（基础数学专业论文）基于小波变换的数字信号去噪方法.pdf

摘要 在实际应用领域中得到的信号总是会混有着一定的噪声，而噪声的存在严重干扰了 信号的本来面目，不利于进一步的信号分析和处理。因此，在信号预处理过程中对噪声加 以消除或减小，以便最大程度的提取有用的信号，是非常必要和重要的。 小波分析的方法已经被广泛应用于数字信号的去噪处理中，并受到越来越多的关注。 基于小波变换的信号去噪方法有多种：小波分解与重构去噪方法；小波变换模极大值去 噪方法；非线性小波变换阈值去噪方法；平移不变量小波去噪方法；基于小波变换域系 数相关性的去噪方法；基于小波包的去噪方法，以及近两年来日益成熟的应用多小波去噪 的方法等。 在这些方法中，非线性小波变换阈值去噪方法是应用最为广泛，适用性最强的。本文 综述了这些方法并重点突出了非线性小波阈值去噪方法的优点，并在阈值去噪方法的基 础上进行了一定的改进。在文章的最后利用改进的方法和传统的阈值方法进行了去噪效 果对比，实验表明，新方法不仅较为明显的改善了视觉效果，而且客观的信噪比和均方误 差都比传统的阈值方法要好。 关键词：小波变换；阈值；噪声；信号去噪 a b s t r a c t r e m o v i n gn o i s ef r o mt h eo r i g i n a ls i g n a li ss t i l lac h a l l e n g i n gp r o b l e mf o rr e s e a r c h e r s t h ep r o b l e mo fe s t i m a t i n gas i g n a lt h a ti sc o r r u p t e db ya d d i t i v en o i s eh a sb e e no fi n t e r e s tt o m a n yr e s e a r c h e r sf o rp r a c t i c a la sw e l la st h e o r e t i c a lr e a s o n s t h et h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i sh a sa l r e a d yb e e nw i d e l ya p p l i e di nd i g i t a ls i g n a ld e n o i s i n g a n dg a i n e dm o r ea n dm o r ee x t e n s i v ea t t e n t i o n t h e r ea r ek i n d so fm e t h o d sf o rs i g n a l d e n o i s i n gb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ：m e t h o db a s e do nw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n d r e c o n s t r u c t ；m e t h o db a s e do nm a x i m u mm o d u l eo fw a v e l e tt r a n s f o r m ；t h r e s h o l dd e - n o i s i n g m e t h o db a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ；d e n o i s i n ga l g o r i t h mo fw a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do n t r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e ；d e n o i s i n gm e t h o db a s e do nc o r r e l a t i o no fw a v e l e tc o e f f i c i e n t ； d e n o i s i n gm e t h o db a s e do nw a v e l e tp a c k e t ，a n dd e n o i s i n gm e t h o db a s e do nm u l t i w a v e l e t w h i c hh a sb e e nm o r ea n dm o r em a t u r er e c e n t l y i nt h i sp a p e r , w ei m p r o v et h ec o n v e n t i o n a lt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d ，t h e ne m p l o y t h e s en e w t e c h n i q u et ot h ed e n o i s i n go fs o m es i g n a l se m b e d d e di ng a u s s i a nn o i s e ，c o m p a r i n g w i t hs o m ec o n v e n t i o n a lm e t h o d s ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a to u rn e w t e c h n i q u e c o u l da c h i e v eb o t hb e t t e rv i s u a lq u a l i t y ，h i g h e rs n ra n dl o w e rm s ef o rt h ed e n o i s e ds i g n a l s k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；t h r e s h o l d ；n o i s e ；s i g n a ld e n o i s i n g 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：徐宣、謦 日期：少3 年占月f 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许 采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提 下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 同期：加8 6 、7 p 势：2 。o 心i 第一章绪论 基于小波变换的数字信号去噪方法 第一章绪论帚一早z 百下匕 1 1 选题的背景和意义 小波分析是近十几年来应用数学和工程科学中一个迅速发展的研究领域，是由 f o u r i e r 分析发展起来的一个新的数学方法，它既包含了丰富的数学理论，又是工程应用 中强有力的方法和工具n 。4 1 。从数学角度看，小波分析属于调和分析的范畴；从工程角度 看，小波分析是一种信号和信息处理的工具，通过引入可变的尺度因子和平移因子，巧妙 地解决了时频局部化的矛盾，弥补了f o u r i e r 分析的不足，是一种有效的时频分析方法 啪1 。小波分析的发展推动了许多其它学科和领域的发展，在科学技术界引起了越来越多 的关注和重视。探讨小波分析的新理论、新方法以及新应用成为当前数学界和工程界的 一个非常活跃、富有挑战性的研究领域。 小波概念的真正出现是1 9 8 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 在研究地震数据时提 出。随后，他与a g r o s s m a n n 一起，发展了连续小波变换的几何体系心堋。1 9 5 5 年，y m e y e r 同a g r o s s m a n n 及i d a u b e c h i e s 共同研究，得到了一组离散的小波基称为小波框架口1 。 1 9 8 6 年m e y e r 第一个构造出了具有一定衰减性的光滑小波，从而证明了确实存在小波正 交系。后来，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地构造了具有指数衰减的正交小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t l 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分 析概念，统一了各种正交小波基的构造，并且提出相应的分解与重构的快速算法，使小波 变换完全走向实用化。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 建立了紧支集的小波及小波框架的基本理论， 并且在小波专题研讨会上作了著名的1 0 次演讲，引起各行业众多人士的关注，从此在全 球掀起了小波分析与应用的热潮洳1 。 随着小波理论的日臻完善，它在许多领域得到了广泛的应用，包括：数学领域的许多 学科；信号分析、图像处理：量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型 机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲 线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递 等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等。在医学成像方面的减 湖北大学硕+ 学位论文 少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等抽。4 刊1 。 ( 1 ) 小波变换用于信号与图像压缩是其应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高， 压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波变 换的压缩方法很多，比较成功的有小波包最优基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零 树压缩，小波变换向量压缩等。 ( 2 ) 小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分 析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 ( 3 ) 在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、 远程宇宙的研究与生物医学方面。 1 2 小波去噪的历史与现状 伴随着信息科学的发展，信号处理越来越显示出其重要性，在科学实验中，我们往往 都要获得大量的原始信号，由于各种人为的或非人为的因素，实际中获得的原始信号都 不可避免的含有噪声，噪声的存在必然会给我们的研究结果带来一定的误差，为了减小 实验研究结果的误差，在对原始信号进行信号处理之前，对信号去噪是很有必要的。 长期以来，f o u r i e r 变换是信号去噪的主要手段，利用f o u r i e r 变换给信号去噪等价 于信号通过一个低通或高通滤波器。它利用f o u r i e r 变换把信号映射到频域内加以分析， 但是f o u r i e r 变换在给信号去噪的同时，也模糊了信号的位置信息，并且在实际应用中， 大多数信号都是非平稳的，非平稳信号谱沿时间轴无限扩展，此时f o u r i e r 变换的基函数 很难与其匹配，这给f o u r i e r 变换对非平稳信号去噪带来了困难d 5 侧。 近年来，小波理论得到了迅速的发展，由于其良好的时频特性，因而应用非常广泛。 在信号去噪领域，小波理论同样受到了许多学者的重视。1 9 8 8 年，s m a l l a t 提出了多分 辨分析的概念，使小波具有带通滤波的特性，因此可以利用小波分解与重构的方法进行 滤波去噪晴1 ；1 9 9 2 年，s m a l l a t 提出了信号奇异性检测的理论，从而可以利用小波变换模 极大值的方法给信号去噪h 1 ：1 9 9 5 年，d l d o n o h o 提出了利用非线性小波变换阈值法给 信号去噪n 铲1 6 1 ；同年，c o i f m a n 和d l d o n o h o 在阑值法的基础上提出了利用平移不变量 小波去噪法给信号去噪；1 9 9 9 年，s c h e n 和d l d o n o h o 提出了利用原子分解的基追踪 去噪法给信号去噪阳】。 随着小波理论的不断发展，多小波和小波包分析的出现给信一号去噪带来了新的方 法，由于小波包分析是比小波分析更为精细的时频局部分析方法，因此，利用小波包分 2 第一章绪论 析给信号去噪越来越受到科学界的关注。例如：基于最优小波包基的信号去噪算法，基于 小波包分析的自适应阈值算法，基于传统的阈值小波包去噪算法等等小波变换用于图像 去噪的理论基础始于s m a l l a t 把数学上的l i p s c h i t z 系数与小波变换的模极大值联系 起来。随后，d o n o h o 提出了小波阂值萎缩方法( v i s u s h r i n k ) ，并从渐近意义上证明了其优 越性。然而在实际应用中却往往效果不好，存在“过扼杀 系数的缺点n 纠引。相继他又在 s u r e 准则下提出了另一种小波闭值萎缩方法( s u r e s h r i n k ) ，这种方法的实际去噪效果较 v i s u s h r i n k 有了很大的提高。以后人们进一步研究小波相关去噪方法、比例萎缩方法等， 并且在进一步提高算法的局部适应性、先验模型的准确性、边缘信息的保留性等方面取 得了比v i s u s h r i n k 、s u r e s h r i n k 更小的去噪误差n 0 h 1 。 1 3 本文的主要内容及安排 本文的章节组织如下：第一章是绪论部分，包括本文研究的背景及意义、信号去噪 的历史与现状。第二章主要阐述了小波分析理论的基本内容。第三章主要总结介绍常用 的一些信号去噪方法，重点介绍了非线性小波变换阈值去噪方法，其中阈值函数的选取 和阈值的选取。第四章对传统的阈值去噪方法加以改进，并进行了仿真实验。 1 4 本文的创新点 本文的第三章详细的介绍了非线性的阈值去噪方法，因为阈值去噪算法是最简单、 最经典的一类小波域图像去噪算法。d o n o h od l 和j o h n s t o n ei m 等人从理论上证 明了它在极小化极大意义上的近似最优性。这类算法的主要思想是将小波系数同一个阈 值相比较，小于阈值的系数被置为零，大于阈值的系数被保留或被修正。 但是该方法只是针对信号分解后的高频子带进行阈值处理，没有对低频子带进行处 理。实际上，带有噪声的信号进行小波分解后，绝大部分的噪声在分解的高频部分，但是 低频部分仍然有噪声。如何处理低频子带的这部分极少的噪声呢? 邻域平均法是一种相 对较简单的处理方法，对低频子带的每个像素进行邻域平均处理，减少噪声的影响。相对 于没有对低频子带进行处理的阈值处理算法，改进的处理方法去噪效果更好。 3 湖北大学硕士学位论文 第二章小波变换基本理论 小波是近二十几年才发展起来并迅速应用到信号处理和语音分析等众多领域的一 种数学工具，是继的傅立叶分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对 新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。小波理论是应用数学的一个新领域。要深 入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。小波变换的主要算法则是由法国的科学家 s t e p h a n em a l l a t 在1 9 8 8 年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空 间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫 做m a l l a t 算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于 快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位1 。 2 1 连续小波变换 砹妒0 ) e l 职) ( l ( 尺) 表不r 上阴半7 5 口j 枞凼数至1 日j ) ，兵傅豆叶父殃为妒( ) ，当 妒 ) 满足允许性条件3 咖 q 一弹 汜，) 时，我们称妒o ) 为一个基本小波或母小波。将母4 , n 丐o q ) 经过伸缩和平移后得到一个小 波序列 m 南妒( t - 口b ) a , b e r ；a p , 0( 2 2 ) 称为由母函数缈( f ) 生成的依赖于参数a , b 的连续小波，其中口为尺度参数，b 为平移参 数。 对任意函数，o ) l 2 俾) 的连续小波变换为： 卅( ) 2 南至脚( 字矽 他3 ， 与f o u r i e r 变换类似，小波变换也有反演公式，其重构公式( 逆变换) 为 1+ + 1 心卜专穷o 6 肌“f ) 枷 心4 4 第二章小波变换基本理论 为了使式( 2 4 ) 成立，即由连续小波变换式( 2 3 ) 重构，( f ) ，需要吵( f ) 满足允许性条件 式( 2 1 ) ，进一步假设妒( f ) 在实轴绝对可积，则妒( ) 是连续函数，于是由l c 妒i 0 ， 婀推屿。拼。眦加1 ) 基本等价于- o ，妣肿是 振荡型函数( 正负部分相互抵消) ，再加上对妒( f ) 的局部性的要求( 在有限区问外恒等 于0 ，或很快趋于0 ) ，这是小波这一名称的由来。 2 2 离散小波变换 为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，我 们很自然的需要改变a 和b 的大小，以使小波变换具有“变焦距 的功能。连续小波变换 对信号，在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过尺度因子口和平移 因子b 实现的。通过口、b 的变化就得到了小波变换下不同的时频特性，从而实现对信号 ，的局部化分析。 连续小波变换主要用于理论分析与论证，在实际应用中，更重要的是其离散形式，这 主要是因为离散小波变换更容易用计算机实现。正如连续小波变换相对应于傅立叶变换 一样，离散小波变换相对应于傅立叶级数。所谓“离散”是指尺度和位移的离散，不是对 待分析信号和小波函数中时间变量t 的离散。 在连续小波变换中，考虑 哪) 2 赤妒( 等加郇鲫。 ( 2 6 ) 其中砂是允许的。为方便起见，在离散化过程中，总限定a 只取正值，这样允许条件( 2 1 ) 式就变为口吲： 5 湖北大学硕士学位论文 g 一烨一群虮 弦7 ， 对连续小波函数中尺度参数口和平移参数b 进行离散化，通常的做法是分别取 口* 口3 ，b k a i o b 。，这里j , k z ，扩展步长口。乒1 是固定值，在】；0 时，取固定6 0 ( 6 。 o ) 的整数倍离散化6 是很自然的。相应的离散小波函数可写成 妒肚o ) 。口勘瓮警) ：口勘口托一蛾) 足z ( 2 8 ) 相应的离散小波变换可表示为 c r ( ，七) = f y ( t ) c , j ( t ) a t 一( ，妒j ) ，j , k z ( 2 9 ) 当移jp ) 构成上2 似) 的标准正交基时，可由移似o ) 反演厂o ) ，其重构公式为 他) 罱c ，加皿批( f ) ( 2 1 0 ) 其中c 是一个与信号无关的常数。 2 3 二进小波变换 一个函数妒o ) 2 ) 称为二迸小波，如果存在两个常数0 彳sb ，使 爿s 茎舻( 2 ) 1 2 sb ( 2 1 1 ) 几乎处处成立。上述条件称为稳定性条件。满足稳定性条件的小波定满足允许性条 件，即一定是基本小波p 叫。 二进小波变换是连续小波变换和离散小波变换的折中，它是把正频率轴划分为不相 交的邻接的频率带，即a 取一些离散值2 ，_ z ，相应的二进小波变换为 w e ( 2 - i , b ) 一( ，妒2 一，) 一，i - w ，p ) 2 ；缈( 27 p 一6 ) ) ，- z ( 2 1 2 ) 若口、b 分别取离散值2 ，2 一k ，j , k z ，即取口o = i 1 ，6 0 - - 1 ，由此得到的小波： 妒j 冀( f ) = 2 2 妒( 2 7 t 一七) ，j f ，k z ( 2 1 3 ) 相应的称为二进离散小波。 6 第二章小波变换基本理论 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数2 - i ，它对应观测到信 号的某部分内容，如果想进一步观看到信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小_ 值；反之，如果想了解信号更粗的内容，就需要减小放大倍数即增大_ 值。在这个意义上， 小波变换被称为“数学显微镜”。 在实际中通过对连续的尺度参数a 和平移参数b 采用二进制动态采样网格而得到的 二进小波不同于连续小波的离散形式，它只是对尺度参数口进行了离散化，而对时间域 上的平移参数b 保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这 也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。二进小波将频率轴二进制离散化，具有 许多优良特性，是离散小波中最常见的一种形式。 2 4 多分辨分析 多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它是s m a l l a t 在 1 9 8 8 年提出的，可用于正交小波的分解和重构，也称金字塔算法。多分辨分析的基本思想 是将原始信号分为不同分辨率的几组信号，然后选择合适的分辨率或者在各级分辨率上 处理此信号。如果我们把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于 照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间里，就相当于从远处观察目标，只能看到 目标大致的概貌；在小尺度空间里，就相当于从近处观察目标，可以观察到目标的细节部 分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细观察目标。这就是多 分辨分析的基本思想。多分辨分析的定义如下： 设忆 僻是三2 俾) 中的一个闭子空间序列，称”j 解为l 2 俾) 的一个多分辨分析 ( m r a ) ，如果它满足下列性质吲： ( 1 ) 单调性：匕cy + 1 ，z ； ( 2 ) 逼近性：n = o ，u 巧= 2 俾) ； j zj e z ( 3 ) 伸缩| 生：f q ) e y f 营f ( 力) e v j “v j e z ： ( 4 ) 平移不变性：v k e z ，f ( t ) e v j 考f ( t - k ) e y ， ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在g ( t ) v o ，使得信。一七) k e z 构成的一个r i e s z 基，即 ；i 磊否万j 网= 且存在o 爿5b 0 ，使信号厂o ) 的l i p s c h i t z 指数与小波变换模极大值满足 l o g ：限，厂o ) 卜1 0 9 2 k + j o t ( 3 5 ) 由式( 3 5 ) 可知，对于一般信，由于口20 小波变换的模极大值将随着j 的增大而增 大：而对于白噪声，由于口 a 式中k z 。该函数最大的优点是在阈值处具有较高阶的光滑性。 g a oh y 等在1 9 9 7 年提出了一种改进的阂值函数，可以兼顾软阈值函数和硬阈值函 数的优点( 见图3 3 右) ，其表达式如下“7 1 ： 1 8 第三章基于小波变换的数字信号去噪方法 w l k =s 萨吲等掣，厶帆小九 ，i l t 0 其它 图3 3 ：两种改进的阈值函数( 左：z h a n g1 9 9 7 ，右：g a oh y 1 9 9 7 ) 。 g a oh y 等又利用非负g a r r o t e 函数作为阈值函数( 如图3 4 左) ，其表达式如下呻1 ： 叶 ：杀 瞄 右) 。其表达式如下n 引： f ，t s w ( w j ，t ) ( 1 一a ) 九，t 九 叫毗晦m 删瞥一群 久 图3 4 ：两种改进的阈值函数( 左：g a oh y 1 9 9 8 ，右：y o o nb j 2 0 0 4 ) 。 针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，这些方法的共同特点是：在软硬阈值函数之间作 1 9 湖北大学硕十学位论文 一个折中：当小波系数小于阈值时，不是简单地置零( 硬阈值方法) 或者按照固定向量 向零收缩( 软阈值方法) ，而是平滑地减少为零。 二、阈值的选取 对于阈值去噪算法，阙值的选择非常重要。如果阈值太小，则去噪后的图像中残留的 噪声较多；如果阈值太大，则会使重要的图像特征被过滤掉，从而引起偏差。直观上讲， 对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。为此，研究者们根据小波系数的特征提出 了许多优秀的阈值选取方法。本节主要介绍以下三种典型的阈值：v i s u s h r i n k 、 b a y e s s h r i n k 和n o r m a l s h r i n k 阈值。 v i s u s h r i n k 阈值方法( 统一阈值去噪方法) 是由d o n o h od l 和j o h n s t o n e l m 在1 9 9 4 年提出的一种渐近意义上的最优阈值方法n 5 ，1 6 1 。在正交小波变换和加性零均值高斯噪声 的条件下提出的。表达式为 3 v i s u 一6 。4 2 l o g ( n ) 叫笔掣 其中，以为噪声的标准差估计值，ke s u b b a n d ( d ，) ，为给定细节子带的小波系数的数 量。v i s u s h r i n k 阈值的理论依据是：当呻+ 时，零均值高斯白噪声的最大幅值以接 近于1 的概率小- 于d rx 2 1 0 9 ( n ) 。所以通用阈值是渐近意义上的最优阈值。但是v i s u s h r i n k 阂值的一大不足也在于：v i s u s h r i n k 阈值的大小过度依赖于待处理图像的大小，即当较 大时，6 。4 2 l o g ( n ) 趋向于将所有的小波系数置零，这就往往产生“过扼杀”系数的现象， 重构后的图像会出现较大的偏差。 b a y e s s h r i n k 阈值是在正交小波变换的系数服从广义高斯分布的假设下提出的，表示 为2 0 2 1 1 仃 a b a y e s2 _ 口y 其中，彦。为噪声方差的估计值，田为原始信号的在指定细节子带上的标准差估计值。当 争 1 时，即噪声的能量远大于信号 第二章基于小波变换的数字信号去噪方法 的能量时，归一化阈值叁将非常大，从而能够去除大部分噪声。所以b a y e s s h r i n k 阈值不 y 但是渐近最佳的，而且能够适应信号和噪声的特征。 n o r m a l s h r i n k 阈值也是在正交小波变换的系数服从广义高斯分布的假设下提出的， 表示为 a ，= 譬o ，夕= 压争，v ， 其中，彦。为噪声方差的估计值，6 y 为原始信号的在指定细节子带上的标准差估计值。厶 为给定细节子带的小波系数的数量，为给定小波分解的尺度数。对不同的子带，所选取 的阈值大小跟分解的尺度数、子带系数的个数密切相关。 上述的阈值从整体和局部的关系上又分为全局闽值去噪( 如v i s u s h r i n k ) 与分层阈 值( b a y e s s h r i n k 和n o r m a l s h r i n k ) 两种。阈值全局处理就是对各级小波分解得到的高频 系数采用同一阈值进行滤波，而阈值分层处理则对小波分解的每一层基于一个阈值进行 滤波。从理论上分析，分层阈值根据各层系数的特征进行阈值选取，更能灵活处理含噪信 号中的噪声。 3 7 去噪效果的判定 信噪比( s n r ) 和最小均方误差( m s e ) 是判断去噪效果的依据眦对。均方误差( m s e ) 说明了重构信号和原始信号在逐个像素点上的差异。去噪的目的是得到原始信号f ( i ) 的 估计夕( f ) ，使得其均方误差m s e 最小，其中 m s e 丙1 善n 陟o ) 一于o ) fn 惫k 一q 信噪比等于信号与噪声的功率谱之比，但功率谱难以计算。常用信号与噪声的方差 之比来估计信噪比。先计算信号所有点的局部方差，将局部方差的最大值认为是信号方 差，最小值是噪声方差，求出二者比值。 眦圳，g n 为了得到最好的去噪效果，不但要选择合适的小波函数，还要确定最佳的分解层数 2 1 湖北大学硕士学位论文 并选取合适的阈值。对某一信噪比的含噪声信号，我们分别改变所取的小波函数、分解层 数和阂值取法，通过大量的对比仿真实验找到最好的去噪方法。然后再对不同信噪比的含 噪声信号进行去噪进一步改进去噪方法使去噪方法具有通用性。 3 8 本章小节 本章首先介绍了小波变换的去噪原理和噪声的分类，接着介绍了四种去噪算法，即 小波分解与重构去噪方法、小波变换模极大值去噪方法、平移不变去噪方法以及基于小 波变换域系数相关性去噪方法，随后重点介绍了非线性小波变换阈值去噪方法。 阈值去噪算法是最简单、最经典的一类小波域图像去噪算法。d o n o h od l 和 j o h n s t o n ei m 从理论上证明了它在极小化极大意义上的近似最优性。这类算法的主要 思想是将小波系数同一个阈值相比较，小于阈值的系数被置为零，大于阈值的系数被保 留或被修正。因此，阈值去噪算法涉及两个关键问题：一是阈值函数的选择，二是阈值的 选择；随后就讨论了这两个关键问题。针对硬阈值函数和软阈值函数的缺点，这些方法 的共同特点是：在软硬阈值函数之间作一个折中：当小波系数小于阈值时，不是简单地 置零( 硬阈值方法) 或者按照固定向量向零收缩( 软阈值方法) ，而是平滑地减少为零。 阈值方法的原始信号的恢复效果主要依赖于阈值的选取，如果阈值选取过大，就会消去 信号的部分信息；阈值选取过小则会保留过多噪声。 第四章改进的数字信号玄噪方法 第四章改进的数字信号去噪方法 第三章介绍了非线性的阂值去噪方法，d o n o h od l 和j o h n s t o n ei m 从理论上 证明了它在极小化极大意义上的近似最优性。这类算法的主要思想是将小波系数同一个 阈值相比较，小于阈值的系数被置为零，大于阈值的系数被保留或被修正。 但是该方法只是针对信号分解后的高频进行阈值处理，没有对低频处理。实际上，带 有噪声的信号进行小波分解后，绝大部分的噪声在分解的高频部分，但是低频部分仍然 有噪声。如何处理低频子带的这部分极少的噪声呢? 邻域平均法是一种相对较简单的处 理方法，对低子带的每个像素进行领域平均处理，减少噪声的影响。相对与没有对低频子 带进行处理的阈值处理算法，改进的处理方法去噪效果更好。 4 1 去噪模型的建立 假设待处理的含噪信号g ( i ) 是由原始信号厂o ) 与噪声n a ) 的叠加得到，则含噪信号 g ( f ) 可表示为： g ( f ) z 厂o ) + ，l o ) ， f = 1 , 2 ，o0 9 n 这里我们认为，l “) 是一个一级高斯白噪声，通常表现为高频信号，而实际工程中 ，g ) 通常为低频信号或者是一些比较平稳的信号。一般地，对信号进行小波分解，噪声信 号多包含在具有较高频率的细节中，从而可以利用门限阈值等形式对所分解的小波系数 进行处理，然后对信号进行小波重构可达到对信号去噪的目的。对信号去噪实质上是抑 制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。 信道噪声及扫描图像时产生的噪声都属于加性噪声。在下文即将讨论的也是实际中 带有普遍性的随机噪声一高斯噪声。加性噪声通常表现为高斯噪声或脉冲噪声，它们与信 号的关系是相加，不管有没有信号，噪声都存在。 4 2 噪声在小波分解下的特性 在此，我们将噪声，l “) 看做普通信号分析一下它的相关性、频谱和频率分布这三个 主要特征。 总体上，对于一维信号来说，其高频部分所影响的是小波分解的第一层细节，其低频 部分所影响的是小波分解的最深层和低频层。如果对一个仅由白噪声所组成的信号进行 分析，则可得出这样的结论：高频系数的幅值随着分解层数的增加而迅速的衰减，且 湖北大学硕士学位论文 其方差也有同样的变化趋势。在这里用c ( j ，七) 表示对噪声用小波分解后的系数，其中，歹 表示尺度，k 表示时间，对离散时间信号引入如下的属性： ( 1 ) 如果h 是一个平稳、零均值的白噪声，那么它的小波分解系数是相互独立的。 ( 2 ) 如果n 是个高斯噪声，那么其小波分解系数是互不相关的，且服从高斯分 布。 ( 3 ) 如果玎是个平稳、有色、零均值的高斯型噪声序列，那么它的小波分解系 数也是高斯序列，并且对每一个分解尺度j ，其相应的系数是一个平稳、有色 的序列。如何选择对分解系数具有解相关性的小波是一个很困难的问题，在 目前也没有得到很好的解决，进步需要指出，即使存在一个小波，但是它对 噪声的解相关性取决于噪声的有色性，为了用小波计算噪声的解相关性，必 须知道噪声本身的颜色。 ( 4 ) 如果，l 是一个固定零均值a r m a 模型，那么对每个小波分解尺度 j ，c ( j ，七) ，( y e z ) 也是固定零均值a r m a 模型，且其特性取决于尺度_ 。 ( 5 ) 如果n 是一个噪声： 若其相关函数已知，则可计算系数序列c ( j ，七) 和c ( j ，k ) ； 若其相关函数谱已知，则可计算c ( 1 ，足) ，( j e z ) 的谱及尺度j 和j 的交叉谱。 4 3 新去噪方法的步骤 一般而言，一维信号去噪的过程可分为如下的3 个步骤。 s t e p1 ：信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层数，然后进行分解计算。 s t e p2 ：小波分解高频系数的阈值处理。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈 值进行硬、软阈值函数处理( 或是其它四种改进的阈值函数) 。 s t e p3 ：一维小波重构。根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小 波重构。 在这3 个步骤中，最关键的是如何选择阈值及如何选择阈值函数，在某种程度上，它 关系到信号去噪的质量。 但是该过程只是针对信号分解后的高频进行阈值处理，没有对低频处理。实际上，带 有噪声的信号进行小波分解后，绝大部分的噪声在分解的高频部分，但是低频部分仍 2 4 第四章改进的数字信号去噪方法 然有噪声。如何处理低频子带的这部分极少的噪声呢? 邻域平均法是一种相对较简单的 处理方法，对低子带的每个像素进行邻域平均处理，减少噪声的影响。相对与没有对低频 子带进行处理的阈值处理算法，改进的处理方法去噪效果更好。 对含噪信号g “) 进行一级小波分解后得到低频子带( 信号的近似逼近部分) 和高频 子带( 信号的重要细节信息和噪声的大部分信息) ，然后分别对这两部分进处理。 对于高频部分，我们采取非线性的阈值处理。这涉及到阈值和阈值函数的选取。 第三章介绍了六种阈值函数和三种阈值的取法，实际上最常用的阈值函数是硬、软两种 阈值函数，和其它四种改进的阈值函数相比，这两种函数计算简单，去噪效果很好。本文 选取软阈值函数，原因有二：一是软阈值函数在极小化极大意义上具有近似最优性；二 是软阈值函数克服了硬阈值函数因为不连续而出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真的不 足。同时在v i s u s h r i n k 、b a y e s s h r i n k 、n o r m a l s h r i n k 中选择v i s u s h r i n k 阈值，尽管v i s u s h r i n k 阈值依赖于待处理图像的大小，即当n 较大时，彦。4 2 l o g ( n ) 趋向于将所有的小波系数置 零，这会产生“过扼杀”系数的现象。但是我们处理的信号都是长度有限的信号，所以就 不会产生这种“过扼杀 系数的现象。 对于低频部分，我们采取邻域平均处理。小波变换的能力压缩特性说明了小波变换 能够用少量的大幅值系数表示图像的主要特征，但是这部分仍然参合有少部分的噪声。 对低频子带的每个点采取邻域平均，因为噪声是零均值的高斯噪声，所以在进行邻域平 均时，可以减少噪声对信号的干扰。 综上所述，改进后的阈值去噪方法的三个步骤如下： s t e p1 ：信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层数，然后进行分解计算。 s t e p2 - 小波分解系数的处理。 高频系数的阈值处理：对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行 硬、软阈值函数处理( 或是其它四种改进的阈值函数) ； 低频系数的邻域平均：对各个分解尺度下的低频系数进行邻域平均处理。 s t e p3 ：一维小波重构。根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小 波重构。 实际上，上述两种方法的第一步和第三步是相同的，区别就在与第二步，新方法的第 二步对分解后高频系数进行阈值处理的同时，也对分解后低频系数进行邻域平均。 基于上述的分析过程，我们得到了改进后的数字信号去噪算法的流程图( 如图4 1 ) 。 湖北大学硕十学位论文 图4 1 改进的数字信号去噪算法的流程图 4 4 仿真实验 本章利用标准信号加高斯白噪声来比较上文中两种方法的去噪效果，实验中使用的 信号有s i n 、h e a v ys i n e 和c h i r p 信号，采样点分别为1 0 0 1 、2 0 4 8 和1 0 0 1 ，叠加标准高斯白 噪声方差为0 0 1 ；选用的小波分别是s y m 3 、s y m 4 和d b 3 小波，根据分解的尺度 不同选用了不同的阂值a ，一2 l o g l o 攻- + 1 ) ，( _ 一1 2 ，- ，) ，小波分解最大尺度 ，；5 。本章比较了下面两种方法进行信号去噪的效果。 ( 1 ) 传统软阈值函数( c s t ) ； ( 2 ) 本文的新方法：传统软阈值函数与邻域平均处理( n e w ) 。 图4 2 ，4 3 ，4 4 分别为s i n 、h e a v ys i n e 和c h i r p 信号的原始信号和含噪信号以及去 噪后所得到的信号。从如图4 2 和图4 4 的第四幅和图4 3 的右下图可以看出：用改进后 的去噪方法( n e w ) 进行去噪，不但去噪后的视觉效果较好，而且客观评价也较好( 表4 1 和表4 2 ，信噪比s n r 较大、均方误差m s e 较小) ；可是如果用传统的阈值方法( c s t ) 进行 去噪，如图4 2 5 0 图4 4 的第三幅和图4 3 的左下图，明显有些聚集的噪声点，并且客观评 价也没有n e w 方法的好( 表4 1 和表4 2 ，信噪k 匕s n r 相对较小、均方误差m s e 也相对较大) 。 综上所述，传统的阈值方法虽然可以一定程度上除去信号中的高斯白噪声，但是其 去噪效果( 无论是视觉效果还是客观的评价标准) 不是很好，所以有必要对其进行改进。 本文提出了一种改进的方法，利用改进后的方法进行去噪可以有效除去高斯白噪声；另 外，对于有些信号来说，用改迸的方法进行去噪时，无论是从信噪比来看，还是从均方误 差来看，都比用传统的阈值方法进行去噪处理的效果好。 第四章改进的数字信号去噪方法 图4 2s i n 信号：从上到下依次是原始信号、含噪信号、c s t 去噪信号和n e w 去噪信号。 图4 3h e a v ys i n e 信号：从上到下依次是原始信号、含噪信号、c s t 去噪信号和n e w 去噪信 了。 2 7 湖北大学硕士学位论文 图4 4c h i r p 信号：从左到右、从