（基础数学专业论文）时间尺度上二阶对称线性方程谱问题研究.pdf

山东大学硕士学位论文 时间尺度上二阶对称线性方程谱问题研究 张超 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：史玉明教授) 中文摘要 本文主要讨论了三个方面的内容：分别是时间尺度上二阶对称线性方程周期与 反周期边值问题的特征值，时间尺度上一类奇异二阶对称线性方程的极限型分类及时 间尺度上的l h 6 s p i t a l 法则 1 9 8 8 年，德国数学家s h i l g e r 在他的博士论文中首次提出测度链( m e a s u r ec h a i n s ) 分析，即一个把连续与离散分析统一的数学方法【1 】而在许多情况下，我们只需考 虑测度链的一种特殊情况一时闯尺度近年来，时问尺度动力学的研究引起了广泛的 兴趣，其研究内容涵盖了许多领域，如时间尺度上的微积分概念和理论、动力方程的 振动性特征值问题、边值问题、偏微分方程等1 2 ，3 ，4 ，5 】时间尺度上的动力学理 论有极其重要的理论意义和广泛的应用前景这一理论不仅能揭示连续与离散系统的 共同点，为我们的研究提供新的强有力的理论工具，还能使我们能够更清楚地理解连 续与离散系统以及其它复杂系统中的本质问题现实问题中，有些过程有时依赖于连 续时间变量，有时依赖于离散时间变量，而有些过程的时间变量是分段连续的对这 些问题，用时间尺度上的动力方程就可恰当的给出它们的数学模型例如虫口模型， 一类昆虫的数量从四月份到九月份以一定的增长率连续地增长，到了十月份突然全部 死亡，但是它们的卵到来年四月份又开始孵化这样，这种昆虫就又可以以一定的增 长率增长整个过程的时间变量是分段连续的，可以用一个时间尺度上的动力系统来 描述，进而加以解决再比如，个由电阻，电容及自感线圈所组成简单串联电路【3 ， e x a m p l e1 4 0 1 ，当电容以固定频率做周期闭合时，电路中电荷，电流的改变率恰好可 以用时间尺度上的导数来刻画另外，时间尺度上的动力系统在经济学领域也有着广 泛的应用例如，关于动态均衡分析经济学理论的蛛网模型传统的蛛网模型，时间 变量要么是离散的，要么是连续的，无法确切描述某一季节性产品的供求关系当我 们引入时间尺度上的蛛网模型后，就能较好的解决这一问题 山东大学硕士学位论文 e a c o d d i n g t o n g 和n l e v i n s o n ，j k h a l e ，w m a g n u s 和s w i n k l e r 【6 ，7 ，8 】 等数学家研究t - - 阶微分方程边值问题特征值的性质，并得到了周期与反周期边值问 题特征值比较的结果 对于差分方程边值问题的特征值，f v a t k i n s o n ，m b o l m e r ，a j i r a r i ，史玉明， 陈绍著 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 等学者都做过深入的研究2 0 0 5 年，王怡和史玉明【1 5 】 对二阶差分方程周期与反周期边值问题特征值进行了比较2 0 0 6 年，孙华清和史玉 明f 1 6 1 又将其推广到耦合的边界条件中去我们发现，虽然二阶微分和二阶差分方程 周期与反周期边值问题特征值的个数有着本质的差别，但是它们的比较结果是非常类 似的既然，时间尺度理论是一种统一研究连续情况和离散情况的方法，因此就考虑 能否将特征值的比较结果推广到一般的时间尺度中去从而，不仅把已有的结果统一 起来，而且包含了更复杂的时间尺度本文的主要且的之一就是探讨此问题 对称线性微分算子和差分算子的谱问题都可分为两类：一类是定义在有限闭区间 上，且算子系数具有较好性质的，这类称为正则谱问题否则，称为奇异谱问题1 9 1 0 年，h w e y l 17 】开始了奇异微分算子谱理论的研究，发现了奇异二阶对称微分方程 可分为极限点型与极限圆型两大类随后，e c t i t c h m a r s h ，e a c o d d i n g t o n ，n l e v i n s o nf 6 ，l s l 等学者把他的结果进一步深化和完善，形成了w e y l - t i t c h m a r s h 理 论无限区间上的二阶形式自伴纯量差分方程的谱问题首先由f v a t k i n s o n 9 】所研 究随后， d b h i n t o n ，a j i r a r i 【1 0 ，1 9 】等人做了进一步研究史玉明，陈绍著， s l c l a r k ，b b e c k e r m a n n ，m b o h n e r 等对二阶及高阶自伴的向量差分方程与离散 h a m i l t o n 系统的谱问题进行了研究【1 l ，1 3 ，1 4 ，2 0 ，2 1 ，2 2 】2 0 0 1 年，陈景年和史 玉明【2 3 】给出了实系数二阶奇异形式自伴差分方程极限点型与极限圆型的几个判定准 则和一个充分必要条件最近，史玉明【2 4 建立了具有一个奇异端点的离散h a m i l t o n 系统的w e y l - t i t c h m a r s h 理论另外，孙书荣【2 5 】将文献【2 4 】的工作推广到时间尺度 上h a m i l t o n 系统的谱问题，建立了时间尺度上h a m i l t o n 系统的w e y l - t i t c h m a r s h 理 论文献【2 5 】是按最小算子的亏指数给出时间尺度上h a m i l t o n 系统按极限型分类 而本文将利用类似w e y l 的方法，将时间尺度上奇异二阶对称线性微分方程分为极限 点型与极限圆型这是本文所讨论的另一个主要问题 关于时间尺度上微积分的基本概念和理论， m b o h n e r 和a p e t e r s o n 【3 ，4 】做 了大量的工作但由于连续与离散的本质不同，很多结论并不完善，不能直观体现出 连续为时间尺度的特殊情况众所周知，在经典微积分理论中，l h 6 s p i t a l 法则占有 i i 山东大学硕士学位论文 十分重要的地位利用它可以帮助我们解决不定式等很多问题文献【3 ，4 ，2 6 】已经给 出了时间尺度上的l h 6 s p i t a 法则，但其条件过于繁杂我们将就此问题也进行了研 究 本文分为四章第一章，介绍时间尺度的有关预备知识及基本理论，为以下三章 做准备工作 第二章，研究时间尺度上二阶对称线性方程周期与反周期边值问题的特征值主要 利用d i r i c h l e t 边值问题特征值的性质以及振动性结论，建立周期与反周期边值问题的 特征值之间的关系进而说明，这一结论不仅统一了e a c o d d i n g t o n 与n l e v i n s o n 1 6 1 所得二阶对称线性微分方程和王怡与史玉明【1 5 】所得二阶线性差分方程之周期与 反周期边值问题特征值比较的结论，而且拓广了所研究问题的范围 第三章，研究时间尺度上奇异二阶对称线性微分方程的极限型分类首先，证明 了l 2 ( i ) 是h i l b e r t 空间之后，利用分析的方法构造一个集族，并证明该集族构成圆 环族然后证明此圆环族具有嵌套性，从而得到一极限集根据极限集的几何性质将 方程分为极限点型与极限圆型最后，建立几个极限点型与极限圆型判定准则 第四章，建立一个新的时同尺度上的l h 6 s p i t a l 法则利用时间尺度上的一类链 式法及中值定理，从而建立了在较弱条件下的时间尺度上l h s s p i t a l 法贝! i 关键词：时间尺度；周期与反周期边值问题；极限点型；极限圆型；l h 6 s p i t a l 法则 i i i 山东大学硕士学位论文 s t u d yo fs p e c t r a lp r o b l e m so f s e c o n d o r d e rs y m m e t r i c l i n e a re q u a t i o n so nt i m es c a l e s c h a oz h a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ) ( s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry u m i n gs h i ) a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e m sw i t ht h r e ep r o b l e m s ：e i g e n v a l u e so f s e c o n d - o r d e rs y m m e t r i cl i n e a re q u a t i o n sw i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt i m es c a l e s ， c l a s s i f i c a t i o nf o rs i n g u l a rs e c o n d - o r d e rs y m m e t r i cl i n e a re q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，a n d l h s s p i t a lr u l e so nt i m es c a l e s a sat o o lf o re s t a b l i s h i n gau n i f i e df r a m e w o r kf o rc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ea n a l y s i s ， at h e o r yo fd y n a m i ce q u a t i o n so nm e a s u r ec h a i n sw a si n t r o d u c e db ys h i l g e ri nh i s p h d t h e s i s 【l 】i n1 9 8 8 i nm a n yc a s e s ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yas p e c i a lc a s eo fm e a - s u r ec h a i n s - t i m es c a l e s i nt h el a s td e c a d e ，t h ei n v e s t i g a t i o no fd y n a m i cs y s t e m so n t i m es c a l e sh a si n v o l v e dm u c hi n t e r e s ti nq u i t eaf e wf i e l d s ，s u c ha sc a l c u l u s ，o s c i l l a t i o n o fd y n a m i cs y s t e m s ，e i g e n v a l u ep r o b l e m s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so nt i m es c a l e s ，a n de t c1 2 ，3 ，4 ，5 】t h et h e o r yo fd y n a m i cs y s t e m so nt i m e s c a l e si so fv e r yi m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dh a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s i tc a nn o to n l yr e v e a lt h es i m i l a r i t yb e t w e e nt h ed i s c r e t ec a s ea n dt h ec o n t i n u o u sc a s e ， b u ta l s oe x p l a i nt h ed i s c r e p a n c i e st h a to c c u ri np a r a l l e ls t a t e m e n t si nc o n t i n u o u sa n d d i s c r e t ec a s e s i nt h er e a lw o r l d ，t h e r ea r eal o to fp r o c e s s e st h a td e p e n do nc o n t i n u o u s t i m ev a r i a b l es o m e t i m e sa n dd i s c r e t et i m ev a r i a b l es o m e t i m e s ，a n dt h e r ea r em a n y o t h e rp r o c e s s e st h a td e p e n do np i e c e w i s oc o n t i n u o u st i m ev a r i a b l e s ow ec a nw o r k o u tm o r ee x a c t l ym a t h e m a t i c a lm o d e l sb yu s i n gd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sf o r t h e s ec a s p 撼f o re x a m p l e ，t h et i m es c a l e sc a l c u l u sc a nm o d e li n s e c tp o p u l a t i o n st h a t a r ec o n t i n u o u sw h i l ei ns e a s o n ，d i eo u ti nw i n t e r ，w h i l et h e ke g g sa r ei n c u b a t i n go r d o r m a n t ，a n dt h e nh a t c hi nan e ws e a s o n ，g i v i n gr i s et oan o n o v e r l a p p i n gp o p u l a t i o n a ne x a m p l eo fas i m p l ee l e c t r i cc i r c u i tw i t hr e s i s t a n c e ，i n d u c t a n c ea n dc a p a c i t a n c ei s i v 山东大学硕士学位论文 g i v e ni n1 3 r e c e n t l y , c o b w e bm o d e l so nt i m es c a l e sa r ee s t a b l i s h e da n dd i s c u s s e d e a c o d d i n g t o n ga n dn l e v i n s o n ，j k h a l e ，w m a g n u sa n ds w i n k l e r 【6 ，7 ， 8 jr e s p e c t i v e l ys t u d i e dp r o p e r t i e so fe i g e n v m u e so fs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dc o m p a r e dt h e i re i g e n v a l u e s f o re i g e n v a l u ep r o b l e mo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，f v a t k i n s o n ，m b o h n e r ，a j i r a r i ，y s h i ，a n ds c h e n 【9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 d i da l o to f p r o f o u n da n dc r e a t i v ew o r k i n2 0 0 5 ，y w a n ga n dy s k i 【1 5 】m a d et h ec o m p a r i s o no fe i g e n v a l u e so fs e c o n d - o r d e r d i f f e r e n c ee q u a t i o n aw i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s i n2 0 0 6 h s u na n dy s k i 【1 6 】e x t e n d e dt h e s er e s u l t st oac o u p l e db o u n d a r yc o n d i t i o n a l t h o u g h t h en u m b e r so fe i g e n v a l u e so fs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h p e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r eq u i t ed i f f e r e n t ，t h e r ec o m p a r i s o n r e s u l t sa r es i m i l a r s ow ew o n d e ri ft h ec o m p a r i s o nr e s e t sc a nb ee x t e n d e dt ot i m e s c a l e s t h i si so n eo ft h em a i na l m so ft h i sp a p e r t h es p e c t r a lp r o b l e m so fs y m m e t r i cl i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dd i f f e r e n c e o p e r a t o r sc a nb o t hb ed i v i d e di n t ot w oc a s e s t h o s ed e f i n e do v e rf i n i t ec l o s e di n t e r v a l s w i t hw e l l - b e h a v e dc o e f f i c i e n t sa r ec a l l e dr e g u l a r o t h e r w i s e ，t h e ya r ec a l l e ds i n g u l a r i n 1 9 1 0 ，h w e y l 【1 7 】g a v ead i c h o t o m yo ft h el i m i t - p o i n ta n dl i m i t - c i r c l ec r s e sf o rs i n g u l a r s e c o n d - o r d e rs y m m e t r i cl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l a t e r ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s ， s u c ha se c t i t c h m a r s h ，e a c o d d i n g t o n ，n l e v i n s o nf 6 ，1 8 】d e v e l o p e dh i sw o r ka n d e s t a b l i s h e dt h ew e y l t i t c h m a r s ht h e o r y s i n g u l a rs e c o n d - o r d e rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n t s c a l a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so v e ri n f i n i t ei n t e r v a l sw e r ef i r s t l ys t u d i e db yf v a t k i n s o n 【9 j h i sw o r kw a sf o l l o w e db yd b h i n t o n ，a j i r a r i ，e t c 【1 0 ，1 9 t h es p e c t r a lp r o b l e m s o fs e c o n d - o r d e ra n dh i g h e r - o r d e rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n tv e c t o rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n d d i s c r e t el i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m sw e r em v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l yb yy s h i ，s c h e n ， s l c l a r k ，b b e c k e r m a n n ，m b o h n e re t c 【1 1 ，1 3 ，1 4 ，2 0 ，2 1 ，2 2 i n2 0 0 1 ，j c h e n a n dy s k i 【2 3 】o b t a i n e das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o na n ds e v e r a lc r i t e r i ao f l i m i t - - p o i n ta n dl i m i t - c i r c l ec a s e sf o rs e c o n d - o r d e rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n tl i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s r e c e n t l y , y s h i 【2 4 le s t a b l i s h e dt h ew e y l - t i t c h m a r s h t h e o r yo fd i s c r e t el i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s m o r er e c e n t l y , s s u n 【2 5 】e x t e n d e ds k i s w o r kt oh a m i l t o n i a ns y s t e m so nt i m es c a l e sa n de s t a b l i s h e dw e y l - t i t c h m a r s ht h e o r yo f h a m i l t o n i a ns y s t e m so nt i m es c a l e s s u ng i v et h ec l a s s i f i c a t i o no fs i n g u l a rh a m i l t o n i a n s y s t e m so nt i m es c a l e si nt e r m so ft h ed e f e c ti n d i c e so ft h em i n i m a lo p e r a t o r i nt h e v 山东大学硕士学位论文 p r e s e n tt h e s i s ，w ee m p l o yw e y l sm e t h o dt od i v i d es i n g u l a rs e c o n d o r d e rs y m m e t r i c l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m es c a l e si n t ot w oc a s e s ：l i m i t p o i n ta n dl i m i t - c i r c l e c m s e s t h i si sa n o t h e rf o c u so ft h i sp a p e r m b o h n e ra n da p e t e r s o n 【3 ，4 】h a v em a d eg r e a tp r o g r e s so nt h eb a s i cc a l c u l u s o nt i m es c a l e s b u tm a n yr e s u l t sa r en o tc o m p l e t e ，s u c ha sl h 6 s p i t a lr u l e s 【3 ，4 ，2 6 a sw ea l lk n o w 。t h el h 6 s p i t a lr u l ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nc l a s s i c a lc a l c u l u s i tc a n h e l pu sd e a lw i t hm a n yp r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v es o m er e v i s e dl h 6 s p i t a l r u l e so nt i m es c a l e s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h et i m es c a l ec a l c u l u si s i n t r o d u c e da n ds o m ef u n d a m e n t a lr e l a t i v et h e o r i e sa x eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w es t u d ye i g e n v a l u ep r o b l e m so f s e c o n d o r d e rs y m m e t r i cl i n e a re q u a - t i o n sw i t hp e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt i m es c a l e s w em a i n l y e m p l o yt h ep r o p e r t i e so fe i g e n v a l u e so ft h ed i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n da n o s c i l l a t i o nr e s u l tt oc o m p a r ee i g e n v a l u e so ft h ep e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so nt i m es c a l e s f i n a l l y , w ew i l ls h o wo u rr e s u l tn o to n l yc o v e r st h o s e e x i s t i n gr e s u l t si nt h ed i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ec a s e s ，w h i c ha r es t u d i e db ye a c o d - d i n g t o na n dn l e v i n s o n 【6 ja n dy w a n ga n dy s h if 1 5 】，b u ta l s oc o v e r so t h e rm o r e c o m p l i c a t e dt i m es c a l e s i nc h a p t e r3 ，w ef o c u so nt h ec l a s s i f i c a t i o no fs i n g u l a rs e c o n d - o r d e rs y m m e t r i c l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m es c a l e s f i r s t l y , l 2 ( i ) i sp r o v e dt ob eah i l b e r t s p a c e s e c o n d l y , w ec o n s t r u c taf a m i l yo fn e s t e dc i r c l e s t h e s ec i r c l e sc o n v e r g et oa l i m i t i n gs e t t h ed i c h o t o m yo ft h el i m i t p o i n tc a s ea n dl i m i t c i r c l ec a s ef o rs i n g u l a r s e c o n d - o r d e rs y m m e t r i cf i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m es c a l e si sg i v e nb yg e o m e t r i c p r o p e r t i e so ft h el i m i t i n gs e t f i n a l l y , s e v e r a lc r i t e r i ao ft h el i m i t p o i n tc a s ea n dl i m i t - c i r c l ec a s ea r ee s t a b l i s h e d ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r4 ，a p p l y i n gc h a i nr u l ea n dt h em e a nv a l u et h e o r e m so nt i m es c a l e s ，w e g i v et w ol h 6 s p i t a lr u l e so nt i m es c a l e su n d e rs o m ew e a k e rc o n d i t i o u s k e y w o r d s ：t i m es c a l e ；p e r i o d i ca n da n t i p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；l i m i t - p o i n tc a s e ；l i m i t c i r c l ec a s e ；l h 6 s p i t a lr u l e v i 山东大学硕士学位论文 t r n z c 仃 p “，y | 。 | o ! 。厶 p g d c 磊 f ：f ( t ) , t ( l ) 丘f ( t ) , t u + v g ( a ) 符号说明 时间尺度 实数域 自然数集 整数数集 复数域 前跳算子 后跳算子 步差函数 函数，与仃的复合函数，( 盯) 函数，与p 的复合函数，p ) 函数，的一导数 函数，的v 一导数 右稠连续函数集合 一导数右稠连续函数集合 二阶一导数右稠连续函数集合 函数，在区间k ，6 l 上的一积分 e 上的l e b e s g u e a - 积分 矩阵u 的转置共轭 向前差分 向后差分 复数a 的虚部 v i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：迭起e t 期：塑：! ! ! 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：邈一导师签名：辫日期：鲨1 ：垒 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 本文主要讨论时间尺度上二阶对称线性方程谱问题因而，本章首先介绍时间尺 度上的一些基本概念及引理，为以下三章的讨论做准备工作 1 1 引言 连续情况和离散情况是时间尺度的两种极端情况，它们分别对应着微分方程和差 分方程作为一种统一研究连续情况和离散情况中的许多闻题的方式，。时间尺度” 理论是由b a u l b a c h 和s h i l g e rf 2 7 设想并创立的1 9 8 8 年，德国数学家s h i l g e r 在他的博士论文中首次提出测度链( m e a s u r ec h a i n s ) 分析【1 1 而在许多动态研究的 情况下，只需考虑测度链的一种特殊情况一时间尺度 s h i g e r 和他的博士导师b a u l b a c h 给出了一个很重要的观点，即，虽然在许多情况下连续情况和离散情况的证 明和方法类似，但是我们并不能就此臆断连续情况下成立的结果应该或是必然也能推 广到离散情况下，例如，l o g i s t i c 方程 j 巾巾 等= a x ( 1 一；) ，n 0 ，七 0 尼 的每个解都是单调的，但是与其相应的差分方程 写= 扛z 。( 1 一如) 当a = 4 时出现混沌【2 8 】而对自治微分方程来说，混沌现象只可能发生在高阶或高 维情形 近年来发展起来的时间尺度上动力系统为我们提供了同时研究离散系统与连续系 统所需要的一种数学方法，其研究内容涵盖了相当多的领域，如时间尺度上的微积分 概念和理论、动力方程的振动性、特征值问题和边值问题偏微分方程等【2 ，3 ，4 ，5 】 时间尺度上的动力学理论有极其重要的理论意义和广泛的应用前景它不仅为我们的 研究提供了新的强有力的理论工具，而且使我们能够更清楚地理解连续与离散系统以 及其他复杂系统中的本质问题现实生活中，有些过程有时依赖于连续变量，有时依赖 于离散变量用时间尺度上的动力方程就可恰当的给出这些现象的数学模型例如虫 口模型，由电阻，电容及自感线圈所组成简单串联电路中电量，电流的改变率f 3 1 及关 于动态均衡分析经济学理论的蛛网模型等，都可以用时间尺度上的动力系统来描述 时间尺度上动力系统的研究是一门很新的学科，在这一领域的研究发展非常迅 速第二节我们将介绍时间尺度的基本概念与基本理论 山东大学硕士学位论文 1 2 时间尺度的基本理论 本节所引用的概念和结论主要来自文献【2 ，3 ，4 ，2 9 】 实数集的任何一非空闭子集t 称为一个时间尺度常见的情况是t = r 和t = n 其中r 表示实数域，n 表示自然数集除此之外，还有许多其它形式的时间尺度 3 l 例如， t = g z = 矿i k z ) u o ) ，其中q 1 ，z 表示整数集； t = h z = h k k z ，其中h o ； + c o t = 只，6 = u t k ( a + 6 ) ，七( 口+ b ) + 0 】，其中n ，b 0 k = 0 定义1 2 1 设口是一时间尺度，对t ，定义前跳算子圹为 盯：t _ t ，盯0 ) = i n f s t ： f 后跳算子p 为 p ：t t ，p ( t ) = s u p s t ：8 t p ( t ) = t 和p ( t ) 0 ，存在6 0 ，使得对任 意s ( t o 一覆幻+ 6 ) n 面，都有j ，( s ) 一，( o ) j 0 ，存在 6 0 使得对任意s ( t 一6 ，t + 6 ) n t ，都有 | ，( 盯( ) ) 一i ( 8 ) 一乜( 盯( f ) 一s ) i e l o ( t ) 一s l ， 则称函数，在点t 俨是一可微的，并称q 为，在t 的一导数，记为，( ) 此外，如果对所有的t 驴，( t ) 都存在，则称，在俨上一可微此时函数 i ：t 一r 称为，在驴上的一导函数 如果，在点t t 一可微，则显然 ，( 归l i m s _ t r ，掣剖弑 故，当t = r 时，( t ) = ，( ) 与通常的导数一致；当t = z 时，( ) = i ( t + 1 ) 一，( ) = a f ( t ) ，a 为向前差分算子 引理1 2 1 设，g ：t r ，t t o 则有： ( 1 ) 如果