( x ，y ，t ) 0 如果令 葡( z ，矽，t ) = 口o ( z ，y ，t ) l s o ；b o ( x ，y ，t ) = 6 1 0 ( z ，y ，t ) l s o ；k o ( x ，y ，t ) = ( z ，矽，t ) l s o ， 则我们有 假定 且 蔬( z ，y ，t ) ， o ( z ，y ，t ) ，蔬( z ，! ，亡) 锘( 岛) 2 0 = 葫( z ，y ，t ) 墨+ 菇( z ，y ，t ) 恐+ 0 ( z ，y ，t ) 正 f ( z ，y ，t ) = f ( z ，y ，t ) l s o ， 于是我们获得了 z ( z ，y ，t ) = 7 o ( 3 蕊o + 矾+ 面) ， 其中表示曲面s 上的平均曲率我们可以验证 l ( x ，y ，t ) 0 ，其中( z ，t ) 岛 下面，我们来证明0 事实上，假设 v e o = 面( z ，y ，亡) x l + 6 0 ( z ，y ，亡) 恐+ k o ( z ，y ，t ) t = 0 ， 则我们有 葫( z ，y ，t ) = b o ( x ，y ，t ) = ( z ，y ，t ) = 0 2 1 湖北大学硕士学位论文 因此 l ( z ，y ，亡) = 咒o ( 商+ 赢+ 赢) = 0 ，其中( z ，y ，t ) 岛， 矛盾 从而，岛上的关于形变 x o = d o ( z ，y ，t ) x 1 + 6 0 ( z ，t ) x 2 + k o ( z ，矽，t ) t 的第一变分公式为 垆( 岛；2 0 ) = 慨+ q b o + 硫) 咖 - ，s b 显然。 垆( 岛；2 0 ) = 础，t ) d o h 0 ，s b 因此，岛是s 上的一个非静止子区域，证完 根据定理1 2 和引理3 8 ，我们得到下面的推论 推论3 9 ：设sc 1 是一个俨曲面，其特征轨迹为空集假如s 不是极小的，则存 在s 上的一个闭子区域岛使得岛也不是极小的 下面，我们将给f l j h e i s e n b e r g 群上关于h a u s d o r f fl 澳l j 度的积分中值定理 引理3 1 0 ：设，( z ，g ，t ) 是qc 1 上的一个连续函数，其中q 是一个闭集，则存在 某化q 使得 上m ，舭) 出，小) d = 熊) 上9 ( 删一咖( 3 2 1 5 ) 假如夕( z ，y ，亡) 在f t 上是h 3 - 可积的且符号保持的 证：根据经典的分析方法我们立即可得到该引理 由上面的引理3 1 0 ，我们就可以得到一个如下的推论 推论3 1 1 ：特别地，当夕( z ，y ，) = 1 时，我们有，( z ，可，t ) d a h = 厂( ) 叨( q ) ，n 3极小曲卣和日周长的变分公式 当我们考虑整个流形( 或者说曲面) 一阶变分( 或者二阶变分) 时，可以 考察它的局部的一阶变分( 或者二阶变分变分) 情况于是我们可以先通过获知 局部变分的一些信息然后通过构造一个合适的截断函数将形变方向从整个流形 的该局部区域延拓到整个流形( 或者说曲面) ，进而知道整个流形( 或者说曲 面) 的变分信息因此我们需要下面的引理 引理3 1 2 ( 局部扩张引理) ：设q ocqc 皿1 ，且咖( z ，爹，t ) c 2 ( q o ) ，则存在某个函 数a ( x ，y ，t ) 俨( q ) 使得o ( z ，可，t ) l q o = 知( z ，可，t ) 引理3 1 3 ：设q 1 ，q 2 是q 1 上的两个紧致子集q 1cq 2 则存在某个函 数，( z ，剪，1 ) c ( q ) 使得0 ，( z ，9 ，t ) 1 ，且 ( x ，! ，t ) l n 。= 1 ，( z ，可，亡) i n o ：= 0 评注3 1 4 ：在经典的分析中，q 皿1 上的两个开子集用引理3 1 3 中的q 1 ，q 2 取代 结论也是成立的 下面我们转到定理1 3 的证明上来 定理1 3 的证明：假如s o = s ，结论显然成立下面，我们只需证明当s o 妄s 时 结论也是成立的 根据引理3 8 ，由于岛是s 上的一个非静止子集，则在s ( 三s o ) 上存在一个有界 的非静止的俨子区域磊显然，存在一个非零的向量场蜀= a o x l + b o 磁+ k o t ， j t a o ，b o ，k o 诺( 硫) ，满足 ， k ，( 蕊；) = “o 蟊+ _ 6 0 + 巧) d 啊 j j 0 不为零，其中表示的醌上的平均曲率不失一般性，在证明中我们不妨假 定垆( 硫；蜀) 0 下面，我们的证明分两步来进行： 第( 1 ) 步： 假定硫cs ，由引理3 1 2 知，存在而( z ，可，t ) ，磊( z ，可，t ) ，磊( z ，可，亡) 俨( s ) 使得 0 ，y ，t ) l s o = a o ( x ，y ，芒) ；( z ，y ，t ) i 岛= 6 0 ，y ，亡) ； ，t ) l s o = p ，! ，t ) 湖北大学硕士学位论文 设 & 】r 忙1 ，2 ，为9 上的一列闭的有界子区域满足下述条件： ( i ) 一s oc & c s ； ( i i ) ( & 硫) = 矗； ( 捌) 当n _ + o o 时，矗_ 0 。 根据引理3 1 3 ，对于每一个上面给定的n ，我们可以构造一簇合适的截断函数列 _cz，亡，=蚤cz，剪， 如果( z ，可，t ) 瓦， 如果( z ，! ，t ) & 磊， 如果( z ，y ，t ) 趴& ， 其中o 0 于是，s 非静止的 第( 2 ) 步： 假定岛csc s o ，既然岛是非静止的，则根据引理3 7 ，我们知道在岛上必存在 一个子区域s 下面的满足条件： ( a ) s c 了cs ocscs o ； ( b ) s 7 是非静止的 湖北大学硕十学位论文 则根据上面第( 1 ) 步的证明我们知道，s 非静止的综合上面两种情况，这样 就证明到了s 非静止的 根据定理3 1 ，我们有下面的结果 推论3 1 5 ：设sc 研1 是一个可定向的特征轨迹为空集的俨曲面如果存在一个 子集s ocs 使得岛不是s 上的一个极小子区域，则s 也不是极小的 我们知道，一阶h c i s e n b e r g 群皿1 上的任何一个c 2 曲面都可以拆成若干个互不 相交的俨子区域于是，从下面的定理3 2 我们可以进一步看出局部极小和整体极 小之间的紧密的联系 定理3 2 ：设s & ，岛，& 是皿1 上的n + 1 个伊曲面，且满足下面的条件： ( 1 ) s 是研，& 的并集，即：s = u ：l & ； ( 2 ) 对每个i ( i