（信号与信息处理专业论文）广义s变换时频分析的应用研究.pdf

广义s 变换时频分析的廊用研究 摘要 时频分析作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为了现在信号处理研究的一个热 点。在自然界和现实生活中，信号多数都是非平稳的：时频分析方法将一维的时域信号 映像n - ：维的时频平面，提供了时间域和频率域的联合分布信息，并且能够全面的反映 非平稳信号的时频联合特征。 本文对广义s 变换时频分析进行了系统的研究，并将其应用于时频滤波和信号突变 点检测方面。详细介绍了时频分析方法处理非平稳信号的国内外发展现状，以及非平稳 信号和时频分析的基本概念，阐述了传统时频分析方法和广义s 变换的基本原理和优缺 点，并且将它们分别应用n - - ：i e 平稳信号上。研究表明广义s 变换可以得到更好的时频分 析效果。 在信号处理领域中，时频滤波方法是去除干扰和提高信噪比的一种很常用的方法。 本文在阈值滤波的基础上，给出了一种基于广义s 变换的新的时频滤波方法，并将它应 用到了地震信号处理中。首先，根据数据的广义s 变换谱，确定出面波压制函数，以压 制实际地震信号中的面波干扰；然后，使用阈值滤波和低通滤波相结合的滤波方法对地 震信号进行处理，达到去除随机噪声的目的，同时这种方法可以使有效信号受损失较小。 仿真结果表明，该方法在提高信噪比方面的效果优于其他时频分析方法，且可以自选择 的应用到多道的地震信号中去。最后，将此方法应用到实际的地震信号处理中，提取出 滤波后的有效信号，并与通过最陡下降法得到的信号顶点图相结合，以达到寻找地震记 录中储层的目的。 检测信号中的突变往往意味着物体结构的损伤，所以，寻找到信号中的突变点有着 很重要的实际意义。本文将广义s 变换应用到实际信号的突变点检测中，并以铁路采集 信号为例，使用以上的滤波方法对信号进行处理，去除其中的噪声，提取有效信号，然 后通过短时能量法判断出其中是否含有突变的信号。最后将提取出的有效信号和广义s 变换幅值包络相结合，对突变信号的起振点进行定位。仿真结果表明，该方法可以准确 的检测出其中的突变信号并且能较好地避免漏检。 关键词：广义s 变换；时频分析；时频滤波；突变点检测 a bs t r a c t t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i si s ap o w e r f u lt o o lf o rt i m e - v a r y i n g n o n s t a t i o n a r ys i g n a l a n a l y s i s ，a n dah o t s p o ti nm o d e ms i g n a lp r o c e s s i n gr e s e a r c h m o s ts i g n a l si nn a t u r ew o r l da n d r e a ll i f ea r en o n 。s t a t i o n a r y t h eo n e - d i m e n s i o n a lt i m e d o m a i ns i g n a l sc a nb em a p p e di n t ot h e t w o - d i m e n s i o n a lt i m e f r e q u e n c yd o m a i n m e a n w h i l e ，t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sc a np r o v i d e t h ej o i n td i s t r i b u t i o ni n f o r m a t i o no fb o t ht i m e d o m a i na n df r e q u e n c y d o m a i n ，t h e ne x p r e s s j o i n tc h a r a c t e r i s t i co fn o n s t a t i o n a r ys i g n a l se n t i r e l y t h i sp a p e rm a i n l yr e s e a r c h e st h ea p p l i c a t i o no fg e n e r a l i z e dst r a n s f o r mt i m e f r e q u e n c y a n a l y s i sa n da p p l i e si tt ot i m e f r e q u e n c yf i l t e r i n ga n dd i s c o n t i n u i t yd e t e c t i o n f i r s t l y , w e i n t r o d u c et h e d e v e l o p m e n to fn o n - s t a t i o n a r ys i g n a l p r o c e s s i n gb a s e do nm e t h o d so f t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa th o m ea n da b r o a d a n dt h ec o n c e p t so fn o n s t a t i o n a r ys i g n a la n d t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa r ea l s om e n t i o n e d t h e nf u n d a m e n t a lp r i n c i p l e so ft r a d i t i o l n a l t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d sa n dst r a n s f o r ma r ed e s c r i b e da n dt h e nt h ec o m p a r i s o no f t h e mi sp r o v i d e d i i lt h es i g n a lp r o c e s s i n g ，t i m e f r e q u e n c yf i l t e r i n gm e t h o d i sc o m m o nt or e d u c et h e i n t e r f e r e n c ea n di m p r o v et h es i g n a lt on o i s er a t i o t h i sp a p e r p r e s e n t san e wt i m e f r e q u e n c y f i l t e r i n gm e t h o db a s e do ng e n e r a l i z e dst r a n s f o r ma n da p p l i e si tt os e i s m i cs i g n a lp r o c e s s i n g f i r s to fa l l ，t h r o u g ht h ef r e q u e n c ys p e c t r u mr e c e i v e db yg e n e r a l i z e dst r a n s f o r m ，w ec a l l d e t e r m i n et h es u p p r e s s i o nf u n c t i o no ft h es u r f a c ew a v ei no r d e rt os u p p r e s st h es u r f a c ew a v e i nr e a ls e i s m i cr e c o r d a f t e r w a r d s ，w ea p p l yt h e f i l t e r i n gm e t h o dc o m b i n i n gt h et h r e s h o l d f i l t e r i n ga n dl o w p a s sf i l t e r i n gt os e i s m i cs i g n a lp r o c e s s i n g i tw i l la c h i e v et h ep u r p o s et h a t b o t hi m p r o v i n gt h en o i s ea n dp r o t e c t i n gt h ee f f e c t i v es i g n a l s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h i sm e t h o di sm u c hb e t t e rt h a no t h e rt i m e f r e q u e n c v a n a l y s i sm e t h o d si ni m p r o v i n gt h es i g n a lt on o i s er a t i o m o r es i g n i f i c a n t l y , i ti sa na d a p t i v e a l g o r i t h m f i n a l l y , t h ea p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o di nr e a ls e i s m i cd a t ap r o c e s s i n gc a ne x t r a c t t h ee f f e c t i v es i g n a l ，a n dt h ev e r t e xg r a p hc a nb eg a i n e db yt h em e t h o do f s t e e p e s td e s c e n t t h e c o m b i n a t i o no ft h e mp l a y sa p a r ti nf i n d i n gt h er e s e r v o i ro fs e i s m i cd a t a t h eb r e a kp o i n t si nt h ed e t e c t i o ns i g n a lu s u a l l ym e a n s d a m a g eo fs t r u c t u r e ，t h e r e f o r e ，i t i sv e r yi m p o r t a n tt of i n dt h eb r e a kp o i n t si nt h e s i g n a l i nt h i sp a p e r ，g e n e r a l i z e dst r a n s f o r m i sa p p l i e dt od i s c o n t i n u i t yd e t e c t i o n t a k et h er a i l w a ys i g n a la sa ne x a m p l e ；w ep r o c e s st h e 哈尔滨i j 稃人学硕+ 学位论文 s i g n a lb yt h ef i l t e r i n gm e t h o da b o v e f o rt h ep u r p o s eo fr e m o v i n gt h en o i s ea n de x t r a c t i n gt h e e f f e c t i v es i g n a l t h e n ，w h e t h e ri n c l u d i n gw h e e l f i a ts i g n a l o rn o tw i l lb ek n o w nt h r o u g h s h o r t t i m ee n e r g ym e t h o d a tl a s t ，t h ew h e e l - f i a ts i g n a lw i l lb ed e t e c t e da n dl o c a t e db y c o m b i n a t i o no ft h ee x t r a c t e de f f e c t i v es i g n a la n dt h ea m p l i t u d ee n v e l o p eo fg e n e r a l i z e ds t r a n s f o r m s i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a t t h i sm e t h o dc a nd e t e c tt h ew h e e l f l a ts i g n a l c o r r e c t l ya n da v o i dt h ed e t e c t i o nm i s s i n g k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dst r a n s f o r m ；t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ；t i m e f r e q u e n c yf i l t e r i n g ； d i s c o n t i n u i t yd e t e c t i o n 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究背景和意义 信号与信息处理是在信息科学中近十几年来发展非常迅速的学科之一。传统的统计 信号处理有三个基本的假设：线性、高斯性和平稳性，而现代信号处理则以非线性、非 高斯和非平稳信号作为分析与处理的对象；在现代信号处理中，非平稳信号处理的发展 尤其引人注目i l j 。 根据信号的统计特性，信号可以分为平稳信号和非平稳信号。用统计量来叙述，各 阶统计量与时间无关的信号称为平稳信号，而某阶统计量随时间改变的信号则称作非平 稳信号或时变信号，最常用的统计量为均值( 一阶统计量) 、相关函数与功率谱密度( 二 阶统计量) ，此外，还有三阶、四阶等高阶矩、高阶累积量和高阶谱等高阶统计量。在 现实生活中，语音信号、动物叫声、雷达信号、声纳信号、地震信号和生物医学信号等， 都是比较常见的非平稳信号。 在信号处理领域，分析和处理平稳信号的最常用也最主要的方法是傅里叶( f o u r i e r ) 分析。傅里叶变换为信号建立了一个从时域到频域的变换桥梁，而傅里叶反变换则建立 了从频域到时域的反变换的桥梁，时域和频域之间的变换为一对一的映射。可是傅里叶 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，缺乏局域性信息，它只能指出信号中曾 出现的频率成分，却不能表示出某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号是 很重要的。 非平稳信号分析的研究工作最早是从2 0 世纪4 0 年代开始的。1 9 4 6 年，g a b o r 在他 那篇题为“通信理论”的经典论文中强调指出：“迄今为止，通信理论的基础一直是由 信号分析的两种方法组成的：一种将信号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率 的函数( 傅里叶分析) 。这两种方法都是理想化的( 传统的信号处理理论模式) 。然而， 我们每一天的经历特别是我们的听觉却一直是用时间和频率两者来描述信号 的。”1 2 1 哇1 此可以知道，传统的信号处理方法把实际模型过于理想化，忽略了其中的非 平稳因素，从而使传统的信号处理方法无法适应现代技术的发展需求，在这种情况下， 非平稳信号处理技术得到了重视和发展。 时域分析方法是将信号s ( ) 的能量分布表示为时间f 的函数，频域分析方法是将信 号s o ) 的能量分布表示为频率厂的函数。在非平稳信号处理中，信号频谱随时问变化的 情况是最希望被得到的。因此，众多学者对傅里叶分析进行了推广甚至根本的革命，提 哈尔滨i ：袢人。孚：硕 学何论文 出了一系列新的信号处理理论，其中一种比较重要和成熟的方法就是联合时频分析。联 合时频分析的基本思想是使用时间和频率的联合函数来表示信号，利用它可以同时描述 出信号在不同的时间和频率的能量密度和强度。 时频分析方法从被提出开始，它的应用潜力就已经被大家广泛认可，现今已经成为 了当今信号处理领域的一个主要的研究热点，特别是自2 0 世纪8 0 年代以来有了很大的 发展。各种联合时频分析方法被广泛的研究和应用，并且逐渐形成了一套独特的理论体 系，深受大家关注。目前时频分析方法已经广泛应用于通信、自动化、雷达、声纳、生 物、天文、医学、地球物理和故障诊断等几乎所有技术领域【3 】。 按照时频联合函数的不同，时频分析方法可以分为线性时频表示和双线性时频表示 两种。典型的线性时频表示包括短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简称 s t f r ) 、g a b o r 变换、小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，简称w t ) 、s 变换( st r a n s f o r l i l ， 简称s t ) 等。双线性时频表示也可称作二次型时频表示，它不满足线性叠加性。双线 性时频表示主要有c o h e n 类时频分布和a f f i n e 类双线性时频分布，其中最著名的是 w i g n e r - v i l l e 时频分布。w i g n e r 于1 9 3 2 年首先提出了w i g n e r 分布的概念，并把它用于 量子力学领域，刚开始并没有引起人们的重视，直到1 9 4 8 年，v i l l e 把它应用于信号分 析领域，因此称为w i g n e r - v i l l e 分布1 4 1 。 随着技术的发展，人们认识到假设信号为平稳信号这个条件在许多领域应用上是不 完全成立的，并且人们对非平稳信号的认识日趋完善，所以促使了非平稳信号的分析和 处理成为了现代信号处理领域中极为关注的一个问题。用联合时频分析的方法对非平稳 信号进行分析处理在近年来是研究的十分活跃的一个课题。所以本文对近年来发展较快 的新的时频分析方法一广义s 变换做了详细的阐述，并且对它在信号处理方面的应用 做了深入的研究。 1 2 国内外研究现状 在时频分析理论中，信号能量的分布是一个时间和频率的联合函数。导出时频表示 的方法有很多，最直接的就是将信号划分为一个个短的时间段，在每个时间段内利用短 时傅里叶变换方法分析信号的局部功率谱，即为广泛使用的短时傅里叶变换，但是在这 种方法中存在着时间分辨率和频率分辨率的矛盾。在现在的研究中我们需要解决的就是 尽可能明确的表达时变谱的物理意义。 对非平稳信号的研究工作开始于2 0 世纪4 0 年代，信号的频率分量随时| 日j 的变化快 且复杂的典型例子当属人的语音信号，k o e n i g 5 1 和p o t t e r l 6 l 等人提出了声谱图方法，信号 2 第1 章绪论 s o ) 的谱图定义为其短时傅里叶变换的模的平方，因此，谱图方法又称为短时傅罩叶变 换方法。 短时傅旱叶分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g ( f ) 的一个短的时间 间隔内是平稳( 伪平稳) 的，并移动分析窗函数，使s ( u ) g ( u f ) 在不同的有限时间宽度 内为不同的伪平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱【。这种方法的主要缺陷是： 对应特定的时刻，它只是对在其附近窗1 2 内的信号作分析，如果选择的窗函数g o ) 窄( 即 时间分辨率高) ，频率分辨率则低；而如果为了提高频率分辨率而使窗函数g q ) 变宽， 那么伪平稳假设的近似程度便会变差。短时傅里叶变换虽然有分辨率单一的明显缺陷， 但因为计算比较简单，所以在很长时间内是分平稳信号分析的一种标准和有效的方法。 同时利用时间和频率表示一个非平稳信号的另外一类方法是半个多世纪前提出的 g a b o r 展开1 2 1 ，d g a b o r 在1 9 4 6 年提出了用窗函数的时移和频移产生的一系列的基函数 来对信号进行分解的方法，从而得出了g a b o r 扩展。g a b o r 的思想在很大程度上开创了 时频分析的新时代，许多的学者继续在g a b o r 扩展的离散化和有限化这两方面做可大量 的研究。 4 1 9 3 2 年，物理学家w i g n e r 提出了w i g n e r 分布，并且最初应用于量子力学的研究， 在1 9 4 8 年v i l l e 将其引入了信号处理领域中，发展成了具有代表性的一种时频表示方法 w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 。w i g n e r - v i l l e 分布是一种二次型时频表示方法，确切的反映 了信号的时变频谱特性，在一定程度上解决了短时傅罩叶变换中存在的问题。1 9 7 0 年， m a r k 提出了w i g n e r - v i l l e 分布中最主要的缺陷交叉干扰项的存在。1 9 8 0 年，舀a a s e n 和m e c k l e n b r a k e r 在联合发表的论文中对w i g n e r - v i l l e 分布的概念、定义、性质以及数值 计算问题进行了详细的论述。1 9 6 6 年，l c o h e n l 7 】利用特征函数和算子理论对各种形式 的时频表示方法之间的关系做了研究，指出了包括短时傅罩叶谱图在内，所有的二次型 时频分布都可以通过对w i g n e r - v i l l e 分布的时频的二维卷积来得出，把它们用统一的形 式表示，统称为c o h e n 类时频分布，也称广义双线性时频分布。虽然w i g n e r - v i l l e 分布 有很好的时频聚集性，但是在多分量信号分析中，分布会出现交叉项，产生影响判断的 “虚假信号”，这是w i g n e r - v i l l e 分布的主要缺陷。虽然通过些平滑的方法可以减小交 叉项，但是这是以牺牲时频分辨率作为代价的。 小波变换是在2 0 世纪8 0 年代后期发展起来的新兴的一个应用数学分支，1 9 8 4 年， 法国科学家m o r l e t 和g r o s s m a n 根据地震数据的分析和要求，提出了小波变换的几何体 系，并网为仿射群下的不变性，为小波变换的兴起奠定了基础f 8 9 l 。1 9 8 4 1 9 8 8 年，m e v e l 、 b a t t l e 和l e m a r i e 共同发展了小波变换，给出了具有快速衰减特性的小波基函数，使小 3 哈尔滨f j 程人学硕十学位论文 波变换得到了进一步的发展【1 0 】。1 9 8 7 年，m a l l a t 将多尺度分析思想引入到小波变换中， 提出了多分辨分析的框架结论，并且给出了用于信号分析与重构的快速小波变换算法一 一m a i l e t 算法f 1 1 j 。m a l l e t 算法的提出把小波理论和传统的滤波方法相联系，极大的推动 了小波分析这个有力的工具迅速在各个科学和工程领域的应用。1 9 8 8 年，d a u b e c h c h i e s 将m a l l e t 多分辨分析思想与b u r r 和a d e l s o n 的塔形分解方案结合了起来，证明并且给出 了具有有限支集的正交小波基【1 2 】。1 9 9 4 年，g e r o n i m o 等提出了多小波变换，把单尺度 的小波变换推广到了多尺度的小波变换，使小波变换理论又前进了一大步1 1 3 1 。 1 9 9 6 年，美国地球物理学家s t o c k w e l l 1 4 l 提出了一种新的时频分析方法，称作s 变 换，它是一种加时窗傅里叶变换方法，是以m o r l e t 小波为基本小波的连续小波变换思想 的延伸。s 变换是一种无损可逆的时频分析的方法，它结合了短时傅里叶变换和小波变 换的优点，并且解决了短时傅里叶变换中不能调节分析窗口频率的问题，又引入了小波 变换中的多分辨率分析，同时与傅里叶频谱保持着直接的联系。s 变换的时窗宽度是随 频率呈反向变化的，即在低频段时，时窗较宽，从而得到较高的频率分辨率；而在高频 段时，时窗较窄，从而得到较高的时间分辨率。在s 变换中，基本小波由简谐波和高斯 函数的乘积构成。其中，与连续小波变换不同的是，在s 变换中简谐波在时间域仅作伸 缩变换，高斯函数则进行伸缩和平移，而在连续小波变换中，简谐波和高斯函数同样进 行伸缩和平移。 但是，s 变换由于其基本小波固定这个特点使其在应用中受到了很多的限制，为了 获得更好的灵活性和更高的时频分辨率，高静怀【1 5 j 等人对维基本s 变换的窗函数进行 了改造，利用四个可调的属性参数进行控制来灵活的选择基本小波，从而提出了广义s 变换，并且将其应用于薄层的地震探测。而几乎同时，c r o b e r tp i n n e g a r l l 6 d 9 】从另一个 角度也推广了s 变换，地震反射界面的探测是广义s 变换的一个成功应用。m a n s i n h a 2 0 1 等人于1 9 9 7 年提出了利用二维s 变换来分析图像信号，然而，由于变换谱的四维空间 可视化及对计算机内存要求过大等问题还没完全解决，所以s 变换在高维的信号处理领 域中的应用还很少。 广义s 变换的一个主要应用就是地震信号的处理。随着计算机技术的飞速发展以及 对勘探要求的不断的提高，大家希望能从地震资料中可以提取尽可能多的信息，而地震 信号是一种非线性和非平稳的信号，用时频分析的方法处理地震信号可以最大化的保留 原始信息。许多的专家和学者就时频分析方法在地震资料处理中的应用【2 1 2 5 1 这方面做了 很多的研究工作，提出了许多解决地震勘探方面的问题的方法，主要包括以下几种：地 震波的能量补偿、提高地震信号的信噪比 2 6 , 2 7 l 、精确检测地震纵波的到达时间、检验地 4 第1 章绪论 层变化特征、改善地震资料的分辨率1 2 8 刎、沉积旋回研究、用时频表示描述地震相、提 取瞬时属性参数、以及对地震数据进行压缩等。下面重点介绍地震波的能量补偿、提高 地震资料的信噪比、改善地震资料的分辨率和瞬时属性参数的提取这几方面。 1 地震波的能量补偿 在地震波中，振幅随着不同频率成分进行不同的吸收和衰减，可以利用小波变换来 进行时频域球面发散的吸收补偿处理工作，我们将吸收因子分解成两部分：一部分是地 表吸收项，只与炮点和接收点的位置以及附近的地表条件有关，另一部分是大地吸收项， 是由大地吸收品质因子q 和地震波的传播路径来决定的【3 0 1 。我们可以利用小波分解的特 性把地震汜录分解成不同的尺度，分析出各个频道随着时间和炮检距变化的曲线，然后 对相应的频道进行补偿，最后将各个频道重构成经过补偿的地震记录。 2 提高地震资料的信噪比 在提高信噪比这方面，人们会根据信号与噪声在某些方面的差异来确定选取的滤波 方法，比较常用的去噪方法有一维滤波、厂一k 域滤波、s v d 滤波、小波变换去除噪声、 s 变换去除噪声等。可是每种方法的使用条件是不同的，一维滤波可以消除掉与有效信 号频带不同的噪声，f k 域滤波可以滤掉与有效信号视速度不同的干扰，s v d 滤波中 先假定有效信号和干扰信号在空间相干性上有着明显差别。但是实际的地震信号非常的 复杂，所以可以使用时频滤波的方法，先计算每一道的时频剖面，确定时频滤波因子， 再通过时频反变换的方法得到滤波后的剖面，从而达到提高信噪比的目的。 3 改善地震资料的分辨率 铲 在地震勘探中，分辨率会降低，在时频域中对地震波合理的进行能量补偿和频带展 宽的处理，可以提高地震资料的分辨率。目前的提前地震信号分辨率的方法都是使处理 后的信号的有效频带得到展宽：例如，反褶积方法是通过消除震源的影响而最终使信号 频带展宽，反q 滤波是通过补偿信号中非弹性因素的影响而使信号的主频向高频端方向 移动而达到带宽增加的目的，时频谱均衡方法则是通过均衡各个频带的能量而使谱白化 后的信号能量谱变宽，然后主频向高频移动，带宽增加。 4 提取瞬时属性参数 在实际应用中，瞬时频率的应用是非常广泛的，人们研究的瞬时频率估计方法，大 致可以分成基于时频分析方法的瞬时频率估计和基于非时频分析方法的瞬时频率估计。 在用非时频方法估计瞬时频率时，常用方法有h i l b e r t 变换、s h e k e l 方法等，但是它们 得到的是单值函数【3 。而利用时频分析的方法，从时频分析的剖面上就可以得到瞬时频 率的大小，只是在分析时需要恰当的选取窗口的大小与形状【3 2 1 。 哈尔滨1 ：氍大学硕十学位论文 1 3 论文研究的主要内容 论文研究的主要研究内容是广义s 变换时频分析在信号处理方面的应用。本论文的 内容安排如下： 第1 章为绪论部分，简要介绍了本课题的研究背景及意义，时频分析方法的国内外 研究现状，并介绍了本文的主要研究工作和内容安排。 第2 章首先介绍了非平稳随机信号的概念以及时频分析的定义、分类和基本性质， 其次重点介绍了几种常用的时频分析方法：短时傅里叶变换、小波变换和w i g n e r - v i l l e 分布，以及他们各自的特点。 第3 章介绍了本文所使用的s 变换及广义s 变换的原理，并选取了两种典型的非平 稳信号，使用广义s 变换和传统时频分析技术分别对其进行处理，并进行比较。 第4 章提出了一种新的基于广义s 变换的时频滤波方法，并且将其应用到地震信号 处理中，可以起到压制面波和去除随机噪声的作用。同时这种方法可以自选择的对多道 地震信号进行处理。本章通过人工合成的单道和多道的地震信号对这种方法进行了仿真 验证，并且将其应用到了实际信号中。 第5 章将广义s 变换应用到了信号的突变点检测中，以实际铁路采集数据为例，寻 找其中突变的平轮信号。本章中对被噪声淹没的实际信号进行了处理，然后通过短时能 量法检测其中是否含有平轮信号，如果有，则对起振点进行定位。 6 第2 章传统时频分析技术 第2 章传统时频分析技术 信号在自然界中和现实生活中都是普遍存在的，这些信号通常表现为时问域或者频 率域的函数，被称为时域信号或者频域信号。而按照信号随时间变化的特征，我们可以 把信号分为平稳信号和非平稳信号两种。对于平稳信号来说，可以通过傅里叶分析的方 法，单独的从时域或者频域来观察信号；但是对于非平稳信号，通过傅里叶分析的方法， 单独从时域或频域来观察信号却无法充分描述信号的特征，从而需要从时间和频率的角 度来同时表征信号，才能更全面细致的反映非平稳信号的特征。为了能同时使用时间和 频率来描述非平稳信号，我们需要把时域和频域联合起来描述信号的局部性能，构成信 号的时频谱，这一点是传统的傅里叶变换所做不到的，这就是非平稳信号的时频分析。 目前，时频分析方法包括线性时频分析方法和非线性时频分析方法两大类。我们把 非平稳信号j l ( f ) 的时频表示表示为瓦( f ，) ，如果矗( f ) 是几个分量的线性组合，当t h ( t ，) 是每个信号分量的时频表示的相同的线性组合时，则对应的就是线性时频分析方法；典 型的线性时频分析方法有短时傅里叶变换、小波变换、s 变换等。如果不满足以上的条 件则对应的就是非线性时频分析方法；典型的非线性时频分析方法为w i g n e r - v i l l e 时频 分布及由其衍生的各种分布。 在本章中，简要介绍了时频分析的概念和性质，并且介绍了几种常用的时频分析方 法：短时傅里叶变换、小波变换及w i g n e r - v i l l e 分布，本文使用的广义s 变换将在下一 章中重点介绍。 2 1 时频分析概述 2 1 1 非平稳随机信号 在理论上，随机信号可以分为平稳信号和非平稳信号两大类，由于长期以来理论研 究和分析工具的局限，非乎稳信号常常被简化为平稳信号来处理，但是在实际生活中， 许多的信号都是非平稳的，并不能简单的简化为平稳的信号。 若k o ，) p ：) ，x o 。) 的联合分布函数与扛瓴+ f ) o ：+ r ) ，x ( t 。+ f ) 的联合分布 函数对所有t 。，t 。_ ； i r e t 都相同，则随机过程扛( f ) ，t r 称为严格平稳随机信号；而 如果信号卫( f ) 满足如下条件：( 1 ) 研工( f ) 】= m = 常数，( 2 ) e i x ( t ) 2 ，( 3 ) e 缸( f ) 一所】陋( f ) 一m 1 = t o s ) 一i m l 2 ，其中，r ，( f - s ) ；仁。讧。o ) ，则随机信号 & ( f ) ，f r 称为广义平稳过程1 3 3 1 。严格平稳的随机过程必定也是广义平稳的，但是一个 7 哈尔滨i 拌人号：硕十学f f 7 ：论文 广义平稳的随机过程却不一定是严格平稳的。 一般情况下，非平稳随机信号的概率密度p o ，x ) 是与时间有关的函数。并且在t = t 。 处，概率密度仍然满足r e ( x ，t i 皿= 1 。以概率密度p p ，x ) 为基础，均值班，( f ) 、均方值 仇o ) 和方差d ，2 ( f ) 可以被定义如下： m 。o ) = e t x ( t ) 】= r x p o ，t ) d x d ，( f ) = e x 2 0 ) 】；l x 2 p ( x , t ) d x ( 2 1 ) c ( t ) ；以( f ) 一坍；( f ) 式中q 】表示期望。在此需要指出，非平稳信号没有时间平均意义上的统计特征t 它的 统计特性只能在集平均上有意义。 非平稳信号的自相关函数和功率谱可以定义如下： 、 r x ( t , r ) = e 扛o + 考) x ( f 一专) 】 ( 2 2 ) s ，o ，厂) 一尺，o ，f ) e - j z , f 7 d z 式中f 表示延迟，厂表示频率。 2 1 2 时频分析的分类 时频分析是时频联合域分析的简称，是非平稳信号处理的一个重要分支，其基本任 务就是建立一个以时间ts g l 频率厂为变量的二维联合分布函数p o ，厂) ，它利用时间频率 联合函数来表示非平稳信号，然后对其进行分析和处理。 根据时频联合函数的不同，时频分析方法可以分为线性时频表示和双线性时频表示 两种。 1 线性时频表示 线性的时频表示满足线性叠加性，是通过傅里叶变换演化而成的。假设x ( f ) 是几个 信号的线性组合，有x ( t ) ；麟。( f ) + 缸：o ) ，令z o ) 、x 1 0 ) 、x 2 ( f ) 的线性时频表示分别为 p ( t ，) 、p l ( t ，厂) 、最o ，f ) ，则有p o ，f ) z 妲p ，厂) + b p 2 ( t ，) 。 2 双线性时频表示 双线性时频表示也可以称作非线性时频表示或者二次型时频表示，它反映出的是信 号能量的时频分布。双线性时频表示不满足线性叠加性，同样的，我们假定信号 x ( t ) ；a x 。( f ) + 缸：( f ) ，记x ( f ) 、x 1 0 ) 、x 2 0 ) 的线性时频表示分别为p ( f ，厂) 、p i ( t ，) 、 p 2 ( t ，厂) ，贝, l l p ( t ，厂) = l a l ：只( f ，f ) + l b l 2 只o ，f ) + 2 r a b p 。：( f ，厂) 】。其中2 r b p 。：( f ，厂) 】我们称 之为干扰项，这是双线性时频表示固有的一个属性。 第2 章传统时频分析技术 2 1 3 时频分析的基本性质 一个理想的时频分布p ( t ，门，应该不仅能够用时间和频率来描述信号的能量密度， 并且还能够以同样的方式来计算任何密度，比如在某一特定时间的频率分布，在某一特 定时间和频率范围内的能量百分率等。因此，希望时频分布p ( t ，厂) 满足下面的一些基本 性质。 性质1 ：时频分布p ( t ，厂) 必须是实的，并且希望是非负的。 性质2 ：时频分布p ( t ，介关于时间f 和频率厂的积分应该可以得到信号的总能量e ， 即 f 。f 。p ( t ，f ) d t d f = o ( ，) 1 2 d t = f j s ( 1 ) 1 2 a f = e ( 2 3 ) 性质3 ：边缘特性 时频分布户( ，) 关于时间f 和频率厂的积分可以分别给出信号在频率厂的谱密度以 及信号在时间f 的瞬时功率。 舯 i 尸( f ，f ) d t = i s 0 。我们可以看出，i l , 。6 ( f ) 是由基本函数妒( f ) 进行了不同尺度 1 4 第2 章传统时频分析技术 的伸缩和平移而构成的，通过口，b 不断的变化，我们可以得到一组函数妒。占( f ) 。信号石( f ) 的连续小波变换c w t , , ( a ，b ) 是口和6 的函数，其中a 是尺度因子，b 是时移。其中，u , q ) 又称为母小波或基本小波。而妒。j ( f ) 是由母小波i , ( t ) 经过伸缩和平移所产生的一组函 数，我们又称之为小波基函数，简称为小波基。 2 ( 口= 1 2 ) 2 f 2 0 0 = 1 ) q o ( a = 2 ) q o 2 图2 6 当a 取不同值时小波变换分析的时频区间 图2 6 表现出了在不同尺度下运用小波变换分析的时宽、带宽以及时间中心和频率 中心之间的关系，我们可以很明显的看出，图中三个时频分析区间的面积是始终保持不 变的。由此得出，小波变换给我们提供了一个在时频平面上可调的分析窗口，该分析窗 口在高频部分( 图中频率为2 q 。处) 的矩形窗中的频率边长变长，即频率分辨率变差了， 但是矩形的时间边变短了，即在时域中的分辨率变好了。而相反的，在低频部分( 图中 频率为q 。2 处) ，频率分辨率变好了，而相应的，时域分辨率变差了。但是在不同的a 值下，图中的分析窗的面积一直是保持不变的，也就是说，信号的时频分辨率可以随着 实际的需要做出相应的调整，这种变焦的功能，使小波变换被誉为“数学显微镜 【3 6 1 。 连续小波变换在频率域可以表示为： c 暇0 ，6 ) ；( x ( 厂) ，也占( ，) ) ，石仁x ( f ) w ( a d e 伽卢彬 2 。1 4 ) 如果妒o ) 表示为： 缈o ) 一冬e x p ( 一