（基础数学专业论文）一类半线性椭圆方程解的存在性与多重性.pdf

一类半线性椭圆方程解的存在性和多重性 翘水强 舔阳厣专敦学蓉，讳阳4 2 2 0 0 0 摘要甩变分方法研究了半线性糖田方程d i r i c h l e t 边值问题 一“= ，( 为) + ( ) 对几乎所有的f n ，n = o 在a n 上，【1 ) 解的存在性与多重性，在临界增长情况下得剜了问题( 1 ) 并的一个存在 性定理，在次收界增长和次线性关撂情况下获得了问题( 1 ) 1 并的几个多 重性结果主要结果是下面的定夏 定理2 1 饭定，满足临界增长条件，即存在一个常数q o 和一 个实函数7 l 1 ( n ) 使得 f ，( ，t ) c l l t l r 一1 + 1 ( 善) 对所有的t 五和几乎所有的z n 成立，这里当n 3 时2 兰驯f 一2 ) ， 当n = 1 或2 时2 为( 2 ，+ 。) 中的某教。且当一o 。时 f ( 霉，t ) 一；h t 2 一( 2 ) 对几乎所有。n 一致地成立设h l z ( n 1 满足 上 ( 。) 妒( z ) 如= o t 这里妒是关于特征值a ，的满足“。) 0 对所有的。m 成立的规范特 征函薮，刖问题( 1 ) 在硪( n ) 中至少有一个拜， 定理3 1 假定h = 0 ，满足( 2 ) 和次临养增长条件，即存在岛 o 2 0 使得 k 掣 m + l - - 6( 3 ) 砖所有的o | t | 6 和几乎所有的。o 成立，那么问题( 1 ) 在瑶( n ) 中 至少有两个非零解 定理4 1 设，( $ ，t ) = l t + 甙f ，t ) ，h = o 假定存在0 d 0 使得 i 甙嚣，) i 墨c 1 ( 。- f 1 )4 ) 对所有的t r 和几乎所有的r n 成立，且在e ( h ) 中当i 一时 删4 上g 7 胁_ 一o o 若( 3 ) 成立，则问题( 1 ) 在珥( n ) 中至少有两个不同的非零拜 定理4 2 设，( 嚣，t ) - l h 孽( ，t ) ，h = 0 韫定存在d 工1 ( n ) 满足 。s0 对几乎所有的嚣o 成立及岛番) d 。 0 和一个实函数，y 上1 ( n ) 使得 i ，( 嚣，t ) i c l t i r 一1 + 1 ( 茁)( 2 2 ) 对所有的t 冗和几乎所有的n 成立，这里当n 3 时2 兰2 w ( 一2 ， 当：l 或2 时2 为f l ，+ o 。) 中的某敷临界增长的情况比较复杂，有 关的结果也比较少文献【7 】考虑了临界增长的情况本节在临界增长 情况下用极小作用原理得到问题( 2 1 ) 的解的一个存在蛀定理。 定理3 1 假定2 2 ) 式成立且当州一时 目彳，t ) 一妄 1 。2 一一o 。 对几乎所有z n 一致地成立设h l 2 ( n ) 满足 五矗( 。) 蜘) d x = 0 ( 2 3 ) ( 羔4 ) 这里母是关于特征值a 。的满足妒( 。) 0 对所有的。n 成立的规范特 征函数，更哇问题( 2 1 ) 在霹( n ) 中至少有一个解 注2 1 存在函数，( 置f ) 和 ( 蕾) 满足我们的定理2 1 而不满足文献 【1 - 3 ，5 - 1 4 ，1 6 - 1 8 l 中的有关定理事实上，令 加，f ) - 一羔+ 2 中q c o s ， 并设h l 2 ( n ) 满足( 2 - i ) ，冀l i ，( 。，t ) 是临界增长的，从而不满足文献f 1 3 ， 5 ，678 - 1 4 ，1 6 - 1 s 中有关定理的条件由于在这种情况下a 。( z ) = ，而 ，础。i 移b 。：。 点i 守w 1 2 如一z ；。a * ( 。) 。) 出= 。， ，( r ，) 也不满足文献【司的条件( 参见文献( - | 的定理1 ) 但是 f 扣。，# j = 妻 1 产一1 n f l + 扩) + s i n # 2 满足f 22 ) 和 23 ) 因此，抽) 和 ( 善) 满足我们的定理2l 令 ( 札j = ；上j 甲n 2 妇一o f ( 茁u j 妇一点h ”如v u 硪( q ) 众所周知”硪( n ) 是问题( 2 1 ) 的解当且仅当“是泛函妒的临界点 对h l i n l 定义 j = fv u v l d t li i = k 一日 于是有 h 斟 1 ) 、疽e l 一 定理2 1 曲证明首先存在实函数g 上t ( n ) ，和连续函数g c ( r ，置) 使得g 是次可加的，即， g ( 5 + t ) sg ( 8 ) + ( 孔t ) 对所有的s ，t r 成立，g 是强制的，即，当i t l 一。时， g t ) _ + + o 。， 6 ( 2 5 ) _ ( 2 6 ) g ( o ) s l t l + 4 对所有t r 成立，且满足 p ( ，) 一三2 t 扩墨一g ( ) + “z ) 对所有t 矗和几乎所有的善en q z ，t ) 一；a l 产一一m 对几乎所有。 2 n i ( v k n j 的正整数序列( 竹i ) 使得 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 成立事实上，由于当i t 一o 。时 o 一致地成立，存在满足n + ， f ( 茁，t ) 一；a l 2 s 一七 对所有的ken ，川n i 和几乎所有的。en 成立 ”。定义 g ( t ) = k + 2 + 堕二塑， 礼一 h 一1 这里k e n 由g 的定义，我们有 k + 2 墨6 ( t ) k + 3 ( 2 9 ) 令n 。= 0 ，对n t l ( 2 1 0 ) 对m 一1 川 n l 成立从而 f ( z ，t ) 一妻 l t 2s g ( t ) + 口( ) 对所有的ter 和几乎所有的茁en 成立，这里 g ( z ) ：鲁忭i + n 。1 ( 蛋) + 等( n i + n 1 ) + 4 事实上，由( 2 2 ) 有 托，铲j 1 卅s 争f 州删+ 鲁m i r 仲1 ) ( 2 1 2 ) 对所有的ter 和几乎所有的e l 成立对每个f er 存在ken 使得 n 一1 ”i 当南= i 时，根据( 2 1 2 ) 和( 2 1 1 i 式我们有 f ( ，t ) 一； 。产 对所有的n 。和几乎所有的。n 成立 当2 时，由( 2 9 ) 和【1 ) 式得 1 ， f f 卫，一； l t 2s - ( k t 1 - ( k + 3 ) + “譬) 一g ( t ) + 矾君) 对所有拍出一：m 和几乎所有的。en 成立 g 的连续性和强制性是显然的进一步有 “! 兰+ 4 对所有的t 矗成立事实上对每个t r 存在j 艇得 一i 曼l t l j 岫 从而由2 1 1 ) 和n 角对所有整数k 0 成立这个事实得到 g ( t j 曼1 一：耋r ， 一1 + 4 ： l + 冀藏赢_ er 或i 现左我们只需证明g 的次可加性设 住王_ l p ! 住，n j l l 亡l 竹j 并令m = m “豫n 则我们有 5 + t l 1 5 l + o 使得 m e a s 0 il 妙 嚣) i r n 。i l v l l 0 使得 a ( t ) 卢 对所有i t l 吖成立记 风= 。e n lk ( 。j 1 对每个z a 。，有 h ( 君) l2m 。盼。l l ， 从而对充分大的* 有a 。cb 。由( 2 7 ) 对充分大的n 我们有 五g ( h ) 如 芦m e 酗取一( 村+ 4 ) m e a s ( n 、玩j 序l f l e a sa n 一( m + 4 ) m e a s ( n 、a n l p ( m e a s f l a ) 一( 眦+ 4 ) c z 因此有 令a o 我们得到 l 哑蝉g ( v 。) 出 n 一j n 斟i t i e d l sn 一( t ) 一( m + 4 ) 。 l ，牲玺f 五g ( w n ) d 。3m e 8 5 n 9 由芦的任意性我们得到 唑擎j l g ( ) d x - - + m 与( 2 1 3 j 矛盾 再次，泛函# 是强稍的事实上，从i 2 8 ) ，f 2 j ! 和f 2i ) 碍_ 鲥 点州。，“) 出一；- t 上2 如 一厶g ( “) d f + 五吠z ) 如 一j ；i ! ：f g 日1 一g f i j j d 。+ l j ( 。) d z s 一厶j - g f 日 d r + 9 i ! i x f 。) + 4i p m a s n 牟是，j ， 墨一f 、( i i ；以r + c , ( v 4 1 + 1 ) 对所有? 硪幸口某个 成立，这里c 是s 吨。l e t 不等式： t 。娟+ 舭如 * i - f ；f n w 小“* z f n ) c i j ； v - ! 珂：( n 申的正常数西赃我们有 爿u ) = ；上；审u 3 出一；a z 二“2 如一( 上f ( tu ) 如一三2 - t 互u 。d 。) 一上舰出 ；, ，i w l 2 如一；a t 上电占+ 上g ( 露) 如一q ( 1 1 i 1 1 + j ) 点 珏如 i ( z 一未) 点 v 哥l ：出一c 。( 1 l 训+ ，) + 上g ( 。 如 对所有。雕i n j 和某个g = r l + 例枷t f m 成立，由f f ，) 上的泛函 ? 。：趟。孙1 的强制畦枷 弘8 二= 舾矿+ 躯一 这个事实知道妒是强翻的 1 0 最后，泛函妒是弱下半连续的事实上，从f 2 8 1 和f 2 i i ) 我们得鲥 h 州) ；，、1 t 2 + g ( 重) 对所有的t r 和几乎所有的。n 都成立类似于文献 可的定曩1 的 证明的第一弗分，我们可以证明泛函妒是弱下丰连续的根据桩小作 用原理f 例如参见文献【15 】的定理1 1 ) ，泛函妒有一个极小值点因此问 题2 1 ) 在瑶( n ) 中至少有一个解证毕 第三节次临界增长条件下的多重性结果 考虑半线性精圆方程的d b i c h l e t 边值问题 一让= ，u ) 对几乎所有。n ，= u 在搠上， ( 3 1 ) 这里ner n ( n l j 是有界区域，：瓦x r 一冗是c a r a t h 曲d o 砰函数， 且满足次临界增长条件，即存在c 2 0 使得 ，( 。，圳茎如( 一1 + 1 ) f 3 2 ) 对所有的# r 和几乎所有的f n 成立，这里当n 3 时2 p 2 x ( n 一2 1 而当n = 1 或2 时2 o 旋得 。s 型j 二! 墨 。一占 ( 3 4 ) ms 二墨 m 一由 【5 4 ) 对所有的0 引6 和几乎所有的占n 成立，那么问题( 31 ) 在螂m ) 申至少有两个非零解 注3 1 存在函数，( # # j 满足我们的定理3 l 而不满足【2 1 和 1 2 】的 有关定理+ 事实上，令 ，j i ，。j i f o 。一。一lc j j i l 一2 tl + 2 j + p i t i 。t c o s f l j r 26 这里r ：= j 一i 、i 一2 ( 1 + j ：；、即一2c o s 陋i ) 一1 且当n 3 时! p 7 w f y 一? ? 而当、? = 或? 时， r - j 受徉 帆j 至f 、 f c ，j 2 ；。 事实上，从t 3 4 ) 式得捌 ￥“x 2 且弘“! _ ( oo 7 ；j l - g - i i “ 三 ，、。t 2 # j 善 j ( a 。 1 6 ) 2 对所有的i q 女和几乎所有的。f ! 成立从而 。# 2 5 t l # ，5 f i ( a 。一1 6 ) 产s 对所有的0 5 1 ， 0 是 s o b o l e v 嵌入定理中使得 j | “月z 吖研5c h 牡”v 珏6 珥f 成立的常数 显然是c 1 函数，且“o ) 0 根据定理2 1 的证明，译是强制的 和下方有界的由妒的强制性和，( 蓄，t j 的次临界增长性，妒满足( p s j 条件在i n f z 妒 o 和6 0 使得 a 。咄曼掣k t “一6 ( 对所有的o s5 和几乎所有的? n 成立，剐问题1 ) 在删( n ) 中 至少有两个不同的非零解 定理4 2 假定( 4 2 ) 和( 4 4 ) 成立设存在d l 1 满足卫) 0 对 几乎所有的n 成立及f n a ( z ) d z 0 使得 妒( “j 墨ov h 月k 且l l h 垂o ， 妒( ”) 20地戤j l l l l l 如 1 5 这里h 。= 占t ( 1 ) + + e ( 。 证明由f 4 4 ) 得鲥 ( 。一a t 一t 一，t ) ( 。+ l 一 1 6c 2 对所有i t 6 和凡乎所有的口 t 成立从而知道 ( 。一、1 ) t 2 s t g ( 占s t ) s ( m + l 一 1 一r t 2 s 对所有o 5 l ， t 6 和几乎所有的? n 成立注意到g ；x ，t ) = 0 姆s o d s ，我们得到 ； ，。一 1 ) t 2sg ( x ，f ) ；i 。q 一 l j ) 扩 对所有 o 使得 e i 。曼c - q l i t l ， v h 丑0 因此有 巾“；s o v 卵如一； m 五。出， 对所有满足 sj q 的u ；f k 成立 当n 3 时选取= p ? - 、- n 一? h 当n = 1 或? 时取? 0 使得 l i “l l l - ( o ) 墨c l l “t l ，i l n f a + ，o ) 墨ci i 加 i l 瓦。c l l 面，l i 豇h 墨c l l 百l l m 对所有的n h j i n ) 成立，进一步由( 4 2 ) ，对所有的州；h j ( n ) 我们有 ：五g ( z ，u ) 出一鼻g ( z ，虹冲 = 上上g ( r - 面+ 她) 讪如 c 1 。0 1 ( i 面+ s 面r + 1 ) 归l 出 c 7 f + 同。+ 1 ) 出 s f l ( i l 豇 l 岂l i 蠢9 ( n + l l 面9 ：# ( n ) + 8 训i ，。 ) sc 1 c 。+ 1 i j 面l r i i 面| | + c l c 8 + 1 1 1 吞1 t “+ 1 + c c d l l l 等恻2 + 警1 y 2 恻“怕l 吾t l 。+ 1 + c c t 舾l 从而对所有的“研( n ) 得到 ， “u ) = ； n i w l 2 如一吾1 t 五铲h 一点g ( t 础如 1 7 一( fg ( 刚m 一点g ( 哪) 如) 等i i 豇t 1 2 一正盯冲 一( 等陋扩+ 臀- 1 - c l c a + l 晦“+ 叫训 三：并址酽一f l r “1 恻州一c 删元” 一。n n = f 吼州州，+ 坚掣1 根据“3 ) 和 i l u l l 2 = 蚓1 2 + 蚓 2 这个事实，妒是强制的进一步铲还是下方有界的 令x 2 是由岛= e ( ，、1 ) o e 居( 。) 定义的x = 琢( n ) 的有限维子 空阍，x 1 = 嚣由9 ( x 1 的次线性增长和妒的强懈性，妒满足( p s ) 条 件。在i n f x 妒 0 使得 s u p i 口( z ) ii f n l ( l 卜0( 4 6 ) 对所有“e ( 。) 成立进一步由文献【3 】中引理3 2 证明的第一部分， 对每个芦 0 存在m f 0 使得 m e a s _ l x 0 1l ( z ) l ”j 弦l i o 使得 g ( 。，t ) 曼( 口( ) + ) t t i “1 对所育m 和几乎所有的善n 成立从而由7 ) 我们得到 g ( z ，”( 善) + e ) l t l 。一1 + 馥占) f 4 8 ) 对所有的t r 和几乎所有曲z n 成立，其中 荆娟( 筹+ m ) 一 沁， 依糖4 8 ) 和( 4 6 ) 我们有 上鼬哟妇 m ；+ 1 i i 。1 1 。+ 1 正a ( z j d 。+ 四+ 1 1 1 “i i 。+ 1 = n m a s n + f r ) 如 m ；4 1 i t ”i i 。+ 1 ( 五叫。) d 。+ 1 1 a i t ，口) + g + l em e a s n | | q 。一，+ ( 、， 这里l i h t l l ，垒s u p i l 钏i 佃) i ecn 是可测的且m e a s e 疗 三1 ( n ) 由 l e b s e ：u e 积分的绝对连续性，当芦一0 时有i l h t l 。，一0 根据( 4 7 ) 得 即，。d 。b 等俐州肛t l 埘十q 酬j 2 i i i l l | i 矗 出她裁们得到 m 叁哪憋i 川n f 阻一1 五g ( 掣) d z s m 矿( z 。( 。灿+ 1 1 札一+ 而c 1 | | l l | , z 一) + q t l - l ：m e 瑚 令! 一o 有 m m ；+ 1 ( 正“。) d 。+ i i 。8 t ，+ 鬲c 1l | 1 j ，) 由此可知 。l i ，r a i n f m m ( ，h ”s 互烈州童 - e ! i f f ? t h e np r o b l e m 【l l1 l 甜n a s to i l ys 1 u t l v a si a 融n ) t h e o r e m3 1 s u p p o s et h a th = d ，s a t i s f i e s ( 2j a n dt h es u h c r l t i c a lg r o w t h c o i l i i d , j n l 1 i a li s t h e r ee x i s t 岛 0a n d2 p 2 s u c ht h a t l ，( z ，t ) l c 2 ( i t i - 1 + 1 ) f o r t 丑tes ta n da e f n i f t h e r ee z 血ba n i n t e g e r m21 6 ) 0a n d5 ) b s u c h t h a t k 掣茎k z 5 a 良 f 3 f o r 柚0 t l 蔓占a n da e o ，p r o b l e m ( 1 ) h a sa tl e a s tt w on o n z e r os o l u t i o n s 函 a j ( n ) t h 目s r e m4 1 l e t ，t ) = tq - 口妇t ) a n d = u s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t o 三d 0 e u c h t h a t 1 9 ( 2 ，t ) ：sc i ( i t l 。+ 1 ) f , j r “t 置a n da e # 三o a n d u 。上g ”) 如一一* ( ) a 5 ；# ! 一x mf ( ，、1 ) i fe 3 ) h o l d s ，p r o