（计算机应用技术专业论文）灰色预测模型相关技术研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组 织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节， 它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来 一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的 分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并 取得了辉煌的成就。然而灰色预测模型还需要进一步的完善，本文深入分析 了影响灰色预测模型精度的因素，对灰色模型作了一些改进，主要工作如下： 首先本文分析了数据序列函数变换是提高灰色预测模型精度的一种重要 方法，在分析了数据序列光滑性的基础上，给出了一种新的函数变换方法， 通过理论证明和实验检验验证了该函数变换的有效性。 其次分析了灰色模型建模机制，讨论了初始条件对灰色预测模型精度的 影响，进而给出了一种新的初始条件选择方法，在分析了灰色模型和神经网 络各自特点的基础上，给出了把两者结合起来，建立一种兼有两者优点的灰 色神经网络预测模型。 最后本文对灰色预测模型背景值的构造方法进行了分析，引入了向量来 重新对背景值进行构造，改变了原始灰色预测模型用固定值构造背景值的方 法，并用粒子群算法优化方法来求解背景值向量，把这种方法应用到灰色非 线性g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型中，将灰色非线性g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型推广为适用范围 更广和精度更高的灰色非线性g m ( 1 ，l ，五，0 6 ) 模型。 关键词：灰色预测模型；神经网络；粒子群算法 西南交通大学硕士研究生学位论文第1i 页 a b s tr a c t t h ep u r p o s ea n dt a s ko fp r e d i c t i o ni s p r e d i c tt h et h i n gw h i c hh a sn o t o c c u r r e d r e g a r d l e s s o ft h ei n d i v i d u a lo rt h e o r g a n i z a t i o n ，p r e d i c t i o n i sa n i m p o r t a n tp a r to ft h ef u t u r e - o r i e n t e dd e c i s i o n m a k i n gp r o c e s s i ti sa l s oa n i m p o r t a n tp r e r e q u i s i t ef o rs c i e n t i f i cd i c i s i o n - m a k i n g a m o n gt h em a n yp r e d i c t o n w a y s ，g r e ym o d e lh a sb e e nv a l u e db ym a n ys c h o l a r ss i n c ec r e a t i o n i th a sm a n y a d v a n t a g e s ，s u c ha si tn e e d n tm a n ys a m p l ea n dd o e s n tr e q u s ts a m p l ed i s t r i b u t e d r e g u l a t i o n i ta l s oh a sa d v a n t a g e so fl e s sc o m p u t a t i o na n ds t r o n g e ra d a p t a b i l i t y g r e ym o d e lh a sb e e nw i d e l yu s e di nv a r i o u sf i e l d sa n do b t a i n e dg l o r i o u s a c h i e v e m e n t h o w e v e r , g r e yp r e d i c t i o nm o d e ln e e d sf u r t h e ri m p r o v e m e n t t h e f a c t o r st h a ta f f e c tt h ep r e c i s i o no ft h eg r e yp r e d i c t i o nm o d e la r ea n a l y s e di nt h i s p a p e r s o m ev a l u a b l ei m p r o v e m e n t sa r er e a c h e d t h em a i nw o r ki n c l u d e s ： f i r s t l y , d a t af u n c t i o n c o n v e r s a t i o ni sa n i m p o r t a n tm e t h o dt oi m p r o v e p r e d i c t i o na c c u r a c yo fg r e ym o d e l b a s e do nt h ea n a l y s i so fd a t as e q u e n c e s m o o t h ，an e wf u n c t i o nc o n v e r s em e t h o di sp u tf o r w a r d t h i sf u n c t i o nc o n v e r s e m e t h o di sp r o v e de f f e c t i v e l yb y t h e o r yp r o o fa n de x p e r i m e n t a lt e s t s e c o n d l y , g r e ym o d e l i n gm e c h a n i s mi sa n a l y z e d i ti sa l s od i s c u s s e dt h e i n f l u e n c eo fi n i t i a lv a l u et ot h e 罂qp r e d i c t i o na c c u r a c y an e wi n i t i a lv a l u e s e l e c t i o nm e t h o di s p r o p o s e d t h i sm e t h o dc a ni m p r o v et h ea c c u r a c yo fg r e y p r e d i c t i o nm o d e l b a s e do nt h ec h a r a c t e r i c t i c so fg r e ym o d e la n dn e u r a ln e t w o r k ， g r e yn e u r a ln e t w o r kf o r c a s t i n gm e t h o di sp u tf o r w a r dw h i c hh a v ea d v a n t a g e so f b o t hg r e ym o d e la n dn e u r a ln e t w o r k l a s t l y , t h eb u i l d i n gm e t h o do fg r e yp r e d i c t i o nm o d e lb a c k g r o u n dv a l u ei s a n a l y z e d t h ev e c t o ri si n t r o d u c e di n t ot h ec o m p u t i n gf o r m u l ao fb a c k g r o u n d v a l u ea r r a yw h i c hc h a n g et h eo r i g i n a lg r e yp r e d i c t i o nm o d e lt oc o n s t r u c tt h e b a c k g r o u n dv a l u e w i t haf i x e dv a l u e p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h mi s a d o p t e dt os o l v et h eb a c k g r o u n dv a l u e t h i sm e t h o di sa p p l i e dt og r e yn o n l i n e a r m o d e lg m ( 1 ，1 ， 6 ) an e wg r e yn o n l i n e a rm o d e lg m ( 1 ，1 ，兄，0 6 ) i sc o n t r u c t e d w h i c hh a sw i d e ra p p l i c a t i o nf i e l da n dg i v e sb e t t e rp r e c i s i o nt h a ng r e yn o n l i n e a r m o d e lg m ( 1 ，1 ，q 6 ) k e yw o r d s ：g r e yp r e d i c t i o nm o d e l ，n e u r a ln e t w o r k ，p a r t i c l es w a r ma l g o r i t h m 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密z 使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名： 童专勿邑指导老师签名： 日期：洳g f ) d 日期： 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均己在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 论文首先分析了数据序列函数变换是提高灰色预测模型精度的一种重要 方法，在分析了数据序列光滑性的基础上，给出了一种新的函数变换方法， 通过理论证明和实验检验验证了该函数变换的有效性；其次讨论了初始条件 对灰色预测模型精度的影响，进而给出了一种新的初始条件选择方法，在分 析了灰色模型和神经网络各自特点的基础上，给出了把两者结合起来，建立 一种兼有两者优点的灰色神经网络预测模型；最后对灰色预测模型背景值的 构造方法进行了分析，引入了向量来重新对背景值进行构造，改变了原始灰 色预测模型用固定值构造背景值的方法，并用粒子群算法优化方法来求解背 景值向量，把这种方法应用到灰色非线性g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型中，将灰色非线 性g m ( 1 ，1 ， 6 ) 模型推广为适用范围更广和精度更高的灰色非线性 g m ( 1 ，l ，力，0 6 ) 模型。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 预测是对某一事物( 或事件) 的行为特征量在未来某一时段内可能发生的 变化特征量或变化趋势作出估计和推断。预测作为一门科学，它是在一定的 理论指导下，以事物发展的历史和现状为出发点，以调查研究资料和统计数 据资料为依据，在对事物发展进行深入的定性分析和严密的定量计算的基础 上，研究并认识事物的发展变化规律，进而对事物的未来变化预先作出科学 的推测。科学的预测必须经过实践检验取得实效的预测方法体系为依据，预 测方法可以分为两大类，就是定性预测方法和定量预测方法。 定性预测方法是预测者根据自己掌握的实际情况、实践经验、专业水平， 对事物的发展前景的性质、方向和程度做出的判断。表面看来，定性方法似 乎缺乏可信度，但是在掌握的数据不多、不够准确或主要影响因素难以用数 字描述，无法进行定量分析时，定性预测就成为唯一可行的方法。 与定性方法相比，定量方法的科学性、精确性和可操作性要更强一些。 定量方法的基础是各种数学模型，模型的不同就形成了各种定量预测方法， 而且每一种数学模型，或者说预测方法，都有其适用的范围和处理方法。 预测技术主要包括回归分析法、时间序列法、趋势分析法、人工神经网 络方法、模糊预测法、灰色预测法、专家系统预测法、小波分析方法和数据 挖掘技术等。科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务，无论对 于个体还是对于组织，在其制定规划策略等面向未来的决策过程中，预测是 必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。 1 2 国内外研究现状 1 9 8 2 年，北荷兰出版公司的“s y s t e m sa n dc o n t r o ll e t t e r s 期刊上发表 了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文“t h ec o n t r o lp r o b l e m so f g r e y s y s t e m s ”1 1 0 1 。标志着灰色系统理论这一新兴横断学科开始问世。1 9 8 9 年英国 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 科技情报中心( s c i t e c hi n f o r m a t i o ns e r v i c e s ，u k ) 出于灰色系统在概念、 理论、方法上的新颖性，出于对其前景与潜在科技经济价值的考虑，创办了 以邓聚龙为主编、由英国发行的灰色系统国际期刊“t h ej o u r n a lo fg r e y s y s t e m ( j g s ) ，为灰色系统的发展提供了广阔的空间。2 0 多年来，灰色系 统理论受到国内外学术的极大关注，不少著名学者和专家给予充分肯定和支 持，许多学者纷纷加入灰色系统理论研究行列，以极大的热情开展理论探索 及在不同领域中的应用研究工作。 灰色系统在预测领域中应用最为广泛的是g m ( 1 ，1 ) 模型。由于其所需样 本数据少，计算简便等优点，已广泛应用于社会、经济、生态、农业等各个 领域，尤其在小样本、贫信息不确定系统和缺乏数据的情况下，得到了成功 的应用，这就决定了灰色系统中的g m ( 1 ，1 ) 模型在预测、决策等领域占有重 要的地位。为了扩大g m ( 1 ，1 ) 模型的适用范围和预测精度，许多学者在理论 研究方面做了大量的工作： 在g m ( 1 ，1 ) 模型原始数据序列进行预处理方面。人们在数据处理方面做 了很多研究，如刘思峰教授通过引进序列算子、缓冲算子淡化或消除了冲击 扰动对系统行为数据序列的影响例；在对原始数据序列经过标准化处理的基 础上，c u i f e n g l i 提出经函数s i n x 变换来提高离散数据序列光滑度的方法，并 从理论上证明了离散数据序列经过这种变换后可以大大提高光滑度【坦】；还有 学者提出用函数x - l a x e ) 来对原始数据序列进行变换，提高了数据序列的 光滑度，并用实例加以说明了该方法的有效性【埘；还有研究者证明了对原始 数据作对数变换、幂函数变换及它们的复合变换，对变换后的数据建立灰色 预测模型，所得预测精度高于传统方、法【1 ；利用指数函数对原始数据序列进 行变换，提高了离散数据列的光滑度，拓宽了灰色预测模型的应用范围，并 从理论上证明了该方法比对数函数法及幂函数法有更广的应用范卧搭】。这些 方法均在一定程度上改善了数据的光滑性，同时在理论上为提高模型精度作 数据变换提供了一种途径，并在实际应用中取得了较满意的效果。 在探讨g m ( 1 ，1 ) 模型中初始条件的选取方面。刘思峰教授认为应选择最 新的数据作为初始条件，提出选择x ( 1 序列的最后一个分量x ( 1 ( 刀) 作为初始 条件【，1 ；张大海【埔】指出第一数据作为初始条件是欠科学的，并对初始条件进 行了改进；还有学者基于残差和为零准则，按理想状态时的绝对误差，对新 方法做了进一步拓展( 2 0 】；张辉、胡适耕【2 7 】将初值增加了修正项，最后从平均 相对误差入手提出了g m ( 1 ，1 ) 模型精确解法；还有用最小二乘法确定g m ( 1 ，1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 模型白化权函数的时间响应函数中的常数，构建了时间响应函数的优化模型 【3 3 】o 在g m ( 1 ，1 ) 模型中背景值的构造方面。有的学者改变背景值取值的生成 建模，这种方法建模对背景值不是进行均值生成，而是用优化方法确定参数 3 7 例；王钟羡、吴春笃 5 1 根据g m ( 1 ，1 ) 灰色模型的指数特性，通过在区间上求 积分给出了关于背景值的一个比较确切的计算公式，讨论了由此建立的 g m ( 1 ，1 ) 改进模型的适用范围和预测精度；s h i h c h ic h a n g t 6 j 用预测增长率来 建立线性关系确定背景值参数；还有的先假设其为某一范围的值，再用叠代 法进行修正，至最小平方误差趋于稳定为止【，】。罗党教授等【。】对灰色微分方程 进行积分，把用指数函数表示的一次累加值代到积分方程从而得到新的背景 值计算公式。 在灰色系统理论和其他理论模型进行结合方面。b a t e s 和g r a n g e r 于1 9 6 9 年首次提出把各种模型组合起来并给它们分配适当的权重进行组合预测，能 够使信息充分利用，提高预测精度 2 5 1 。为了充分发挥各预测模型的优势，在 预测实践中，对于同一预测问题，往往可以采用多种预测方法进行预测。不 同的预测方法往往能提供不同的有用信息，组合预测方法将不同预测模型按 一定方式进行综合。根据组合定理，各种预测方法通过组合可以尽可能利用 全部的信息，尽可能地提高预测精度，达到改善预测性能的目的。组合预测 又分为线性组合预测和非线性组合预测，h a n 对线性和非线性组合预测进行 了比较研究【2 6 】。 1 3 论文的主要内容 本文对灰色预测模型进行了研究，寻找提高预测精度的途径，分别对建 模型数据序列函数变换方法、灰色预测模型背景值构造方法和初始条件选择 方法进行了研究。本文主要做了以下： 1 本文系统全面的论述了灰色系统的基本理论，灰色预测模型建模思想 及过程；灰色系统理论与概率统计、模糊理论的区别；阐述了灰色序列生成 算子，包括累加、累减和均值生成。 2 本文分析了数据序列函数变换是提高灰色预测模型精度的一种重要方 法，对数据序列光滑性进行了分析，给出了一种新的函数变换方法，通过理 论证明和实验检验，都说明了这种函数变换的有效性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 3 分析了灰色模型建模机制，讨论了初始条件对灰色预测模型精度的影 响，进而给出了一种新的初始条件选择方法，在分析了灰色模型和神经网络 各自特点的基础上，给出了把两者结合起来，建立一种兼有两者优点的灰色 神经网络预测模型。 4 本文对灰色预测模型背景值的构造方法进行了分析，引入了向量力来 重新对背景值进行构造，改变了原始灰色预测模型用固定值构造背景值的方 法，并用粒子群算法优化方法来求解向量力，将这种方法应用到灰色非线性 g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型中，将灰色非线性g m ( 1 ，1 ，p 6 ) 推广为适应性更强的灰色非 线性g m ( 1 ，1 ，五，0 6 ) 模型，通过实验验证灰色粒子群模型能提高模型精度。 1 4 论文的组织结构 论文的结构安排如下： 第一章绪论 介绍了论文研究背景和意义，说明了论文的主要内容和结构安排。 第二章灰色系统理论和灰色预测模型 简单介绍了灰色系统理论的基本原理，介绍了它与概率理论、模糊理论 的区别；阐述了灰色序列生成算子，包括累加、累减和均值生成；对g m ( 1 ，1 ) 灰色模型的建模过程进行了介绍。 第三章数据序列函数变换研究 原始离散数据序列的光滑度是影响模型精度的关键因素之一，但是实际 问题中许多数据序列的光滑度比较低，这就大大降低了灰色预测模型的精度， 限制了灰色预测模型的使用范围。因此，改善原始数据序列光滑度，对于提 高灰色预测精度具有重要意义。本文总结现有的提高原始数据序列光滑度的 方法，通过对数据序列进行分析，给出了一种新的改善数据序列光滑离散性 的函数变换方法。 第四章灰色预测模型初始条件研究 分析了模型初始条件对精度的影响，本文给出了一种新的初始条件选择 方法，并将不同的初始条件构建的灰色模型用神经网络算法训练为最优灰色 模型。实验结果表明本文给出的灰色神经网络模型进一步提高了灰色预测模 型的精度，拓宽了灰色预测模型的适用性。 第五章粒子群算法优化灰色预测模型 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 本章分析了灰色模型的建模机制，对背景值的构造方法进行了改进，给 出用粒子群算法优化灰色非线性g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型的方法。将灰色非线性 g m ( 1 ，1 ，0 6 ) 模型推广为g m ( 1 ，1 ，2 ， 6 ) 模型，提高了模型的精度。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章灰色系统理论和灰色预测模型 灰色理论自提出来到现在已经过二十多年的时间，灰色系统理论与应用 研究得到了迅速的发展，已经广泛应用于经济、科技、农业、生态、生物等 各个领域【l 】【州8 】。本章对灰色系统理论、灰色序列生成和g m ( 1 ，1 ) 模型进行了 介绍。 2 1 灰色系统基本理论 灰色系统理论研究是“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫 信息”不确定性系统。灰色系统的提出最早是在控制领域，在控制理论中， 人们经常用颜色深浅来表示系统信息的明确程度，“黑 表示信息完全未知， “白 则表示信息完全明确，“灰”则表示部分信息已知，部分信息未知。相 应的，信息完全未知的系统被称为黑色系统，信息完全已知的系统被称为白 色系统，而部分信息明确，部分信息不明确的系统即是灰色系统。 灰色系统理论与概率统计、模糊理论的对比。 概率论( p r o b a b i l i t y ) 、模糊理论( ( f u z z yt h e o r y ) 与灰色理论( g r e yt h e o r y ) 是三种最常用的不确定性系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性， 这是三者的共同点。三种理论研究内容的区别可概括如下【3 】： ( 1 ) 概率论研究“随机不确定 现象，研究历史统计规律，考察多种可能结 果的“随机不确定”现象中每种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本， 并要求对象服从某种典型分布。 ( 2 ) 模糊理论研究“认知不确定”问题，研究“内涵明确，外延不明确的 对象。比如“年轻人就是一个模糊概念。因为每个人都十分清楚“年轻人 的内涵，但是要你划定一人确切的范围，在这个范围之内是年轻人，范围之 外的不是年轻人，则很难办到，因为年轻人这个概念外延不明确。模糊理论 主要凭经验借助于隶属函数进行处理，强调先验信息，依赖人的经验，研究 经验认知的表达规律。 ( 3 ) 灰色系统理论着重研究概率论、模糊理论所难以解决的“小样本”、“贫 信息 不确定性问题，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 点是“少数据建模 。与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明 确，内涵不明确”对象。比如说到2 0 5 0 年，中国要将总人口控制在1 5 亿到 16 亿之间，这“15 亿到1 6 亿之间 就是一个灰概念，其外延很清楚，但如 果要时一步问到底是1 5 亿到1 6 亿之间的哪个具体数值则不清楚。 灰色理论问世以来的理论和实践证明，与其它预测方法相比，灰色模型 普遍精度高，误差小，在理论和方法上都得到了实际应用。己经成为许多领 域进行系统分析、建模、预测、决策、规划、评估、控制等的独特思路和崭 新方法 4 2 - - 4 3 1 4 5 1 。 2 2 灰色序列生成算子 灰色系统通过对原始数据的挖掘、整理来寻求其变化规律的，这是一种 就数据找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统认为， 尽管客观规律系统表象复杂，数据离散，但它总是有整体功能的，因此必然 蕴含着某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。一切 灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。 例如，己知原始数据数列x ( 0 ) = ( 1 ，2 ，1 5 ，3 ) ，它没有明显的规律性，将数 据作图如图2 1 所示。 图2 1 原始数据数列 若对原始数据做一次累加生成，将所得新序列记为x ( 1 ) ，则由下面介绍 的一次累加生成算子可得z 1 = ( 1 ，3 ，4 5 ，7 5 ) ，将数据作图如图2 2 所示。 图2 - 2 一次累加数据数列 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 由图2 1 和图2 2 可以看出，x ( o 的曲线是摆动的起伏变化幅度较大， 而x ( 1 是递增的，具有明显的增长规律性。 下面介绍几种算子： 1 序列算子 设x 为数据序列，d 为作用于x 的算子，称d 为序列算子，称 x d = x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，x ( 胛) d ) 为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，称d d 为二阶算子，并 称 x d d = x ( 1 ) d d ，x ( 2 ) 谢，x ( n ) d d ) 为二阶算子作用序列。 设x 为原始数据序列，d 为序列算子，当x 分别为增长序列、衰减序列 或振荡序列时： ( 1 ) 若算子作用序列x d 比原始序列x 增长速度( 或衰减速度) 减缓或振 幅减小，称d 为弱化算子； ( 2 ) 若算子作用序列x d 比原始序列x 增长速度( 或衰减速度) 增强或振 幅增大，称d 为强化算子。 2 累加生成算子 累加生成可以使离乱的原始数据中蕴含的特性或规律充分显露出来。 设原始数列x ( 0 各时刻的数据为 x o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x ( 刀) )( 2 1 ) n 称作维数，工( o 称作灰色序列，挖1 ，x ( o ( f ) 0 定义新数列x ( 1 ) x 1 = ( x 1 ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，x 1 ( 胛) ) 其中 七 x 1 ( 七) = x o ( f )k = l 2 ”，1 1 ( 2 2 ) 百 称为x ( o 的一次正向累加生成数列，记为l a g o ( a c c u m u l a t i n gg e n e r a t i o n o p e r a t o r ) 。 在一次累加数列x ( 1 的基础上再做一次累加生成可得到2 次累加生成数 列x ( 2 、。依次下去，可对原始数据列式( 2 1 ) 做，次累加生成，记作，一a g o ， 从而得到，次累加生成数列x ”，x ( 7 与x ( n ，的关系为 七 x 7 ( 七) = x 1 ( f ) ( 2 - 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 显然只要原始数列x ( 是非负数列，作一次累加生成得到的数列x o ) 是 单调不减函数。这说明，累加生成可使非负的摆动的、非摆动的数列或者任 意无规律性的数列转化为非减的递增数列。 3 累减生成算子 对累加生成数列还有个还原的问题，累减生成对累加生成起还原作用。 累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子。 对原始数据依次做前后两数据相减的运算过程叫累减生成，记作i a g o ( i n v e r s ea c c u m u l a t e dg e n e r a t i n go p e r a t i o n ) 。若x ( 7 为，一a g o 数列，则称 x ( r - 1 ) ( 七) = x 7 ( 后) 一x 7 ( 七一1 ) k = l ，2 ，n ( 2 4 ) 为r 次累减生成数列。 由累减生成知，一次累加数列x ( 1 与x ( o 有关系式 x o ( 忌) = x 1 ( 七) 一x 1 ( 七一1 ) k = l ，2 ，1 1 4 均值生成算子 用相邻数据的平均值构造新的数据，称为均值生成。 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( 七) ，x ( 七+ 1 ) ，x ( 九) ) ，x ( k ) 与x ( k + 1 ) 为z 的对 紧邻值，x ( k ) 称为前值，x ( k + 1 ) 称为后值，若x ( n ) 为新信息，则对任意 x ( 尼) ，k n 一1 称为老信息。 设x ( k ) 和x ( k - 1 ) 为序列x 中的一对紧邻值，若x ( k ) 为新信息，x ( k 一1 ) 为 老信息，0 t 1 ，则称 x ( 七) = t x ( k ) + ( 1 - t ) x ( k - 1 ) 为由新信息和老信息在生成系数( 权) 门f 的生成数，当f 0 5 时，称x ( 七) 的 生成是“重新信息”，“轻老信息”的；当t 0 5 时，称x ( j i ) 的生成是“重老 信息”，“轻新信息 的；而当f = 0 5 时，称x ( 尼) 是等权生成( 均值生成) 。 均值生成常用于灰色模型建模中，设x = ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( 栉) ) 为玎维序列， z 是x 的均值生成序列，则z 为甩一1 维序列： z = ( z ( 2 ) ，z ( 3 ) ，z ( 胛) ) 其中， z ( k ) = 0 5 x ( k ) + o 5 x ( k - 1 )k = 2 ，3 ，刀 2 3 灰色预测模型 离散序列的数据虽然杂乱无章无规律可循，看似随机，但通过适当的处 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 理，总会弱化其随机性，呈现系统固有的一些本质特征。对于离散的非负数 列，前面介绍的累加生成运算是加强其规律性的一种较好的变换形式。下面 介绍g m ( 1 ，1 ) 模型的定义及建模过程【3 】： 定义2 1 t - 】设原始数据序列x o = ( x o ( 1 ) ，x ( o ( 2 ) ，) c ( ( ，z ) ) ，一次累加生成 k 序列为x 1 = ( x 1 ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，x 1 ( 刀) ) ，其中，x 1 ( 七) = z ( o ( f ) ，则称 百 x o ( 后) + 积( 1 ( 后) = u( 2 5 ) 为g m ( 1 ，1 ) 模型的原始形式，其中a 为发展系数，u 为灰作用量。 符号g m ( 1 ，1 ) 的含义如下： g t q e y ( 灰色) m i m o d e l ( 模型) ( 1 ， t 1 阶 定义2 2 t 1 】设x 0 1 ，x 1 如定义2 1 所示，z 1 = ( z 0 ) ( 2 ) ，z 1 ( 3 ) ，z 1 ( 疗) ) ， 1 其中z 0 ) ( 忌) = z ，、( 、x o ) ( 七) + x 1 ( 尼一1 ) ) ，k = 2 ，3 , ee 9 挖，贝0 称 z x o ( 七) + n z 1 ( 七) = g( 2 - 6 ) 为g m ( 1 ，1 ) 模型的基本形式。 定理2 1 t 3 】设x o 为非负序列：x o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x ( o ) ) ，其中， x ( o ( | j ) 0 ，k = 1 ，2 ，r ；x o )为 x ( o 的1 - a g o序列 ： k x ( 1 ) = 1 ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，x ( 1 ( 以) ) ，其中，x 1 ( 后) = x t o ) q ) ，k = 1 ，2 ，押；z ( 1 为x ( 1 ) ，三l 的紧邻均值生成序列： z 1 = ( z 1 ( 2 ) ，z 1 ( 3 ) ，z ( 1 ( ，z ) ) ，其中， z 1 ( 七) = o 5 ( x 1 ( 后) + x 1 ( 尼一1 ) ) ，k = 2 ，3 ，n 。若a = 口，甜】r 为参数列，且 y = x o ( 2 ) z ( o ( 3 ) ，b = 一z 1 ( 2 ) 一z 1 ( 3 ) x o ( 门) jl z o ( 拧) 则g m ( 1 ，1 ) 模型x o ( 七) + 刃1 ( 七) = 甜的最小二乘估计数列满足a = ( 口7 b ) 一1 b r y 定义2 3 设x o 为非负序列，x ( 1 为石( o 的1 - a g o 序列，z ( 1 为x ( 1 的紧邻均 量变d + _ 个 西南交通大学硕士研究生学位论文 第11 页 ：一 值生成序列，【口，6 r = ( b r b ) - 1 b7 y ，则称 d x ( i ) - , i - 麟( 1 ) = u 一麟一2 讲 为g m ( 1 ，1 ) 模型 x o ( j i ) + 必1 ( 尼) = u 的白化方程。 定理2 2 设b ，y ，a 如定理2 1 所述，a = a ，“r = ( b 7 b ) 。1 b r y ，则 1 白化方程霉三+ 似( 1 ) ：“的解( 也称时间响应函数) 为 a t x ( 1 o ) ：( x ( 1 ) ( 1 ) 一兰) p 一耐+ 兰 2 g m ( i ，1 ) 模型x ( o ( 七) + 伲1 ( 七) = u 的时间响应序列为 量( 1 ( 尼+ 1 ) ：( x ( 1 ( 1 ) 一兰) p 一础+ 兰；七= 0 ，l ，刀一1 3 还原值为 戈o ( 七十1 ) = a 2 0 ) ( 七+ 1 ) 一是1 ( 后) ：( 1 一p a ) ( 工( o ( 1 ) 一兰) p 一政；七= 1 ，2 ，z 一1 ( 2 - 7 ) a 定义2 4 设戈( o ) ：( 殳( 0 1 ( 1 ) ，聋o ( 2 ) ，量( o ( 行) ) 为x = ( x ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x o ( 玎) ) 预测值，则 ( 七) = x o ( 七) 一圣o ( 后) 为原始序列x ( o 在k 时刻的残差。则有残差序列 q o = ( g o ( 1 ) ，g o ( 2 ) ，g o ( ，z ) ) 由于生成数据序列( 1 ) 的方式和建模的机制不同，因此建立的灰色模型 g m ( 1 ，1 ) 就不同。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 g m ( 1 ，1 ) 模型建模步骤为：首先对数据进行级比检验，对于级比不合格 的序列进行变换处理，然后建g m ( 1 ，1 ) 模型，最后模型检验。g m ( 1 ，1 ) 模型的 预测流程图如图2 3 所示。 图2 - 3g m ( 1 ，1 ) 模型预测流程图 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 第3 章数据序列函数变换研究 提高灰色预测模型精度的方法主要有两种：研究g m ( 1 ，1 ) 模型内部建模 机制和对数据序列作变换处理。理论和实践都证明，原始离散数据序列的光 滑度是影响模型精度的关键因素之一，越是光滑的离散数据序列，用这些数 据所建的模型的精度就越高，就越能反映原始数据的真实值和预测原始数据 序列的发展趋势【3 j 。但是实际问题中许多数据序列的光滑度比较低，这就大 大降低了灰色预测模型的精度，限制了灰色预测模型的使用范围。因此，改 善原始数据序列光滑度，对于提高灰色预测精度具有重要意义。本文总结现 有的提高原始数据序列光滑度的方法，通过对建模的数据序列进行分析，给 出了一种新的改善数据序列光滑离散性的函数变换方法。 3 1 数据序列光滑性分析 光滑连续函数具有处处可导的特性，而序列是由离散的单个点构成的， 通常情况下无导数可言，因此不能用导数来研究序列的光滑性。若序列具有 与光滑连续函数大致相近的特征，便认为此序列是光滑的，在此假设下，可 以用导数来研究序列的特性【3 】。 定义3 1 【3 l 设序列x o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，工o ( 胛) ，工o + 1 ) ) ，z 是x 的均 值生成序列：z = ( z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( 玎) ) ，其中z ( k ) = 0 5 x ( k ) + 0 5 x ( k 1 ) ，艉 某一可导函数的代表序列，d 是刀维空间的距离函数，我们将删去x ( 甩+ 1 ) 后所得的序列仍记为x ，若x 满足 k - 1 ( 1 ) 当k 充分大时，x o ( 尼) 时，p ( 七) ：粤 占，则称 x ( 。( | j ) ) ( 七：2 ，3 ，2 ) 为光滑离散序列。 善( f ) 定理3 1 【3 1 x o ( 七) ) ( 七= 2 ，3 ，n ) 为光滑离散序列的充要条件是： 夕( 七) = 掣是七的递减函数。 x 0 ( f ) 定理3 2 p 4 若x ( o ( 七) 为递增数列，且x m p ，t 1 ，则 ( 1 n x o ( 嘞7 i = l ( 2 ) 票苎竖 ( 1 nx o ( f ) ) r 垫竺塑 一k - 1 l n x o ( f ) j = 1 竺塑兰 k - i ( x o ( 啪“r i = i 盟 一k l x 。( f ) i = l 盟 一女一1 z 0 ( f ) 以上定义了光滑比和光滑离散序列，给出了光滑离散序列的充要条件。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 3 2 新的函数变换 在分析了序列光滑度的基础上，本文给出了一种新的函数变换方法 f ( x ) = + 1 ) ，f 0 ，该函数变换方法能缩小数据序列的变换幅度，降低其 随机性，特别适用于数据变化不平稳的情况，下面在理论上证明该函数变换 能提高序列光滑度。 1 证明经过函数f ( x ) = o + 1 ) 7 变换后的数据序列为光滑离散数据序列， 能提高序列光滑度。 先来证明f ( x ) = + 1 ) ，f 0 即厂( x o ( j i ) ) 为非负。 由于 厂( x o ( 足) ) = ( ( x o ( 七) + 1 ) 7 ) 7 = f ( x o ( 忌) + 1 ) 一1 因为f 0 所以厂( x o ( 七) ) = ( ( x o ( 足) + 1 ) 。) = t ( x o ( 后) + 1 ) 7 1 0 ，对序 列x o ( 七) 作变换厂( x o ( 七) ) = ( x o ( 后) + 1 ) ，则( x o ( 七) ) = ( x o ( 七) + 1 ) 是光滑离 散序列。 证明：引理3 1 证明了厂( x o ( 七) ) = ( x o ( 尼) + 1 ) ，f o ，k = 1 ，2 ，疗 k 因此( ( x o ( 七) + 1 ) 7 一( x 。( 七+ 1 ) + 1 ) 7 ) ( x o ( f ) + 1 ) 。 o t = l 又因为( z o ( 七) + 1 ) 7 ( x o ( 后+ 1 ) + 1 ) 0 所以 k ( ( x o ( 后) + 1 ) 。一( z o ( 七+ 1 ) + 1 ) ) ( x o ( f ) + 1 ) 7 - - ( x o ( 尼) + 1 ) ( x o ( 七+ 1 ) + 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 k上一l ( ( 石。( 七) + 1 ) 7 ( x o ( f ) + 1 ) ( z 。( 七+ 1 ) + 1 ) 7 ( x 。( f ) + 1 ) 。 i = 1i = 1 可以得出 ( x o ( 七+ 1 ) + 1 ) 7 ，( ( x o ( 七) + 1 ) 。 ， ( x o ( f ) + 1 ) 。( x 。( f ) + 1 ) 7 定理3 1 得证，f ( x o