（基础数学专业论文）小区间上的borweinchoi猜想.pdf

山东大学硕士学位论文 小区间上的b o r w e i n c h o i 猜想 皮庆华 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 设q ( x ) = x t a x 是一个非奇异的二次型，其判别式为这里 行向量x = ( x 。，恐，) z m ，其中m 2 ；x t 为x 对应的列向量； a = ( a j ) 1 昏j m 是一个对称矩阵，其判别式为= d e t a 我们称二 次型q ( x ) 正定的，如果其对应的矩阵a 是一个正定矩阵 给定一个非负整数n ，我们考虑如下集合 r ( n ，q ) ：= x = ( x l ，x 2 ，) z ”：x 0 ，q ( x ) = 佗) 并且记r ( n ，q ) = 移r ( n ，q ) 二次型表示理论中一个最基本的问题，是 对于给定的n 和q ，判定r ( n ，q ) 是否为空集这个问题被许多数学 家研究过( 参考文献【2 】，【4 】 【7 】， s l ，防】，【2 8 1 ) 如果集合r ( n ，q ) 非空， 我们希望给出其元素个数，- ( 佗，q ) 的一个上界参考文献【1 6 l 研究了 四元二次型，给出了这种情况下的r ( n ，q ) 的上界参考文献【2 2 】给出 了对应三元二次型的结果 二次型中，二元二次型是比较特殊的一种，它与虚二次域中理想 的算术性质有关在十九世纪末期，般情况下的理论也有了系统 性的发展其最初的贡献是由m i n k o w s k i ，h a s s e ，s i e g e l 三位数学家做出 的m i n k o w s k i 建立了数的几何理论，解决了二次型的等价性问题； 他提出用同余的方法研究二次型，使得对任一个给定的二次型，我 们都可以找到一种有效的算法求其所有解h 氆鼬对二次型的工作主 要在代数方面：他提出的局部整体原则，给出了如何判别解的存 t 山东大学硕士学位论文 在性问题s i e g e l 的工作主要在解析方面，他给出了二次型表示表法 个数的一个解析公式，并且建立了自守形式与二次型表示之间的关 系 在这篇论文中，我们考虑一个特殊形式的二次型表示，二元二次 正定型q ( x ，y ) = x 2 + n y 2 ，其中是一个无平方因子的有理整数 记r n ( n ) 为q ( x ，y ) = n 的整数解的个数( 计符号与顺序) 我们给出 下式的一个估计 r ( 佗) 2 z 0 耽h a v e r r ( n ) 2 = 丙3 南) ( z l o g x + a ( n ) z ) + 0 ( 挑；+ f ) ， w h e r et h ep r o d u c ti so i l e ra l lp r i m e s 出v i d i n g2 na n d 口( ) = - 1 + 2 7 + 等+裂一再12p 1 “2 ) ， + 。 l ( 1 ，x 一4 n ) 7 r 2 、” w h e r e1i st h ee u l e rc o n s t a n ta n dl ( 1 ，x 一4 n ) i s 矾el - f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n g t ot h eq u a d r a t i cc l m r a c t e rr o o d 一4 b a s e do nt h i sr e s u l t ，b o r w e i na n dc h o i 【11p o s e dt h ef o l l o w i n g ： c o n j e c t u r e1 2f o ra n ys q u a r e f r e en ， 删一昙缸寺卜z r e c e n t l y ，m u r t ya n do s b u r n ( 1 1 8 i 1 2 p r e c i s e l y ，t h e yp r o v e dt h ef o l l o w i n g 【2 1 ) s u c c e s s f u l l y 跎t t l e dc o 啦t u m t h e o r e m1 3l e tq ( x y 1 = x 2 + y 2 如ra 即s i 坑钉e l e r n ( 钆) n 缸m 6 e ro ， n = ， ) s c l 3 t a r e f 僦i n t e g e rndenote t h e , - - 7 - - s o l u t i o n st oq ( xy ( c o u n t i n gs i g n sa n d 树 噼 山东大学硕士学位论文 o r d e r ) t h e n 州妒一熹缸爿姆 t h eo b j e c to ft h i sp a p e ri st oe s t i m a t et h es u m 霉 1 ) ”# = l j = l h e r e 鲰a r et h ed e d e k i n dz e t a - f u n c t i o n so ya l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s 礁，m = 1 ，m ，o f d e g r e e sd 。= 【如：q 】e q u a lt o1o r2 ，s a t i s f y i n g d l + 十d m = 4 局，k s 口他a r b i t r a r ya l g e b r a i cn u m b e rf i e l d so id e g r e e s 【：q 】1 ， j 0 n ，7 ja r e 乒dr e a ln u m b e r s ，a n d = i n i + + f i n a l l yg ( 8 ) i ss u p p o s e dt o b eh o l o m o r p h i ca n db o u n d e db o t hf r o ma b o v ea n d a w a yf r o m0u n i f o r m l yi nah a l f - p l a n e 驼( s ) 0 0 ，w h e r e 印 ；t h e n ，o r l a r g er e a lza n dy = 矽( z ) s a t i s f y i n g 。三l 一_ o o z l o g x ( 1 0 9l o g x ) 丁 口sz + o o i t o u o w s 冼口 口( n ) 一b o y ( 1 0 9 x ) 肛1 ， 蛋 1 ) a p p l y i n gl e m m a 2 1w i t hm = 2 ，d l = 2 ，d 2 = 2 ，n = - 1 ，w eh a v e l e m m a2 2a sz o 。， z n z + y r k ( 佗) 2 一万6 地x 。耳) 2 p r o v i d e dt h a ty = u ( z ) s a t i s f i e s h p l d k( 南) 加g z ， 堑一_oo1 z il o g zl o g l o g x 。 ( 1 ) w h e r el ( ，x d k ) i sad i r i c h l e tl s e r i e sc o r r e s p o n d i n gt oac e r t a i n 佗d n p r i n c i p a l r e a lc h a r a c t e rr o o di d k i n e x t ，w en e e dar e s u l to fr a n k i n 【2 3 1 ，s e l b e r gf 2 4 】a n do g g 【2 0 】w h i c h e s t i m a t e st h es i z eo ft h ef o u r i e rc o e f f i c i e n t so fac u s pf o r m l e m m a2 3l e tf ( z ) = 甚la ( n ) e 2 丌”b eac u s pf o no fw e i g h t 七帆a s u i t a b l ec o n g r u e n c es u b a r o u po lf = s l 2 ( z ) t h e n w h e r ea sac o n s t a n t a ( n ) 1 2 = q ( ，加七+ o ( z k _ 。2 - 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f u n c t i o n0 ，ka s s o c i a t e d 砸铣t h eg e n u sc h a r a c t e rx d l ，1 9 2 f a c t o r si n t ot h ed i r i c h l e tl - f u n c t i o n s , l ( s ，x d 。，d 。) = l ( s ，x d 。) l ( s ，x 0 2 ) t h ef o l l o w i n gl e m m ai sar e s u l to fm u r t ya n do s b u r ni n 18 1 i td e s c r i b e sa r e l a t i o ns h i pb e t w e e ng e n u sc h a r a c t e r sxa n dt h eo r d e r so fp 1 3 1 e so fl ( s ，xox ) l e m m a2 6l e txb ea ni d e a 2c l a s sc h a r a c t e ro ，q ( 、一) ，一n 1m o d4 ， a n dl ( s ，x ) ，t h ea s s o c i a t e dh e c k el s e r i e 8 t h e nxi sag e n u sc h a r a c t e r 厂a n d o n l y 矿l 0 ，xox ) h a sad o u b l ep o l ea ts = 1 xi san o n g e n u sc h a r a c t e r , t h e nl ( s ，xox ) ，h a sa tm o s tas i m p l ep o l ea t8 = 1 5 山东大学硕士学位论文 c h a p t e r3 p r o o fo ft h e o r e m1 4 a s n 1m o d4 ，t h ed i s c r i m i n a n to fk = q ( = ) i sd = 一4 w ea s s u m et h a t 七i st h en u m b e ro fd i s t i n c tp r i m ef a c t o r so ft 。h ed i s c r i m i n a n t d g i v e nt h eq u a d r a t i cf o r mq = q ( x ，y ) = x 2 + n y 2 ，w ec o n s i d e rt h e a s s o c i a t e de p s t e i nz e t af u n c t i o n ( s e e 【1 4 1 ，1 2 5 】o r 【2 6 ) 白( s ) = x ，y o( x 2 十y 2 ) a 掣k 俐。l ( o 渺j 1 ) 7 ， n o w f o rt h eq u a d r a t i cf i e l dk = q ( 厂而) ，o k = z 【何1 ，w eh a v e d e d e k i n d sz e t af u n c t i o n 。 “ 8 0t h a t 白( s ) = o 1 ( 口) 8 n = l “垆萎南 a c 、 一l 白( s ) = 乞( s ) i = o w h e r ehi st h ec l a s sn u m b e ro fq ( 归驴) f o r 缸( s ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n g 。 白( s ) = 口艮 1 ( o ) 。 o = ( 口) o a z l 问 口n n 。 嘉未：白( s ) 一= ，、i s - 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2 9 0 9 ( 2 0 0 5 ) ( 2 2 j v m p a c h e v ，r e p r e s e n t a t i o no fi 粤幻e r sb yi s o t