（基础数学专业论文）关于两类特殊序半群的研究.pdf

摘要 偏序半群的代数理论仍是当今最为活跃的代数学研究领域之一本文研究 了两类偏序半群，并给出了它们的一些性质及其刻画本文同时还研究了这些 偏序半群与滤子以及理想之间的关系主要结果如下： 1 研究了序半群上主理想的基本性质以及如何用这些性质对序半群上 的g r e e n 关系进行刻画进一步本文引入了四类a r c h i m e d e a n 序半群用主 理想和g r e e n 关系讨论了这四类a r c h i m e d e a n 序半群的性质 2 研究了f 俐一a r c h i m e d e a n 序半群上的几种理想之间的关系，并在f 俐 a r c h i m e d e a n 序半群的基础上给出了几种理想之间关系的刻画同时，本 文用单序半群，内正则序半群刻画了几类a r c h i m e d e a n 序半群，给出了四 类a r c h i m e d e a n 序半群在某些特殊情况下的刻画 3 研究了特殊的序半群一一开( 内) 正则序半群，讨论了这两类序半群的一 些性质及其上的理想的性质，并用几类理想刻画了这两类序半群同时本文研 究了在某种特殊情况下这两类序半群的滤子以及用滤子来刻画这两类特殊的序 半群 关键词 a r c h i m e d e a n 序半群，f n 矽一a r c h i m e d e a n 序半群，7 r - 正则序半群，7 r 一内正则 序半群 a b s t r a c t a l g e b r a i ct h e o d , o fp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p si ss t i l lo n eo ft h em o s t a c t i v eb r a n c h e si na l g e b r a w ep r e s e n tat h o r o u g hs t u d yo nt h ep r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r i s t i c so ft w oc l a s s e so fp a r t i a l l yo r d e r e ds e m i g r o u p s f u r t h e r m o r e ，w e a l s oc l a r i f ys o m er e l a t i o n sa m o n gt h ef i l t e r s ，i d e a l sa n dc e r t a i no r d e r e ds e m i g r o u p s t h em a i nr e s u l t sc a nb es h o w e da sf o l l o w s ： 1 、v es t u d yt h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h ep r i n c i p a li d e a la n dh o w t oc h a r a c t e r i z et h eg r e e n sr e l a t i o n i nt h em e a n t i m e ，w ei n t r o d u c ef o u rt y p e s o fa r c h i m e d e a no r d e r e ds e m i g r o u p sa n dd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e sb a s e do nt h e p r o p e r t i e so ft h ep r i n c i p a li d e a la n dt h eg r e e n sr e l a t i o n 2 。t h er e l a t i o n sa n dc h a r a c t e r i s t i c so fs o m ei d e a l si nl ( r ) 一a r c h i m e d e a n 毗 d e r e ds e m i g r o u p sa r eo b t a i n e d s o m ea r c h i m e d e a no r d e r e ds e n f i g r o u p sc a nb e d e s c r i b e db ys i m p l eo r d e r e ds e m i g r o u p sa n di n t r a - r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p f l l r t h e r r n o r e ，r a i d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，w ef i n df o u rt y p e so fa r c h i m e d e a no r - d e r e ds e m i g r o u p sa r ee q u i v a l e n t 3 w es t u d ya n o t h e rc l a s so fo r d e r e ds e m i g r o u p s - r r i n t r a - r e g u l a ro r d e r e d s e m i g r o u pa n d7 r r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h e t w ot y p e so fs e m i g r o u p s i 陆各o b t a i nc h a r a c t e r i s t i c so ft h e s es e m i g r o u p sb a s e d o nt h ep r o p e r t i e so ft h e i ri d e a l sa n df i l t e r s k e y w o r d s a r c h i m e d e a no r d e r e ds e m i g r o u p ，i ( r ，t ) a r c h i m e d e a no r d e r e ds e m i g r o u p ，瓠一 r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p ，7 r i n t r a - r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 、 学位论文作者签名：蓬塑指导教师签名：垫玉髦 2 0 | o 年o 只| obw 掘年p 6 只( ob 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：笾胡 2 0 o 年d 石月o 日 西北大学硕十学位论文 1 1 引言 第一章绪论 在数学的众多分支中，代数学己成为不可缺少的基本研究工具之一近年 来，代数学的研究得到了迅猛的发展随着计算机技术的发展和普及，以及由此 引起的离散数学的兴起，使得代数学在信息与通讯系统和理论计算机科学领域 具有更加广泛的应用 半群代数理论是一门重要的代数学分支半群的正式研究开始于二十 世纪早期，经过一个多世纪的发展，现如今，半群代数理论已经十分丰富 它在计算机、信息安全、自动化控制等领域都有重要的应用 1 5 i 随着半 群理论的不断丰富和发展! 半群的序结构理论也得到了较快的发展2 0 世 纪4 0 年代，著名的数学家g b i r k h o f f 在他的著作格论一书中，对格序 群进行了充分的研究，得到了很多有意义的结论该著作也对格序半群( 含幺 半群) 进行了探讨，丰富了半群研究的领域由于有很强的群论理论作基础， 偏序半群理论自上世纪6 0 年代起一枝独秀，很快从代数理论中分离出来， 在l f u c h s ，p c o n r a d 及w h o l l a n d 等著名数学家的推动下发展成一个完整 的研究体系在近4 0 多年中，序半群理论取得了很大的进展8 0 年代以后， n k e h a y o p u l u 6 - 1 8 】对正则偏序半群、次直不可约偏序半群以及偏序半群上 的g r e e n s 关系等问题进行了深入研究，得到了一些有意义的结果9 0 年代，中 国学者谢祥云等【1 9 2 3 】对偏序半群的理想、同余和偏序扩张等问题进行了研究， 所得结果受到国内外学者的关注现如今，偏序半群的代数理论仍是最为活跃 的代数学研究领域之一 自从提出了序半群的概念以来，在序半群基础上的各类特殊的序半群的 研究吸引了大批作者的关注从7 0 年代以来，a r c h i m e d e a n 序半群概念的提 出，引起了一部分作者的兴趣，同时对a r c h i m e d e a n 序半群做了进一步的细 化和推广，诸如a r c h i m e d e a n 序半群作为弱交换半群的滤子来进行研究【圳， 1 第一章绪论 t - a r c h i m e d e a n 序半群 19 】的性质，以及r a r c h i m e d e a n 序半群 2 3 】的性质等本 文主要研究的是2 例a r c h i m e d e a n 序半群的一些性质，f 俐- a r c h i m e d e a n 序半 群上各种理想之间的关系，以及序半群上几类特殊序半群的刻画同时：本文还 对7 r 一( 内) 正则序半群进行了讨论 1 2 预备知识 半群( s ，) 1 2 4 1指在非空集合s 上定义一个二元运算“”且满足条件 ( c a ，b ，c s ) a ( b c ) = ( a b ) c 为了方便起见，下文中均用曲代替a b 设s 是半群若存在e l ( e r ) s ，使得 ( v8 s ) e l s = 8 ( s e r = s ) ， 则称e l ( e r ) 为s 的左( 右) 单位元若e 既是左单位元又是右单位元，则 称e 为s 的单位元容易验证半群最多只有一个单位元 设s 为半群若s 上有偏序关系，使得 ( v a ，b ，c s ) a b 号c a c b ，a c b c ， 则称s 为序半群，记为s = ( s ，- ，) 若序半群s 不含单位元，可以在s 中添加元素e ( e 隹s ) ，并定义运算如 下： ( v s s ) e 8 = 8 e = 8 ，e e = e ， 则定义s 1 = su e ，即s 1 是含单位元的序半群且s 1 上的序关系保持不变 同理可以定义s l = su e l ) 是包含左单位元的序半群，s r = su ( e r ) 是 包含右单位元的序半群 设s 为序半群j 为s 的非空子集，若j 满足 1 ) s j ( j s 冬) ； 2 ) ( v a ，) b a 号b i 则称，为s 的左理想( 右理想) 若，既是s 的左理想，又是s 的右理想，则 2 两北大学硕十学位论文 称，是s 的理想 设s 为序半群若日s ，考虑集合 ( h ：= z s i3 h h ，z 愚) 若日是半群s 的理想：则由序半群的理想的定义易知( 日】是序半群s 的理 想首先，由于日是半群s 的理想，添加序半群定义中的序关系，则s 为序 半群此时，s ( h s 冬( 翻( 日】( 翻( s h s ( 日】其次，对任意的a ( h i ， 存在h h ，满足a h 若b s 且b a ，可知b h 由( 卅的定义可 知b ( 刎因此，( 日】是序半群s 的理想特别的，若h = n ) ，则简记为( q 】 设a 为序半群s 中的元素，s 的由a 生成的主左( 右) 理想l ( o ) ( r ( o ) ) 是 指s 的包含a 的所有左( 右) 理想的交i ( a ) 为由a 生成的主理想因此：很 容易得到： l ( a ) = ( a u s a 】= ( s 1 a 4 ， r ( o ) = ( a u a s _ ( a s l 】， i ( a ) = ( a u s a u s u s a s 】_ ( s 1 a s l 】 设s 为序半群f 为s 的子半群，若f 满足： 1 ) ( v a ，b s ) a b f 净a f ( r e s p b f ) ； 2 ) ( v c s ) a 只a c 号c f 则称f 为s 的左( 右) 滤子若f 既是s 的左滤子，又是s 的右滤子，则 称f 是s 的滤子用( n ) 表示包含a 的最小的滤子，即由a 生成的滤子 设s 为序半群用c 表示s 上的g r e e n 关系，定义如下： ( v a ，b s ) a l b 铮l ( a ) = l ( 6 ) 同理用冗，了，咒表示s 上的g r e e n 关系，定义如下： ( v a ，b s ) n 冗6 铮r ( o ) = r ( 6 ) ， ( v a ，b s ) a j b 甘，( n ) = ，( 6 ) ， ( v a ，b s ) a a f b 铮( q ) = ( 6 ) ， 咒= 冗n c 本文的第二章将对序半群上的g r e e n 关系进行研究第三章和第四章研究 3 第一章绪论 序半群的滤子的性质以及探讨滤子与序半群之间的密切关系 4 两北大学硕十学位论文 第二章a r c h i m e d e a n 序半群的性质 本章介绍了序半群上一类特殊的偏序集的基本性质，以及如何用这些性质 对序半群上的g r e e n 关系进行刻画同时，本章引入了四类a r c h i m e d e a n 序半 群，将用g r e e n 关系对这四类a r c h i m e d e a n 序半群的性质进行讨论 2 1 主理想的基本性质及g r e e n 关系 定义集合( a b 】= x y s i3 a a ，b b x y a b 引理2 1 1 2 5 l 设s 为序半群下列各条成立： ( 1 ) 设圣a s ，a ( a 】； ( 2 ) 设a b s ，则( 州( b 】； ( 3 ) 设a 为任意型的理想，则( a = a ； ( 4 ) 设a ，b s ，则( a ( b 冬( a b 】； ( 5 ) 设a ，b s ，一般地，( anb ( a 】n ( 矧； ( 6 ) 设a ，b 是s 的理想，则( a b ，a ub 也是s 的理想 引理2 1 2 设s 为序半群，a ，b s ，下列各条成立： ( 1 ) ( aub = ( 州u ( b 】； ( 2 ) 若a ，b 是理想，则( a i ( b = ( a b 证明( 1 ) 一方面，对任意的z ( au 矧，存在a a ，使得z a 或者存 在b b ，使得z b 即有z ( 月或者z ( 矧故z ( a 】u ( 引，从而， ( aub 】( a 】u ( b 另一方面，对任意的z ( 卅u ( 明，有z ( a 或者z ( 引若z ( 捌， 则存在a a ，使得z a 于是有z aub ( aub 】同理可得若z ( b 】， 有z ( 纠u ( b 从而，( aub 】三( a 1u ( b 】 ( 2 ) 由引理2 1 1 中( 3 ) 与( 4 ) 易证 下面对序半群上的g r e e n 关系进行刻画 5 第二章a r c h i m e d e a n 序半群的件质 定理2 1 3 设s 为序半群对任意的q ，b s ， ( 1 ) 若a 与b 不可比较，则 a c b 营( j z ，y s ) b x a 且a y b ； ( 2 ) 若a b ，则 a b 铮( 9 x s ) b x a 证明( 1 ) 必要性若a b ，则l ( a ) = l ( 6 ) ，即( aus a 】= ( 6 us 6 】故 有a ( bus b 由于a 与b 不可比较，故存在y s ，使得a y b 同理可得， b ( aus a ，从而存在z s ，使得b x a 充分性一方面，由于a 加，对任意的c s ，则有c a c y b 故c a ( s 洲冬( s b ，由c 的任意性可知s a ( s 纠这样就有( s a ( 6 】u ( s b ( 6 us 6 】同时，又由a y b 可知a ( s 6 】即 n ) c ( s b ( 6 us ”故可 得 n ) u ( s a ( 6 u s 6 】，即有( a u s a ( 6 u s 6 另一方面，由于b x a ，于是可得b ( s a ，这样就有 6 ( s a s ( a u s a 对任意的t s ，t b t x a ，从而，t b ( s x a 】( s a ，由t 的任意性，可以得 到( s 6 】( s n 】( a u s a ，故 6 】u ( s b ( a u s a ，即( a u s a 】2 ( 6 u s 6 1 因 此可以得到l ( a ) = l ( 6 ) 这表明a b ( 2 ) 必要性由( 1 ) 的必要性证明可知存在z s ，使得b x a 充分性一方面，由b x a 及( 1 ) 的必要性的证明可知( a u s a 】2 ( b u s b 另一方面：由于a b ，对任意的c s ，有c a c b ，于是有c a ( s b b ) u ( s b ( bus b 由c 的任意性可知s a ( 6 us 6 又a ( 6 us 6 故 有 o ) u s as ( 6 u | s 纠，即( q u s a 】s ( b u s b 因此l ( a ) = l ( 6 ) 这表明a c b 命题2 1 4 设s 为序半群对任意的n ，b s ， ( 1 ) 若a 与b 不可比较，则 口冗6 兮j z ，y s 使得b a x 且a b y ； ( 2 ) 若a b ，则 口冗6 兮( 刍z s ) b a x 6 两北大学硕十学位论文 定义2 1 5 设p 是半群s 上的等价关系，若 ( 8 ，t s ) sp t 净( v a s ) n spa t ， 则称p 为s 上的左同余： 若 ( 8 ，t s ) 5p t 兮( v a s ) 8 ap t a 则称p 为s 上的右同余；若p 既是s 上的左同余又是右同余：则称p 是s 上 的同余 推论2 1 6c 是序半群s 的右同余，冗是s 的左同余 证明设a ，b s 若a b 且a 与b 不可比较，由定理2 1 3 可知存在z ，可s ， 使得b x a ，a y b 于是对任意的c s ，有b c x a c ，a c y b c ，即a c b c 若a 与b 可比较，同样有任意的c s ，b c x a c ，a c b c ，即a c b c 由此可 知c 是右同余类似地可由命题2 1 4 证得冗是s 的左同余 事实上推论2 1 6 是序半群上熟知的结论，本文给出了借助定理2 1 3 与命 题2 1 4 验证该结论的另一种方法 命题2 1 7 设s 1 为序半群对任意的a ，b s 1 ， a j b 营( | z ，y ，牡，u s 1 ) b x a y 且a u b v 推论2 1 8 设s 为序半群对任意的a ，b s ，若 ( j z ，y ，“，v s ) b x a y 且a u b v ， 则j ( n ) = ，( 6 ) 2 2a r c h i m e d e a n 序半群的性质 本节用g r e e n 关系和滤子对四类a r c h i m e d e a n 序半群的性质进行讨论 本文用z + 表示正整数的集合 定义2 2 1 1 1 9 1 设s 为序半群如果 ( v a ，b s ) ( 刍m z + ) b m ( s a ，( 1 ) 那么称s 为左阿基米德( z a r ( h i m e d e a n ) 序半群由( 1 ) 可以得到左阿基米德序 7 第二章a r c h i m e d e a n 序半群的件质 半群的等价定义： ( c a ，b s ) ( j m z + ，3 z s ) b 仇x a 定义2 2 2 设s 为序半群如果 ( c a ，b s ) ( 3 m z + ) b m ( a s ，( 2 ) 那么称s 为右阿基米德( r - a r c h i m e d e a n ) 序半群由( 2 ) 可以得到右阿基米德序 半群的等价定义： ( c a ，b s ) ( | m z + ，3 x s ) b m a x 定义2 2 3 设s 为序半群如果 ( v a ，b s ) ( 3 m z + ) b m ( s a s ， ( 3 ) 那么称s 为阿基米德( a r c h i m e d e a n ) 序半群由( 3 ) 可以得到阿基米德序半群的 等价定义： ( v a ，b s ) ( 3 m z + ，刍z ，y s ) b m x a y 定义2 2 4 设s 为序半群如果s 既是左阿基米德的又是右阿基米德的，即 满足 ( c a ，b s ) ( 3 m z + ) b m ( a s a ， ( 4 ) 那么称s 为双阿基米德( a r c h i m e d e a n ) 序半群由( 4 ) 可以得到阿基米德序半 群的等价定义： ( c a ，b s ) ( 3 m z + ，了z s ) b m a x a 由定义容易看出若s 是f ( r ) 一a r c h i m e d e a n 的，则s 是a r c h i m e d e a n 的 下面将讨论l - a r c h i m e d e a n 的序半群的一些性质 定理2 2 5 设s 为序半群若s 满足 ( c a ，b s ) ( 3 m z + ) ( a ，b m ) c ， 则s 是l - a r c h i m e d e a n 序半群 证明对任意的a ，b s ，存在m z + ，使得( a ，b m ) c ，于是有l ( a ) = l ( b m ) 由b m l ( b m ) = i ( a ) = ( aus 司可得b 仇( aus o 】由引理2 1 2 可 知b m ( a 】或b m ( s a 若b m ( 口】，则有b a ，b m + 1 b a ( s a ，即s 是f a r c h i m e d e a n 序半群如果b m ( s a ，那么就直接可得s 是l - a r c h i m e d e a n 序 8 两北大学硕十学位论文 半群 定理2 2 6 若s 为l - a r c t f i m e d e a n 序半群，则s 没有非平凡的滤子 证明( 反证法) 设f 为s 的滤子，f d 且fcs 由于s 为2 一 a r c h i m c d e a n 的，故对任意的a fcs ，存在m z + ，z s ，对任意的b s ， 满足a m x b 由于a f ，故有a m f ，由滤子的定义可知x b f ，于是可 知b f ，即s f ，与假设矛盾，因此s 没有非平凡的滤子 定义2 2 7 【2 6 】设s 为序半群j 为s 的理想，称子集 z s i x n i ，( 3 n n ) 】为i 的根，记为以显然i 以且( 饷= 以 定理2 2 8 设s 是序半群l 为s 的主左理想，s 为- a r c h i m e d e a n 序半 群当且仅当 ( v a s ) l ( n ) = s 证明必要性设为s 的主左理想，由于s 是- a r c h i m e d e a n 序半群， 故对任意的a ，b s ，存在m z + ，满足b m ( s a 三( n ) ，即b m l ( n ) 因 此，b 甄可于是可得s 冬俑又由于俑ss ，故有厕= s 由a 的任意性可知，对于任何s 中的元素生成的主左理想的根均等于s 故任 意主左理想的根厄= s 充分性对任意的b s ，由于对任意的n s ，都有厕= s 成立，故存 在m z + ，b m l ( o ) ，于是可知b m ( a u s a = ( a 】u ( s n 】 ( 1 ) 若b m ( 口】，则可得b m a 号b m + 1 b a ，即存在n = m + l ，扩( s a ， 因此s 是- a r c h i m e d e a n 序半群 ( 2 ) 若b m ( s a ，则s 显然是l - a r c h i m e d e a n 序半群 从上面的三个定理可以看出，以l - a r c h i m e d e a n 序半群为桥梁，本文用序半 群s 上的c 关系刻画了滤子与序半群s 的关系及主左理想根与序半群s 的 关系，即对于s 上的任意元素a ，b ，若存在m z + ( a ，b m ) c ，则s 无平凡滤 子且它的主左理想根为s 本身 推论2 2 9 若s 为l - a r c h i m e d e a n 序半群，为s 的主理想，则v 7 = s 9 第一二章a r c h i m e d e a n 序半群的性质 由l - a r c h i m e d e a n 序半群的性质可以类似的得到a r c h i m e d e a n 序半群以 及r - a r c h i m e d e a n 序半群上的一些性质 命题2 2 1 0 设s 为序半群若s 满足 ( v a ，b s ) ( | m z + ( a ，b m ) 7 已， 则s 是r - a r c h i m e d e a n 序半群 命题2 2 1 l 设s 1 为序半群若s 1 满足 ( c a ，b s 1 ) ( j 仇z + ( a ，b m ) 了， 则s 1 是a r c h i m e d e a n 序半群 命题2 2 1 2 设s 是序半群r 为s 的主右理想，s 为r a r c h i m e d e a n 序 半群当且仅当 ( v a s ) r ( n ) = s 命题2 2 1 3 若s 为a r c h i m e d e a n ( r a r c h i m e d e a n ) 序半群，则下列两条成 立： ( 1 ) s 无非平凡的滤子； ( 2 ) s 的主( 主右) 理想根等于序半群s 下面介绍t - a r c h i m e d e a n 序半群的一些性质 定义2 2 1 4 1 2 7 1 设s 为序半群若 ( v a ，b s ) ( 3 m z + ) ( a b ) m ( b s a ， 则称s 为弱可换的 定理2 2 1 5 若s 为t - a r c h i m e d e a n 序半群，则下列各条成立： ( 1 ) s 是弱交换序半群； ( 2 ) s 无非平凡的滤子； ( 3 ) j 为s 的任意型主理想，则以= s 证明 ( 1 ) s 为t - a r c h i m e d e a n 序半群，则对任意的a b s ，于是就 有0 6 ，b a s ，存在m z + ，z s ，使得( a b ) m b a x b a ( b s a ，即可 知s 是弱交换序半群 ( 2 ) 、( 3 ) 的证明过程与定理2 2 6 和定理2 2 8 的证明类似 1 0 两北大学硕十学位论文 第三章a r c h i m e d e a n 序半群的理想 本章引入了序半群上的几种特殊理想揭示了几种理想之间关系同时，本 章给出了四类a r c h i m e d e a n 序半群的刻画 3 1f ( r ) 一a r c h i m e d e a n 序半群的理想 定义3 1 1 设j 是序半群s 的理想如果 ( v a s ) a 2 i = a i ， 那么称，是半素的 定义3 1 2 设，是序半群s 的理想如果 ( v a ，b s ) a b i 号a i 或者b i ， 那么称j 是素的 定义3 1 3 1 2 8 设，是序半群s 的理想若 ( v a ，b s ) a b i 号( 3 m z + ) a 仇i 或( 3 n z + ) b n ， 则称，是半准素的若s 的每个理想是半准素的，则称s 是半准素的 定义3 1 4 1 2 8 1 设，是序半群s 的理想若 ( v a ，b s ) 口6 ija i 或( 3 n z + ) 扩i ， 则称，是准素的若s 的每个理想都是准素，则称s 是准素的 显然，每个准素序半群都是半准素的 定义3 1 5 【1 9 】设s 为序半群若s 的左理想( 右理想) 均是理想则称s 为 左( 右) d u o 的如果s 既是左d u o 又是右d u o 的：则称s 是d u o 的 引理3 1 6 设s 为序半群l ( r ，i ) 为s 的左理想( 右理想理想) ， 则l ( r ，i ) 为素的当且仅当l ( r ，i ) 为半素且半准素的 证明设l 为素理想，显然l 是半素理想和半准素理想反之，设l 为 半素且半准素的，那么，对任意的a ，b s 且a b l 存在m z + ，使 得a m 厶或存在1 t z + ，使得扩对任意的m z + ，存在p z + ， 1 1 第j 章a r c h i m e d e a n 字半群的理想 有m 2 p 成立由于a s ，故有a 2 p _ m s 由题设知l 为理想，若a m l ， 则a 2 9 = a 2 p - m a m l 由于三是半素的，于是有a l 同理可得铲l ， 则b l 即三为素理想 其它两种情况类似可证 下面介绍- a r c h i m e d e a n 序半群上理想之间的关系及刻画 定理3 1 7 若s 是- a r c h i m e d e a n 序半群，则s 的每个左理想是准素理 想 证明设s 是- a r c h i m e d e a n 序半群，l 是s 的左理想对任意的a ，b s 且a b l ，可以得到s a b s lgl ，则( s n 6 ( l 】= l 由于s 是f a r c h i m e d e a n 序半群，则存在y s ，m z + ，使得b m y a 对任意的a ，b ，c s ，a b 号a c b c ，于是有b b y a b 即6 ( 埘+ 1 ) y a b 令n = m + l ，就 有6 n y a b s a b ( s a b 冬工：即l 是准素理想 推论3 1 8 若s 是- a r c h i m e d e a n 序半群且是左d u o 的? 则s 是准素序 半群 定理3 1 9 令s 是- a r c h i m e d e a n 序半群，l 是s 的左理想，则l 是半素 的当且仅当l 是素的 证明由定理3 1 7 和引理3 1 6 即得 类似于- a r c h i m e d e a n 序半群，下面将给出在r - a r c h i m e d e a n 序半群基础 上几种理想之间关系的刻画 命题3 1 1 0 若s 是r - a r c h i m e d e a n 序半群，则s 的每个右理想是半准素 理想 推论3 1 1 l 若s 是r - a r c h i m e d e a n 序半群且是右d u o 的，则s 是半准素 半群 命题3 1 1 2 若s 是7 a r c h i m e d e a n 序半群，r 是s 的右理想，则r 是半 素的当且仅当r 是素的 1 2 两北大学硕十学位论文 3 2 几类a r c h i m e d e a n 序半群的等价刻画 定义3 2 1 【2 9 】若对任意的z ，y s ：有z y 或y z 成立，则称x 为链 引理3 2 2 若x 为链，则x 的所有主理想关于通常意义下的集合包含关 系“曼”构成链 证明对任意的a ，b x ，由于x 为链，故不妨设a b ：则对任意的z x ， 有x a x b 成立于是可以得到x a ( s b ，由a 的任意性即可知： s n ( s b ( s a 】( s b ( 6 u 5 6 u 6 s u s b s 又由于a b ，则有 同理可证得 a ( 6 】净( a 】( 6 】( bus b u b su s b s l ( a s ( b u s b ub s u s b s ， ( s o 司( b u s b ub s u s b s l ， 故 ( a u s a u a s u s a s 】= ( a 】u ( s 0 u ( o 翻u ( s 口翻 ( b u s b ub su s b s l ， 即z ( a ) j ( 6 ) 定义3 2 3 1 1 9 设s 为序半群若 ( v a s ) ( | z ，y s ) a x a 2 y ，( 5 ) 则称s 为内禀正则的由( 5 ) 可以得到内禀正则序半群的等价定义： ( v a s ) a ( s a 2 司， 或 ( v a s ) a ( s a 2 s 1 引理3 2 4 若s 为内禀正则的，则s 的每个理想是半素的 下面的定理刻画了a r c h i m e d e a n 序半群 定理3 2 5 若s 为内禀正则链序半群且对任意的a ，b s ，a b 岳( s a s l ， 则s 为a r c h i m e d e a n 序半群 证明下文将分四步对其证明 ( 1 ) 对任意的z s ，z ，( z ) ，由于z 4 ( s z s ，由引理3 2 4 可知， x 2 ( s z s ，从而，z ( s x s ，于是有，( z ) ( s x s l 又由于： 】3 第三章a r c h i m e d e a nj 芋半群的理想 ( s x s ( z u x s u s x u s x s = ，( z ) ， 于是有i ( x ) = ( s x s ( 2 ) 对任意的z ，y s ，有 i ( x y ) = ( x y u s x y u x y s u s x y s ( x s u s x s u x s u s x s ( x u x s u s x u s x s 】 = ，( z ) 同理，i ( x y ) j ( 可) ，因此i ( x y ) i ( x ) n ，( 剪) 设t i ( x ) n j ( y ) ，由( 1 ) 知， t ( s x 别且t ( s y s l ? 则存在a ，b ：c ，d s ，使得t a x b ，t c y d 这 样就有t 2 c y d a x b 由于( y d a x ) 2 = y d a x y d a x ( s x y s = ，( z y ) ，由引 理3 2 4 知y d a x i ( x y ) ，因此，t 2 s z ( z y ) s ，p 剪) ，则t i ( x y ) 即i ( x y ) = i ( x ) n j ( 可) ( 3 ) 若t 为s 的任意理想，设z ，y s 且x y t ，由引理3 2 2 知l ( x ) j ( y ) 或者i ( x ) ，( y ) ，由i ( x y ) = i ( x ) ni ( y ) t 可得i ( z ) t 或1 ( y ) t 这样就可以得到z t 或者y t 这表明t 是素的 ( 4 ) 由于s 为链：故对任意的a ，b s ，不妨设a b ，有a 3 a b a s b s ( s b s ，即3 m = 3 ，使得a 3 ( s b s 同时，由于b ( a b ) ( s a s 】且( s a s 】为素 且a b 譬( s a s ，则有b ( s a 翻故s 为a r c h i m e d e a n 序半群 定义3 2 6 设s 为序半群如果对于s 任意的理想l ( 冗) ，有l = s ( r = s ) ，即s 是序半群s 的唯一左( 右) 理想：那么称s 为左( 右) 单的若s 没有非 空真理想，则称s 为单序半群 下面的定理刻画了- a r c h i m e d e a n 序半群 定理3 2 7 设是序半群若跪的每个左理想是半素的j 则先是f a r c h i m e d e a n 序半群当且仅当是左单序半群 证明必要性设既是l - a r c h i m e d e a n 序半群：那么对任意的a ，b ， 存在m z + ，有b m ( 既n 】成立由定理3 1 9 可知，理想( s l a 】是素的， 1 4 丙北大学硕十学位论文 因此可得b ( s l a 进一步有6 ( 0 】从而，( 既6 ( s l a 同理 有( s l a 】( 既6 j ，故对任意的a ，b 既，可以得出( s l a 】= ( s l b 对任意 的o 既，有 o 】( 既n 】，从而，s l = u n s la u 口s l ( s l a 】= ( 既n 】显 然( s l a s l ，于是有( s l a = s l 由于( s l a 】为主左理想，因此任何既的子 集生成的理想都相同且等于既，这样即表明既是左单序半群 充分性设既是左单序半群，即既的任意非空左理想l = 既于是对任 意的a ，b 既，有b 既= ( s l0 ：即- a r c h i m e d e a n 序半群 推论3 2 8 设既是左d u o 序半群若既的每个左理想都是半素的， 则是l - a r c h i m e d e a n 序半群当且仅当既是单序半群 类似于- a r c h i m e d e a n 序半群可以刻画出7 a r c h i m e d e a n 序半群 命题3 2 9 设是序半群若的每个右理想是半素的，则是卜 a r c h i m e d e a n 序半群当且仅当s n 是右单序半群 推论3 2 1 0s n 是右d u o 序半群若的每个右理想都是半素的， 则是r - a r c h i m e d e a n 序半群当且仅当是单序半群 下面将给出四类a r c h i m e d e a n 序半群的等价刻画 定理3 2 1 1 设s 1 为d u o 序半群下列各条等价： ( 1 ) s 1 是- a r c h i m c d c a n 序半群； ( 2 ) s 1 是r - a r c h i m e d e a n 序半群； ( 3 ) s 1 是t - a r c h i m e d e a n 序半群； ( 4 ) s 1 是a r c h i m e d e a n 序半群 证明( 1 ) 净( 2 ) 已知s 1 是l - a r c h i m e d e a n 序半群，则对任意的a ，b s 1 ， 存在m z + ，使得b m ( s 1 叫由于理想( s 1 a 1 是由a 生成的最小左理想，同 时也是s 1 的右理想，于是有( s 1 司( a s l 卜同理可知( s 1 a 】冬( a s l 】因此可以 得到( s 1 a 】= ( a s l j 从而有